小學(xué)數(shù)學(xué)5年級培優(yōu)奧數(shù)講義 第12講-長方體和正方體（含解析）

第12講長方體和正方體

學(xué)習(xí)目標

1、能夠以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3、求一

些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。

T0知識P梳理*

一、專題簡析

在數(shù)學(xué)競賽中，有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點：

1、必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；

3、求一些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。

二、常見問題

在長方體、正方體問題中，我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種形狀的

物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物體浸入水中，物體在水中會占領(lǐng)一部分的體

積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點：

1、將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗），體積不變；

2、兩個物體熔化成一個物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；

3、物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。

解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實掌握長方體、正方體的特征，熟悉計算方

法，仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個長方體或正方體

沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。

典例分析

考點一：重合或者挖出立體的面積及體積

例1,一個零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米?

（單位：厘米）

例2、有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面

積嗎？（單位：厘米）

例3、一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體，拼成的長方體的表面積比原來的長方

體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？

考點二：已知面積求體積或者已知體積求面積

例1、把11塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米，求大

長方體的表面積。

例2、一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高以厘為

為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個長方體的體積和表面積各是多少？

考點三：體積轉(zhuǎn)換

例1、有兩個無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘米，

寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水

倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？

例2、有一個長方體容器，從里面量長5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分

米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？

例3、有一個長方體容器（如下圖），長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。

如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？

例4、長方體不同的三個面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個長方

體的體積是多少立方厘米?

考點四：分割圖形

例1、一個棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊，表面積

增加多少厘米？

例2、有一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增加了24平方厘米，這個正方體

木塊原來的表面積是多少平方厘米?

例3、一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的

小正方體中：

(1)三個面涂有紅色的有幾個？

(2)二個面涂有紅色的有幾個？

(3)一個面涂有紅色的有幾個？

(4)六個面都沒有涂色的有幾個？

例4、一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個體積相等

的小長方體，這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？

實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、一個長5厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體，被切去一塊后(如圖)，剩下部分的表面積

和體積各是多少？

2、有一個形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。

3、有一個棱長是4厘米的正方體，從它的一個頂點處挖去一個棱長是1厘米的正方體后，剩

下物體的體積和表面積各是多少

4、把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體，這個大長方體的表面積比原來兩個長方

體的表面積的和減少了46平方厘米，而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24

厘米，那么它的體積是多少立方厘米？

5、一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個這樣的小正方體所組成的大正方體

的表面積是多少平方厘米？

6、有一個長方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這

個長方體的體積是多少？

7、將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔成一個大

正方體（不計損耗），求這個大正方體的體積。

＞課后反擊

1、有一個長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個正方體（如

圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？

2、一根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個最大的正方體

后，它的表面積減少了多少平方厘米？

3、有一個小金魚缸，長4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上

升0.8分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？

4、一個長方體，不同的三個面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且長、

寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個長方體的體積是多少立方厘米？

5、一個長方體的體積是48立方厘米，并且長、寬、高是三個連續(xù)的偶數(shù)。這個長方體的表面

積是多少平方厘米？

6、把一個正方體的六個面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4個同樣的小長方體，沒有涂顏

色的面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？

重點回顧

在長方體、正方體問題中，我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種形狀的

物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物體浸入水中，物體在水中會占領(lǐng)一部分的體

積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點:

1、將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗），體積不變；

2、兩個物體熔化成一個物體后，新物體的體積是原來物體體積的和;

3、物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。

解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實掌握長方體、正方體的特征，熟悉計算方

法，仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個長方體或正方體

沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。

學(xué)名師點撥入

蠲學(xué)競賽中，有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點：

1、必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來;

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化;

3、求一些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。

峻學(xué)霸經(jīng)驗如

本節(jié)課我學(xué)到

＞我需要努力的地方是

第12講長方體和正方體

教學(xué)目標a

1、能夠以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3、求一

些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。

旗知識梳理...

