高中數(shù)學(xué)-一元二次不等式的解法教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書

人教B版數(shù)學(xué)必修第一冊第三臺k式與不等式2.2

計

一.新舊兩版教材對比

在舊版人民教育出版社B版高中數(shù)學(xué)教材中，“一元二次不等式

的解法”這一部分內(nèi)容安排在《必修5》的第三章第二節(jié)，學(xué)生高二

時才學(xué)習(xí)，導(dǎo)致高一學(xué)生在學(xué)習(xí)《必修1》的“集合”、“函數(shù)”等

內(nèi)容時，有一定的障礙，達(dá)不到一定的深度，初高中數(shù)學(xué)內(nèi)容銜接不

連貫，對于這一部分內(nèi)容，老師普遍認(rèn)為應(yīng)調(diào)整到《必修1》之前，

或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函數(shù)”之前比較好.在這

次教材改版中，這個意見得到了很大的尊重，本節(jié)內(nèi)容調(diào)整到“主題

一預(yù)備知識”中。與原教材相比，等式部分是新增的內(nèi)容，新教材

將不等式與等式合并成章，作為后續(xù)學(xué)習(xí)的預(yù)備知識，能更好地引導(dǎo)

學(xué)生進(jìn)行類比，認(rèn)識等式與不等式，方程與不等式的異同，更有利于

學(xué)生建構(gòu)相對完整的知識體系。

第二個較大的差別是，教材在這一章主要是從代數(shù)呈現(xiàn)的，講了

因式分解法和配方法，而在教材的第三章，還有利用二次函數(shù)圖像解

一元二次不等式的內(nèi)容。教師用書里建議教師在此不要補(bǔ)充利用二次

函數(shù)解一元二次不等式的內(nèi)容，但根據(jù)班級的情況和學(xué)生的接受程度,

可以適當(dāng)做調(diào)整。

二.教材內(nèi)容分析：

1.本節(jié)課內(nèi)容在整個教材中的地位和作用。

概括地講，本節(jié)課內(nèi)容的地位體現(xiàn)在它的基礎(chǔ)性，作用體現(xiàn)在它

的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次

不等式組的延續(xù)和深化，對已學(xué)習(xí)過的集合知識的鞏固和運用具有重

要的作用，也與后面的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、直線與圓錐曲線以及

導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容密切相關(guān)。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解

法。因此，一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有很強(qiáng)的

基礎(chǔ)性，體現(xiàn)出很大的工具作用。

2.教學(xué)目標(biāo)定位。

根據(jù)教學(xué)大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標(biāo)準(zhǔn)精神、高一

學(xué)生已有的知識儲備狀況和學(xué)生心理認(rèn)知特征，我確定了四個層面的

教學(xué)目標(biāo)。第一層面是面向全體學(xué)生的知識目標(biāo)：熟練掌握一元二次

不等式的兩種解法，正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次

函數(shù)三者的關(guān)系。第二層面是能力目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合與等

價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，提高運算和作圖能力。第三

層面是德育目標(biāo)，通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關(guān)系的認(rèn)

識，向?qū)W生逐步滲透辨證唯物主義思想。第四層面是情感目標(biāo)，在教

師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生自主探究，交流討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和

創(chuàng)新精神。

3.學(xué)情分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式（組）和二次函數(shù)，對不

等式的性質(zhì)有了初步了解.在解決引入問題中的一元二次不等式

X2-5X<0時，學(xué)生可能會轉(zhuǎn)化為不等式組黑或｛￡>o求解.這種

等價轉(zhuǎn)化法非常好，應(yīng)給予肯定和鼓勵，但不在本節(jié)課學(xué)習(xí)之列.

4.教學(xué)重點、難點確定。

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識存在“同化”和“順應(yīng)”過程，需要經(jīng)過學(xué)

習(xí)者自身體驗.因此，教學(xué)設(shè)計應(yīng)注重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮教師組

織和引導(dǎo)的主導(dǎo)作用，調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為

數(shù)學(xué)活動過程的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

本節(jié)課從實際問題入手，抽象出一元二次不等式模型，結(jié)合課件

展示，先回憶初中相關(guān)知識，進(jìn)而類比解決引入問題中的一元二次不

等式，然后從特殊到一般深入探究.最后，通過學(xué)生的合作交流總結(jié)

解法，再以學(xué)生出題學(xué)生解答的方式加以鞏固，讓學(xué)生親自體驗自己

的成果.

