高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（36）第五章 數(shù)列 第四講 數(shù)列求和（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案36]第四講數(shù)列求和A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2020·湖北武漢部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n·(3n－1)，則a1＋a2＋…＋a10＝(A)A．15 B．12C．－12 D．－15[解析]依題意，得a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)＝－(2＋8＋…＋26)＋(5＋11＋…＋29)＝－eq\f(2＋26,2)×5＋eq\f(5＋29,2)×5＝－70＋85＝15，故選A.2．(2020·河北保定摸底)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝nsin(eq\f(n＋1,2)π)＋1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2017＝(C)A．1232 B．3019C．3025 D．4321[解析]∵an＝nsin(eq\f(n＋1,2)π)＋1，∴a1＝1×0＋1，a2＝2×(－1)＋1，a3＝3×0＋1，a4＝4×1＋1，…，a2017＝2017×0＋1，∴S2017＝2017×1＋(－2＋4－6＋8＋…＋2016)＝2017＋504×2＝3025.故選C.3．(2020·山西河津二中月考)已知數(shù)列{an}為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，eq\f(1,4)＋eq\f(2,4)＋eq\f(3,4)，eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)，…，若bn＝eq\f(1,anan＋1)，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為(A)A．eq\f(4n,n＋1) B．eq\f(2n－2,n＋1)C.eq\f(n,n＋1) D．eq\f(n－1,2n＋1)[解析]∵an＝eq\f(1＋2＋…＋n,n＋1)＝eq\f(n,2)，∴bn＝eq\f(4,nn＋1)＝4(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，∴Sn＝4(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(4n,n＋1).故選A.4．化簡(jiǎn)Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的結(jié)果是(D)A．2n＋1＋n－2 B．2n＋1－n＋2C．2n－n－2 D．2n＋1－n－2[解析]因?yàn)镾n＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1①，2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n②，所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：(1)構(gòu)造數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n)；①(2)將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以eq\f(n,2)，得到一個(gè)新數(shù)列a1，a2，a3，a4，…，an.則a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1A．eq\f(n2,4) B．eq\f(n－12,4)C.eq\f(nn－1,4) D．eq\f(nn＋1,4)[解析]依題意可得新數(shù)列為eq\f(n,2)，eq\f(n,4)，eq\f(n,6)，…，eq\f(1,n)×eq\f(n,2)，所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝eq\f(n2,4)[eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n－1n)]＝eq\f(n2,4)(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))＝eq\f(n2,4)×eq\f(n－1,n)＝eq\f(nn－1,4).故選C.6．(2020·云南玉溪一中月考)數(shù)列{an}首項(xiàng)a1＝1，對(duì)于任意m，n∈N*，有an＋m＝an＋3m，則{an}前5項(xiàng)和S5A．121 B．25C．31 D．35[解析]由題意知an＋1＝an＋3，∴{an}是首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列，a5＝a1＋12＝13，∴S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝35.故選D.二、多選題7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(Sn≠0)，且滿足an＋4SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,4)，則下列說(shuō)法正確的是(AD)A．Sn＝eq\f(1,4n)B．a(chǎn)n＝eq\f(1,4nn＋1)C．{an}為遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列{eq\f(1,Sn)}為遞增數(shù)列[解析]∵an＋4SnSn－1＝0，∴Sn－Sn－1＋4SnSn－1＝0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝4，∴{eq\f(1,Sn)}是以eq\f(1,S1)＝4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，D正確．∴eq\f(1,Sn)＝4n，∴Sn＝eq\f(1,4n)，A正確．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－eq\f(1,4nn－1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\f(1,4)，∴B、C不正確，故選A、D.8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)律：eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，eq\f(2,4)，eq\f(3,4)，eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5)，eq\f(4,5)，…，eq\f(1,n)，eq\f(2,n)，…eq\f(n－1,n)，以下說(shuō)法正確的是(ACD)A．a(chǎn)24＝eq\f(3,8)B．?dāng)?shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n項(xiàng)和為Tn＝eq\f(n2＋n,4)D．若存在正整數(shù)k，使Sk<10，Sk＋1≥10，則ak＝eq\f(5,7)[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，a22＝eq\f(1,8)，a23＝eq\f(2,8)，a24＝eq\f(3,8)，故A正確．對(duì)于選項(xiàng)B、C，數(shù)列eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2…等差數(shù)列，Tn＝eq\f(n2＋n,4)，故B錯(cuò)，C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，S21>10，S20<10，a20＝eq\f(5,7)，正確．故選A、C、D.三、填空題9.eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2))[解析]∵eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,n2＋2n)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))，∴eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n＋12－1)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(1,2)(eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)(eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2))．10．(2020·山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，則S10＝__1_078__.[解析]a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1?an＋1－an＝2n－1＋1?an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1?an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋n－1＋a1.＝eq\f(1－2n－1,1－2)＋n－1＋2＝2n－1＋n.S10＝1＋2＋22＋…＋29＋eq\f(10×11,2)＝1078.11．