二專題簡析'

在數(shù)學(xué)競賽中，有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點：

1、必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；

3、求一些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變形的方法來解決。

二、常見問題

在長方體、正方體問題中，我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種形狀的

物體；把兩個物體熔化后鑄成一個物體；把一個物體浸入水中，物體在水中會占領(lǐng)一部分的體

積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點：

1、將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗），體積不變；

2、兩個物體熔化成一個物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；

3、物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。

解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實掌握長方體、正方體的特征，熟悉計算方

法，仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個長方體或正方體

沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。

覆典例分析籥

考點一：重合或者挖出立體的面積及體積

例1,一個零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米?

（單位：厘米）

【解析】（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來求它的體積，左邊的長方體體積是10X4X2=80（立

方厘米），右邊的長方體的體積是10X（6—2）X2=80（立方厘米），整個零件的體積是80X

2=160（立方厘米）；

⑵求這個零件的表面積，看起來比較復(fù)雜，其實，朝上的兩個面的面積和正好與朝下的一個

面的面積相等；朝右的兩個面的面積和正好與朝左的一個面的面積相等。因此，此零件的表面

積就是(10X6+10X4+2X2)X2=232(平方厘米)。

例2、有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面

積嗎？（單位：厘米）

【解析】（1）先求出長方體的體積，8X5X6=240（立方厘米），由于挖去了一個孔，所以體積減

少了2X2X2=8（立方厘米），這個零件的體積是240—8=232（立方厘米）；

（2）長方體完整的表面積是（8X5+8X6+6X5）X2=236（平方厘米），但由于挖去了一個孔，它的

表面積減少了一個（2X2）平方厘米的面，同時又增加了凹進去的5個（2X2）平方厘米的面，因

此，這個零件的表面積是236+2X2X4=252（平方厘米）。

例3、一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體，拼成的長方體的表面積比原來的長方

體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米?

【解析】一個正方體和一個長方體拼成新的長方體，其表面積比原來的長方體增加了4塊正方

形的面積，每塊正方形的面積是50+4=12.5（平方厘米）。正方體有6個這樣的面，所以，原來

正方體的表面積是12.5X6=75（平方厘米）。

考點二：已知面積求體積或者己知體積求面積

例1、把11塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米，求大

長方體的表面積。

【解析】要求大長方體的表面積，必須知道它的長、寬和高。我們用a、b、h分別表示小長方

體的長、寬、高，顯然，a=4h,即h=l/4a,2a=3b即b=2/3a,磚的體積是a*2/3a*l/4a=l/6a3。由

l/6a3=288可知，a=12,b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大長方體的長是12X2=24厘米，寬12厘米，