三.教法學(xué)法分析「

數(shù)學(xué)是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生良好意志品質(zhì)和美好情感的重要

學(xué)科，在教學(xué)中，我們不僅要使學(xué)生獲得知識、提高解題能力，還要

讓學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下學(xué)會學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)學(xué)科的人

文思想，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)堅強(qiáng)的意志品質(zhì)、形成良好的道德情感。

為了更好地體現(xiàn)課堂教學(xué)中“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)關(guān)系

和“以人為本，以學(xué)定教”的教學(xué)理念，在本節(jié)課的教學(xué)過程中，我

將緊緊圍繞教師組織一一啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究一一交流發(fā)現(xiàn)，組織開

展教學(xué)活動。我設(shè)計了①創(chuàng)設(shè)情景一一引入新課，②交流探究一一發(fā)

現(xiàn)規(guī)律，③啟發(fā)引導(dǎo)一一形成結(jié)論，④練習(xí)小結(jié)一一深化鞏固，⑤思

維拓展一一提高能力，五個環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學(xué)環(huán)節(jié)，在教學(xué)

中注意關(guān)注整個過程和全體學(xué)生，充分調(diào)動學(xué)生積極參與教學(xué)過程的

每個環(huán)節(jié)。

四.教學(xué)過程分析:

1.創(chuàng)設(shè)情景一一引入新課。我們常說“興趣是最好的老師”，

長期以來，學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)缺乏興趣，甚至失去信心，一個重要的原

因，是老師在教學(xué)中不重視學(xué)生對學(xué)習(xí)的情感體驗，教學(xué)應(yīng)該充分考

慮學(xué)生的情感和需要，想方設(shè)法讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中樹立信心，感受學(xué)習(xí)

的樂趣。以生活實際問題為背景引入新課，可以提高學(xué)生興趣，抓住

學(xué)生眼球，吸引學(xué)生注意力，還可以讓學(xué)生實實在在感受到，數(shù)學(xué)應(yīng)

用就在我們的生活中，就在我們平常的練習(xí)中。

2.探究交流一一發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

從特殊到一般是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律、揭示問題本質(zhì)最常用

的方法之一。我在整體授課過程中，積極采用探究與合作相結(jié)合的教

學(xué)方式，進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，力爭所有的問題點都得到自主化的解決.

3.啟發(fā)引導(dǎo)一一形成結(jié)論。

至此，學(xué)生可以感受到，解二次不等式只須①將二次項系數(shù)化為

正數(shù)，②求解二次方程ax2+bx+c=0的根。③根據(jù)①后的二次不等式

的符號寫出解集即可。這樣我們就得到了二次不等式的一種解法（可

稱為“三步曲”法）。

4.訓(xùn)練小結(jié)一一鞏固深化。

為了鞏固和加深二次不等式的兩種解法，接下來及時組織學(xué)生進(jìn)

行課堂練習(xí)，完成導(dǎo)學(xué)案練習(xí)題（新教材課后習(xí)題量較大，也可以完

全使用書本原題），之后師生共同糾正問題，規(guī)范解題過程的書寫。

5.延伸拓寬一一提高能力。

課堂教學(xué)既要面向全體學(xué)生，又應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個體差異。體現(xiàn)分

類推進(jìn)，分層教學(xué)的原則。為此，我又設(shè)計了一個提高練習(xí)題組，共

有三道備選題目，以供程度較好學(xué)有余力的學(xué)生能夠更好的展示自己

的解題能力，取得更進(jìn)一步的提高。

6.問題研討---加重反思

(1)對一些同學(xué)提出的用等價轉(zhuǎn)化思想求解一元二次不等式問題,

應(yīng)該解釋到什么程度；

(2)對二次項系數(shù)小于0的一元二次不等式求解問題是否應(yīng)該詳細(xì)

歸納；

(3)一元二次不等式的解集是R或。的情況往往容易混淆，應(yīng)該如

何加強(qiáng).

