高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（28）第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第二講 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案28]第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．設(shè)向量a＝(2,4)與向量b＝(x,6)共線，則實數(shù)x＝(B)A．2 B．3C．4 D．6[解析]因為a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.故選B.2．(2020·撫州模擬)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c＝(B)A．3a＋b B．3aC．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b[解析]解法一：設(shè)c＝ma＋nb，則(4,2)＝(m－n，m＋n)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝4，,m＋n＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1，))所以c＝3a－b.解法二：代入驗證法對于A,3a＋b＝3(1,1)＋(－1,1)＝(2,4)≠c，故A不正確；同理選項C、D也不正確；對于B,3a－b＝(4,2)＝3．(2020·北京八十中學(xué)月考)已知向量i與j不共線，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三點共線，則mn＝(C)A．eq\f(1,2) B．2C．1 D．－3[解析]∵A，B，D三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λn，,m＝λ，))∴mn＝1.故選C.4．(2020·湖南重點中學(xué)聯(lián)考)已知m＝(5,12)，則與m方向相同的單位向量的坐標(biāo)是(A)A．(eq\f(5,13)，eq\f(12,13)) B．(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))C．(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)) D．(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))[解析]設(shè)所求向量為n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ2＋144λ2＝1，得λ＝eq\f(1,13)，∴n＝(eq\f(5,13)，eq\f(12,13))．故選A.5．若M是△ABC內(nèi)一點，且滿足eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BM,\s\up6(→))，則△ABM與△ACM的面積之比為(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．2[解析]設(shè)AC的中點為D，則eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，于是2eq\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(BM,\s\up6(→))，從而eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(BM,\s\up6(→))，即M為BD的中點，于是eq\f(S△ABM,S△ACM)＝eq\f(S△ABM,2S△AMD)＝eq\f(BM,2MD)＝eq\f(1,2).6．(2020·江西新余第一中學(xué)模擬)如圖，已知△OAB，若點C滿足eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(9,2)[解析]∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).故選D.二、多選題7．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是(BD)A．a(chǎn)＝(1,2)，b＝(0,0)B．a(chǎn)＝(1，－2)，b＝(3,5)C．a(chǎn)＝(3,2)，b＝(9,6)D．a(chǎn)＝(－eq\f(3,4)，eq\f(1,2))，b＝(－3，－2)[解析]在平面內(nèi)，根據(jù)向量基底的定義知，兩個向量不共線即可作為基底．故選B、D.8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(MN,\s\up6(→))|，則P點的坐標(biāo)為(BD)A．(－8,1) B．(－1，－eq\f(3,2))C．(1，eq\f(3,2)) D．(7，－eq\f(5,2))[解析]設(shè)P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝(－4，eq\f(1,2))，當(dāng)eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))所以P點坐標(biāo)為(－1，－eq\f(3,2))．同理當(dāng)eq\o(MP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))時，可解得P(7，－eq\f(5,2))．故選B、D.三、填空題9．(2020·廣西賀州聯(lián)考)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,8)，則mn＝__7__.[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.10．(2020·北京海淀區(qū)期中)已知向量a＝(1,0)，b＝(m，n)，若b－a與a平行，則實數(shù)n的值為__0__.[解析]b－a＝(m－1，n)，若b－a與a平行，則n×1＝(m－1)×0，得n＝0.11．設(shè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，向量λa－2b與a＋b平行，則實數(shù)λ＝__－2__.[解析]∵a＝(3,2)，b＝(－1,3)，∴λa－2b＝(3λ＋2,2λ－6)，a＋b＝(2,5)，又λa－2b與a＋b平行，所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.12．(2020·江西南昌模擬)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，則m－n＝__－6__.[解析]∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20①，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，n>0，,－2m－n＝0))②，聯(lián)立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.四、解答題13．已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)當(dāng)k為何實數(shù)時，ka－b與a＋3b平行，平行時它們是同向還是反向？[解析](1)因為a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因為ka－b與a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq\f(1,3).此時ka－b＝(k－2，－1)＝(－eq\f(7,3)，－1)，a＋3b＝(7,3)，則a＋3b＝－3(ka－b)，即此時向量a＋3b與ka－b方向相反．14．(2020·河北六校第三次聯(lián)考)已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R.(1)若x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)是否存在實數(shù)k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．[解析](1)b＋c＝(sinx－1，－1)，因為a∥(b＋c)，所以－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－eq\f(1,2).又x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，所以x＝－eq\f(π,6).(2)a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，則(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，所以k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5，由sinx∈[－1,1]，可得k∈[－5，－1]，所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．B組能力提升1．(2020·河北石家莊二中模擬)已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零實數(shù)λ，使得a＝λ(a＋b)，則t＝(B)A．6 B．－6C．－eq\f(3,2) D．eq\f(2,3)[解析]因為a＋b＝(2，t＋2)，a＝λ(a＋b)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,t＝λt＋2，))解得t＝－6.2．(2020·福建莆田二十四中期中)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，F(xiàn)是線段DC上的點．若DC＝3DF，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝(B)A．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b[解析]如圖所示，平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，F(xiàn)是線段DC上的點，且DC＝3DF.∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).則eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,6)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.故選B.3．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，設(shè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，則C點所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是(A)[解析]由題意知eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求區(qū)域包含原點，取λ＝0，μ＝1，知所求區(qū)域包含(1,3)，從而選A.4．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，點C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝30°.設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)＝__3__.[解析]如圖所示，因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OB,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→)).不妨設(shè)|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，過點C作CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E，則四邊形ODCE是矩形.eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)).因為|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，∠COD＝30°，所以|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(3).又因為|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，故eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→)).所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\r(3),3)eq\o(OB,\s\up6(→))，此時m＝e