(2020·廣東省五校協(xié)作體高三第一次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足：a1為正整數(shù)，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，an為偶數(shù),3an＋1，an為奇數(shù)，))如果a1＝1，則a1＋a2＋a3＋…＋a2018＝__4_709__.[解析]由已知得a1＝1，a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝4，a6＝2，周期為3的數(shù)列，a1＋a2＋…＋a2018＝(1＋4＋2)×672＋1＋4＝4709.12．(2020·福建省泉州市教學(xué)質(zhì)量跟蹤監(jiān)測(cè))我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤．?dāng)啬┮怀?，重二斤．?wèn)依次一尺各重幾何？”其意思是：“現(xiàn)有一根金杖(一頭粗，一頭細(xì))長(zhǎng)五尺，在粗的一端截下1尺，重4斤．在細(xì)的一端截下1尺，重2斤．問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問(wèn)該金箠的總重量為_(kāi)_15__斤．[解析]由題意知，金箠的5段重量構(gòu)成以4為首項(xiàng)，2為末項(xiàng)的等差數(shù)列，則總重量S＝eq\f(4＋2,2)×5＝15(斤)．三、解答題13．(2020·吉林省長(zhǎng)春汽車經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)第六中學(xué)考試)已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an－1an＋1)，若數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn，證明：Tn<eq\f(1,2).[解析](1)由題意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,2)＝a1a4,S10＝110))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d2＝a1a1＋3d,10a1＋45d＝110))解得a1＝d＝2，故數(shù)列an＝2n.(2)由(1)可知bn＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))，則Tn＝eq\f(1,2)[(eq\f(1,1)－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋…＋(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))]＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,2n＋1))<eq\f(1,2).14．(2020·云南省紅河州高三復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè))等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0，數(shù)列{eq\f(1,anan＋1)}的前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(n,2n＋1).(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝(an＋1)·2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.[解析](1)由{eq\f(1,anan＋1)}的前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(n,2n＋1)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1a2)＝\f(1,3),\f(1,a1a2)＋\f(1,a2a3)＝\f(2,5)，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1a2＝3,a2a3＝15，))設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1a1＋d＝3,a1＋da1＋2d＝15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1,d＝－2))，又a1>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,d＝2))，故an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)知bn＝(an＋1)·2an＝2n·22n－1＝n·4n，則Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，兩邊同時(shí)乘以4得4Tn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，兩式相減得－3Tn＝41＋42＋43＋44＋…＋4n－n×4n＋1＝eq\f(4×1－4n,1－4)－n×4n＋1，故Tn＝eq\f(4,9)＋eq\f(3n－1,9)·4n＋1.B組能力提升1．(2020·益陽(yáng)、湘潭調(diào)研考試)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，設(shè)bn＝log2an，則eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,b2017b2018)的值是(B)A．eq\f(4035,2018) B．eq\f(4033,2017)C．eq\f(2017,2018) D．eq\f(2016,2017)[解析]由Sn＋1＝2Sn可知，數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為S1＝a1＝2，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＝2n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.bn＝log2an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,n－1，n≥2，))當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,n－1n)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，所以eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,b2017b2018)＝1＋1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2016)－eq\f(1,2017)＝2－eq\f(1,2017)＝eq\f(4033,2017).故選B.2．(2020·銀川一中模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋eq\f(1,n))，則an＝(A)A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnn[解析]由已知條件得a2＝a1＋ln2，a3＝a2＋lneq\f(3,2)，a4＝a3＋lneq\f(4,3)，…，an＝an－1＋lneq\f(n,n－1)，得an＝a1＋ln2＋lneq\f(3,2)＋lneq\f(4,3)＋…＋lneq\f(n,n－1)＝2＋ln(2×eq\f(3,2)×eq\f(4,3)×…×eq\f(n,n－1))＝2＋lnn，故選A.3．(2020·福建省寧德市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè))我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有如下問(wèn)題：“今有三女，長(zhǎng)女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸．問(wèn)：三女何日相會(huì)？”意思是：“一家出嫁的三個(gè)女兒中，大女兒每五天回一次娘家，二女兒每四天回一次娘家，小女兒每三天回一次娘家．三個(gè)女兒從娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相會(huì)？”若當(dāng)?shù)仫L(fēng)俗正月初二都要回娘家，且回娘家當(dāng)天均返回夫家，則從正月初三算起的一百天內(nèi)，有女兒回娘家的天數(shù)有(C)A．58 B．59C．60 D．61[解析]小女兒、二女兒和大女兒回娘家的天數(shù)分別是33,25,20，小女兒和二女兒、小女兒和大女兒、二女兒和大女兒回娘家的天數(shù)分別是8,6,5，三個(gè)女兒同時(shí)回娘家的天數(shù)是1，所以有女兒在娘家的天數(shù)是：35＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.4．(2020·湖北省穩(wěn)派教育高三上學(xué)期第二次聯(lián)考)“斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契發(fā)現(xiàn)，因?yàn)殪巢瞧跻酝米臃敝碁槔佣?，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”，斐波那契數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，記其前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)a2018＝t(t為常數(shù))，則S2016＋S2015－S2014－S2013＝__t__(