五.課堂意外預(yù)薪'

新課程理念下的教學(xué)更多的關(guān)注學(xué)生自主探究、關(guān)注學(xué)生的個性

發(fā)展，鼓勵學(xué)生勇于提出問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的批評性。在課堂上學(xué)

生往往會提出讓老師感到“意外”的問題，我在平時的教學(xué)中重視對

“課堂意外預(yù)案”的探索和思考，備課時盡量設(shè)想課堂中可能會出現(xiàn)

的各種情況，做到有備無患，以免在課堂中學(xué)生提出讓自己出乎意料

的問題，使自己陷入被動尷尬境地。結(jié)合以往經(jīng)驗，在本節(jié)課，我提

出兩個“意外預(yù)案”：

1.學(xué)生在做課本練習(xí)1(x+2)(x-3)>0時-，可能會問到轉(zhuǎn)

化為不等式組｛匚空或，江求解對不對。學(xué)生提出的問題，想法非常

好，應(yīng)給予肯定和鼓勵，這與下節(jié)簡單分式不等式和高次不等式的解

法有關(guān)，是解不等式的另一種解法一一等價轉(zhuǎn)化法，不在本節(jié)課之列。

2.根據(jù)以往的經(jīng)驗，在解(x-1)(x+2)>1一類的不等式的

時候，由于受方程(x+1)(x+2)=0可轉(zhuǎn)化為x-l=0或x+2=0

求解的影響，有可能會出現(xiàn)將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組來求解的錯

誤做法，教師要關(guān)注學(xué)生，及時發(fā)現(xiàn)問題并給予糾正，指出上面的轉(zhuǎn)

化不是等價轉(zhuǎn)化。

六.教學(xué)過程

通過引導(dǎo)讓學(xué)生明確本節(jié)在課標(biāo)，單元，素養(yǎng)各方面的學(xué)習(xí)目標(biāo)

通過一元二次方程的復(fù)習(xí)帶出一元二次不等式的兩種主要求解方法

學(xué)生自主探討含參一元二次不等式的解法

通過對例題求解，深化學(xué)生對分式不等式的理解

課堂小結(jié)與作業(yè)

情境教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖

引入課題

學(xué)生在教師的一元二次對于學(xué)生熟悉

鼓勵下，很有感要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過陌生感，

信心完成本節(jié)及早點題，有利于學(xué)生

VMM課的學(xué)習(xí)任做好適當(dāng)?shù)闹R點復(fù)習(xí)

務(wù)。和加強(qiáng)學(xué)習(xí)信心的作

由于前面知識點的鋪墊比用。

較完整，教師直接給予學(xué)

生點題。

課標(biāo)分析與學(xué)習(xí)目標(biāo)制定

清楚課標(biāo)新的高考要求取消了考

于本節(jié)內(nèi)試說明，只留下課程標(biāo)

要求和限準(zhǔn)，這就要求教師和學(xué)

明確學(xué)習(xí)生都要明確自己的學(xué)習(xí)

標(biāo)準(zhǔn)和目標(biāo)。

教師解釋學(xué)生了解課標(biāo)的

主要目的，引導(dǎo)學(xué)生和老

師一起朗誦本節(jié)課的學(xué)習(xí)

目標(biāo)

學(xué)生明確本節(jié)

內(nèi)容在整個這

個單元的地位

與布局，尤其

教師通過單元大框架，向是前面知識的

學(xué)生展示本節(jié)課的單元地銜接

位，確定素養(yǎng)目標(biāo)

創(chuàng)設(shè)情景

在與同學(xué)交流1、從實際問題出發(fā)，激

和教師引導(dǎo)下發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在

真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題

學(xué)建模的環(huán)境中，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.

通過本節(jié)課的情景導(dǎo)入，

安排了一段涉及到超速的2、學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的

小短片，并適時對學(xué)生做

全過程，提升學(xué)生解決

安全教育，提高學(xué)生敬畏

生命的意識問題的能力，提高實踐

能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識.

根據(jù)課本的提課本通過適當(dāng)?shù)囊?/p>

示化問題，將鋪墊，使得學(xué)生很容易

第一個一元二從實際問題中提煉出表

次不等式以生達(dá)式，而且很容易根據(jù)

活中的實例引之前的一元二次方程的

緊扣課本，將建模問題自發(fā)出來。知識儲備分析出不等式

然引入到課本中的本源情的形式。

景，

新知初探——定義生成

很順利生成一雖然是新的內(nèi)容，但對

匕

<墨型狗也>

1.x次不等人的融③元二次不等式于學(xué)生沒有壓力，講授

?*.—IM，E的不等式黑方K.De

小*JC乂中?.?X?.Mlla/Q.的基本定義過程中，注意強(qiáng)調(diào)系數(shù)

?ais

一尤一次不等式中的不等號慨4口是“的要求

?r?ta:!<-?(<X?).<r1fcr1?).??*IlwIcSOJa^t)

次根X.