高是8+3=11厘米，表面積就不難求了。

例2、一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高以厘為

為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個長方體的體積和表面積各是多少？

【解析】長方體的前面和上面的面積是長義寬+長義高=長X（寬+高），由于此長方體的長、

寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11X19=11X（17+2）,即長、寬、高分別為

11、17、2厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容易了。

考點三：體積轉(zhuǎn)換

例1、有兩個無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘米，

寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水

倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？

【解析】由于后來兩個水箱里的水面的高度一樣,我們可以這樣思考:把兩個水箱并靠在一起，

水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）X水面的高度。這樣，我們只要先求出原來甲

水箱中的體積：40X32X20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40X32+30X

24=2000（平方厘米），就能得到后來水面的高度。

例2、有一個長方體容器，從里面量長5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分

米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？

【解析】鐵塊的體積是2X2X2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空間，

因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個體積除以底面積（5X4）就能得到水上升的高度

To

例3、有一個長方體容器（如下圖），長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。

如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？

【解析】首先求出水的體積：30X20X6=3600（立方厘米）。當容器豎起來以后，水流動了，但

體積沒有變，這時水的形狀是一個底面積是20X10=200平方厘米的長方體。只要用體積除以

底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。

例4、長方體不同的三個面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個長方

體的體積是多少立方厘米？

【解析】長方體不同的三個面的面積分別是長X寬、長X高、寬X高得來的。因此，15X10

X6=（長X寬義高）X（長X寬X高），而15X10X6=900=30X30。所以，這個長方體的體積是30

立方厘米。

考點四：分割圖形

例1、一個棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊，表面積

增加多少厘米？

【解析】把棱長為6厘米的正方體鋸成棱長為2厘米的正方體，可以按下圖中的線共鋸6次,

每鋸一次就增加兩個6X6=36平方厘米的面，鋸6次共增加36X2X6=432平方厘米的面積。

因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。

例2、有一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增加了24平方厘米，這個正方體

木塊原來的表面積是多少平方厘米？

【解析】把正方體分成兩個長方體后，增加了兩個面，每個面的面積是24+2=12平方厘米,

而正方體有6個這樣的面。所以原正方體的表面積是12X6=72平方厘米。

例3、一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的

小正方體中：

⑴三個面涂有紅色的有幾個？

⑵二個面涂有紅色的有幾個？

(3)一個面涂有紅色的有幾個？

(4)六個面都沒有涂色的有幾個？

【解析】按題中的要求切，切成的小正方體一共有3X3X3=27個。

⑴三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8個；

(2)二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有IX12=12個；

(3)一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有1X6=6個;

(4)六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27—(8+12+6)=1個。

例4、一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個體積相等

的小長方體，這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？

【解析】這個長方體原來的表面積是(6X5+6X4+5X4)X2=148平方厘米，每切割一刀，增

加2個面。切成三個體積相等的小長方體要切2刀，一共增加2X2=4個面。要求表面積和最

大，應(yīng)該增加4個6X5=30平方厘米的面。所以，三個小長方體表面積和最大是148+6X5X

4=268平方厘米。

復(fù)實戰(zhàn)演練...

A2課堂狙擊’

1、一個長5厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體，被切去一塊后(如圖)，剩下部分的表面積

和體積各是多少？

【解析】表面積與原來相等。體積比原來少了一個長、寬、高都是1厘米的一塊。原來表面積

=剩下部分的表面積=（5X1+1X3+3X5）義2=46（平方厘米），原來體積=5X1X3=15（立方厘米）,

剩下部分的體積=15-1X1X1=14（立方厘米）。

2、有一個形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。

【解析】表面積就是正方體與長方體表面積之和減去2個正方體的底面面積。體積就是長方體

與正方體體積之和。表面積=2X（2X6+2X4+4X6）+2X2X2X3=112（平方厘米），體積=2X6X

4+2X2X2=56（立方厘米）

3、有一個棱長是4厘米的正方體，從它的一個頂點處挖去一個棱長是1厘米的正方體后，剩

下物體的體積和表面積各是多少

【解析】表面積沒有發(fā)生變化，體積就是大正方體減去挖去的小正方體。表面積=4X4X6=48（平

方厘米），體積=4X4X4-1XIX1=63（立方厘米）

4、把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體，這個大長方體的表面積比原來兩個長方

體的表面積的和減少了46平方厘米，而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24

厘米，那么它的體積是多少立方厘米？

【解析】由圖可以看出，減少的表面積就是原來2倍的長方體的寬X高。所以大長方體側(cè)面表

面積是23平方厘米。所以大長方體的體積=23X24=552立方厘米。

5、一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個這樣的小正方體所組成的大正方體

的表面積是多少平方厘米？

【解析】小正方體的表面積是6平方厘米，其長就是1厘米。1000個這樣的小正方體所組成

的大正方體的長是100X1=100(厘米)，其表面積=100X100X6=6立方米

6、有一個長方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這

個長方體的體積是多少？

【解析】前面和上面的面積和是88平方厘米。即長義(寬+高)=88=1IX(3+5),所以長方體的體

積=11X3X5=165立方厘米。

7、將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔成一個大

正方體(不計損耗)，求這個大正方體的體積。

【解析】因為正方體的六個面都相等，而54=6X9=6X(3X3),所以這個正方體的棱是3厘米。

用同樣的方法求出另兩個正方體的棱長：96=6X(4X4),棱長是4厘米；150=6X(5X5),棱長

是5厘米。知道了棱長就可以分別算出它們的體積,這個大正方體的體積就等于它們的體積和。

＞課后反擊

1、有一個長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個正方體(如

圖)，求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？

【解析】表面積減少了4個1X1,面積=2X(8XI+8X3+1X3)4=66平方厘米。體積=8X1X

3-2X1X1X1=22立方厘米

2、一根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個最大的正方體

后，它的表面積減少了多少平方厘米？

【解析】減少了4個正方體的底面面積即4X12X12=576平方厘米。

3、有一個小金魚缸，長