在板書上完成知識框圖中

方程與不等式的承接關(guān)系

回答準(zhǔn)確。但通過這個小練習(xí)，可以

■■■■■

知決心r對于非正確答有效鞏固一元二次不等

5到不等式中些處元：次不等式

(只中oArg為常數(shù))？案有不確定名式的定義掌握

(IXn^Xh(2*?”WW0：(JAx-jr3^。：

稱的情況

(4>r>0;(5)?^-5?,>0:(fiJa^+fcr+c^OBSBB

探究新知——兩種解法

--學(xué)生對于因式在兩種方法的講授前，

知識點二，因式分解法解一元二次不等式

1齷分解的方法掌通過一元二次方程的復(fù)

械地加

"小'g<T，*3?<0的翳，生(X

小吟式<4%XA小戶Q的婚史是握的很快，并習(xí)，關(guān)于這兩種解不等

1.1L且能達(dá)到熟練式的方法，學(xué)生從名稱

將前面的一元二次方程的使用的程度上并不陌生，但在不等

內(nèi)容做好鋪墊式的使用上，配方法的

一.，而學(xué)生口答，在求解過程中，由于使用

HD-a.&*?Anwu,

/WBBM------------------------------------\因式分解過程了含絕對值不等式的求

1中，分解速度解，所以學(xué)生的使用需

1??有明顯的不要加大練習(xí)量。

Ml-V-**■■■■■■■'

______________________________教師板書完整的解題步同。

1I躲，規(guī)范不等式的常規(guī)要

求，尤其是不等式的解集

-BBM配方法的難點

■rHC=.

14S*M

,v,3，i*奶不是在配方過

ATAiXM；-,????*.in??C

t-tfxntu.

14t.

??15；<:“vfa程中，而是在

k*：g，r—?一:a1

r-rjfc

*C?*?Xi*.i

后期的含絕對

au*，y1

*MX，M值不等式的銜

配方法的推廣過程，教師接和求解中，

要給出含絕對值不等式的學(xué)生掌握的有

知識點復(fù)習(xí)。生疏感

鞏固練習(xí)一一探究一

QDQ03部分學(xué)生在使借助一題多解，讓學(xué)生

衍聲.??_范：*不*RW方法

用配方法時做感受到兩種解題方法的

幾個代致

?號加<得必不好，

■I'IM>N^9<r

a>&小kjw&m?一次小百題時間偏長各自適用環(huán)境。

0>l?

H?.完全￥方式JMSKFlUJr，，

<2>oMita7>?1*再*力&坳不?*次.—五改不等&?

所M+lr-MmaunAo..w"松

<0S-1M-?X

教師利用練習(xí)的對比，向

學(xué)生再次鞏固求解一元二

次不等式的兩種方法

加深鞏固練習(xí)-—探究二

一位學(xué)生板感覺這一題是本節(jié)課的

①：*美r”的不，武--s+m+t-a；i；」?*Jr的不y“rK.(?ci?.

(Hl<t>W??X.*不導(dǎo)8力11U*.Wtt?l.

K.0為及r**，*練，其他學(xué)生難點，學(xué)生在系數(shù)，正

a+專式E:卜”Y.N0K：*?t.MCU*1a)(>11?ip*.

<S>3?W.漳不少W；*r*!?-1???.5*?ai.???<t■??.導(dǎo)學(xué)案練習(xí)。負(fù)形上出現(xiàn)了各種的錯

S?—?>—■.■，>*.t<-?1.

a?-1.4-91LUI.誤。

S?>|..%，(?.3?—1—?.??*??/-j.

3*元一次舉$5?快

7,，涔二號常閭

點--

加深鞏固練習(xí)一一探究三

學(xué)生普遍的思分式不等式一直是學(xué)生

???--HJaH-vmsvra

?l?a*的分"3或

網(wǎng)3等式，分穴ATH-IM9?1-.KC*.■路是將分式轉(zhuǎn)的易錯點，在表達(dá)式的

“鏟6熄—Mi>>O.gft*)<0.2>(r

產(chǎn)。

??ICO,卜teOo,o化成整式整理和分母約束處都是

*w

t(x)<or*)>o(?WU'O

!i>o

*0皿?X)S?.a>

■⑶aS>”?一.U最集中的易錯點

出。?0

軻

1UI--0ILU?0仙必)士u

■XT>?0

鞏固練習(xí)

1學(xué)生對于這種分式不等式的長期易

rim”不等K｝；)一的解數(shù))

d?；［"I：.』分母的結(jié)構(gòu)接錯，讓我們感受到舊有

礫.1》(1.3|0|-?*)U<U31受非常順利，的解題方法的不足，所

“叱4a_T5..J|xl5MUl>,.

****trqp*-口廿。有直接去分母以這種新的方法的引

J-2aJ3.?11U1I.31.?的意識

w*l.入，順應(yīng)了學(xué)生的解題

教師適時根據(jù)這道題的對思維，在使用過程中更

比，給出學(xué)生分式不等式自然，更容易被學(xué)生接

的第二種解題方法受。

小結(jié)

由于有充分的新教材要求我們的數(shù)學(xué)

【!》4】

u)網(wǎng)式分解江的女殖是什么？鋪墊，所以學(xué)課堂必須保持本質(zhì)化教

>.?：->■：的過刈卜等式的，，動比｛，閃式分M.M化為0

偷不等式狙求M生對于知識結(jié)學(xué)，教師要有積極主動

<2)IV方法侑丈蟠是什么？

也小，?過對小等式左邊送"N".M化為維對做小構(gòu)的問題有很的意思引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)

等大求訴.

完整的回答學(xué)在學(xué)科上的本源，尤

教師在體系小結(jié)的提示其是新授課，一旦養(yǎng)成

下，和學(xué)生一起完成板書這樣的習(xí)慣，在后續(xù)解

中的知識框圖，并加深各題中，學(xué)生也會有習(xí)慣

知識點的本質(zhì)用知識的本質(zhì)來思考

學(xué)生完全掌握數(shù)學(xué)大家的名言是對學(xué)

了這節(jié)課的兩生更多的期望和鼓勵，

個不等式和解學(xué)生的情感收到了震

一元二次不等撼，加大了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

式的兩種方法熱情。

教師引導(dǎo)學(xué)生做目標(biāo)化的

小結(jié)，前后呼應(yīng)，加深了

學(xué)生對本節(jié)課目標(biāo)化實現(xiàn)

的清晰程度。并通過章節(jié)

開始，陳省身先生的名言

作為對學(xué)生的寄語。

板書設(shè)計

反思：

好的方面：

1、拉普拉斯說：“甚至在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比”，

波利亞也說：“類比是一個偉大的引路人”，類比思想對于科學(xué)發(fā)展

和社會進(jìn)步有重要作用。本節(jié)課從類比思想的視角把課堂活動內(nèi)化為

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實過程，通過學(xué)生自主探究，類比等式的性質(zhì)，引

導(dǎo)學(xué)生猜想不等式的性質(zhì)并證明，最大化地實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，深化了邏

輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

2、教師始終是課堂的參與者、引領(lǐng)者，鼓勵學(xué)生大膽猜想，主動思

考，收獲知識，讓學(xué)生自己提出問題，分析問題，解決問題。

3、合理使用教材，不拘泥于教材，將一元二次方程的知識體系貫穿

整節(jié)課，激活課堂，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，體會成功的喜悅。

適度設(shè)置障礙，錘煉意志品質(zhì)。

4、本節(jié)課將數(shù)學(xué)中的三大基本關(guān)系：等量關(guān)系、不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)

系有機(jī)結(jié)合，相互滲透，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實處。

不足的方面及改進(jìn)措施：

1、在學(xué)生展示自己的證明或解答過程中只關(guān)注到部分學(xué)生，對學(xué)困

生的關(guān)注不夠。以后教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生自我講評的廣泛度，讓不同程

度的學(xué)生都能有所發(fā)展。

2、“類比”和“猜想”作為非常重要的學(xué)習(xí)方法，今后教學(xué)中應(yīng)努力

滲透，改變以往的不等式性質(zhì)教學(xué)形式單一、枯燥乏味、效果不夠理

想的狀況，使不等式性質(zhì)的教學(xué)走上學(xué)與用緊密結(jié)合的新路。

2.2.3一元二次不等式的解法（導(dǎo)學(xué)案）

2.2.3一元二次不等式的解法

目圖圖圖

考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

一元二次不等式的解會借助因式分解或配方法求解一

數(shù)學(xué)運算

法元二次不等式

會將簡單的分式不等式轉(zhuǎn)化為一

分式不等式的解法數(shù)學(xué)運算

元二次不等式求解

?問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P68—P71的內(nèi)容，思考以下問題:

1.一元二次不等式的定義是什么？

2.如何用因式分解法解一元二次