新高考數學一輪復習 第七章 立體幾何 課時作業(yè)42 空間點、直線、平面之間的位置關系（含解析）-人教版高三數學試題

課時作業(yè)42空間點、直線、平面之間的位置關系一、選擇題1．給出下列命題：①經過三點確定一個平面；②梯形可以確定一個平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．其中正確命題的個數是(C)A．0B．1C．2D．3解析：對于①，未強調三點不共線，故①錯誤；②正確；對于③，三條直線兩兩相交，如空間直角坐標系，能確定三個平面，故③正確；對于④，未強調三點不共線，則這兩個平面也可能相交，故④錯誤．故選C.2．在正方形ABCD-A1B1C1D1中，棱所在的直線與直線BA1A．4B．5C．6D．7解析：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BA1?平面ABB1A1，則有AD，B1C1，CD，C1D1，CC1，DD1，共6條直線與3．已知a，b，c是兩兩不同的三條直線，則下面四個命題中，為真命題的是(C)A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c解析：若直線a，b異面，b，c異面，則a，c可能相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c可能相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c可能相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知選項C中的命題為真．故選C.4．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是(D)A．相交或平行B．相交或異面C．平行或異面D．相交、平行或異面解析：因為直線a與平面α，β的位置關系不確定，則直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面，故選D.5．如圖所示，在四面體ABCD中，若直線EF和GH相交，則它們的交點一定(A)A．在直線DB上B．在直線AB上C．在直線CB上D．以上都不對解析：設直線EF與GH的交點為M.∵EF?平面ABD，GH?平面CBD，∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD.又∵平面ABD∩平面CBD＝BD，∴M∈BD，∴EF與GH的交點在直線DB上．6．在正四棱錐P-ABCD中，PA＝2，直線PA與平面ABCD所成的角為60°，E為PC的中點，則異面直線PA與BE所成的角為(C)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：連接AC，BD交于點O，連接OE，OP，則O是AC，BD的中點，又E是PC的中點，∴OE∥AP，∴∠OEB為異面直線PA與BE所成的角(或補角)．∵四棱錐P-ABCD是正四棱錐，∴PO⊥平面ABCD，則∠PAO為直線PA與平面ABCD所成的角，即∠PAO＝60°.又PA＝2，∴OA＝OB＝1，OE＝1，∴在Rt△OBE中，∠OEB＝45°，即異面直線PA與BE所成的角為45°，故選C.7．(多選題)已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c的位置關系可能是(BCD)A．兩兩平行B．兩兩垂直C．兩兩相交D．兩兩異面解析：如圖①所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD、平面A1ADD1、平面A1ABB1兩兩垂直，則AB，AD，A1A兩兩相交且兩兩垂直，故B，C正確；CD，A1D1，BB1彼此異面，故D正確．如圖②所示，設α∩β＝m，β∩γ＝n，α∩γ＝l，在平面γ內任取一點O(O?l，O?n)，過O作OB⊥l，OC⊥n，垂足分別為B，C.因為α⊥γ，α∩γ＝l，OB?γ，OB⊥l，所以OB⊥α.因為m?α，所以OB⊥m，同理OC⊥m.因為OB∩OC＝O，所以m⊥γ，同理n⊥α，l⊥β.若a，b，c兩兩平行，因為a?α，b?β，α∩β＝m，所以a∥b∥m.又因為m⊥γ，c?γ，所以m⊥c，所以a⊥c，與a∥c矛盾．所以a，b，8．到空間不共面的四點距離相等的平面的個數為(C)A．1B．4C．7D．8解析：當空間四點不共面時，則四點構成一個三棱錐．①當平面一側有一點，另一側有三點時，如圖1.令截面與四棱錐的四個面之一平行，第四個頂點到這個截面的距離與其相對的面到此截面的距離相等，這樣的平面有4個；②當平面一側有兩點，另一側有兩點時，如圖2，當平面過AB，BD，CD，AC的中點時，滿足條件．因為三棱錐的相對棱有三對，則此時滿足條件的平面有3個．所以滿足條件的平面共有7個，故選C.二、填空題9．三條直線可以確定三個平面，這三條直線的公共點個數是0或1.解析：因三條直線可以確定三個平面，所以這三條直線有兩種情況：一是兩兩相交，有1個交點；二是互相平行且不共面，沒有交點．10．如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點，AA1AB＝eq\r(2)1，則異面直線AB1與BD所成的角為60°.解析：取A1C1的中點E，連接B1E，ED，AE，則B1E∥BD，∴∠AB1E為異面直線AB1與BD所成的角．設AB＝1，則A1A＝eq\r(2)，在Rt△AB1E中，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，則∠AB1E＝60°，即異面直線AB1與BD所成的角為60°.11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段A1B上運動，則異面直線DP與CB1所成角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).解析：由題意，在正方體中，連接DA1，DB，則CB1∥DA1，所以∠A1DP為異面直線DP與CB1所成的角，點P與B重合時，∠A1DP最大，且最大為eq\f(π,3)，當點P與A1無限接近時，∠A1DP趨近于零，故異面直線DP與CB1所成角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).12．(多填題)在四面體ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，則四面體ABCD的體積為eq\f(2,3)，異面直線AB與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).解析：因為AD⊥BD，AD⊥CD，所以AD⊥平面BCD，所以四面體ABCD的體積V＝eq\f(1,3)AD·S△BCD＝eq\f(1,3)AD·BD·BC＝eq\f(1,3)×1×1×2＝eq\f(2,3).解法1：如圖，在平面BCD內，過點D作BC的平行線與過點B作的CD的平行線相交于E，連接AE，則四邊形BCDE為平行四邊形，所以DE＝BC＝2，且∠ABE為異面直線AB與CD所成的角．由AD⊥平面BCD，且AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(2)，則AD⊥DE，所以AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(5).因為BD⊥BC，所以DC＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(5)，則BE＝CD＝eq\r(5)，于是在△ABE中，由余弦定理，得cos∠ABE＝eq\f(AB2＋BE2－AE2,2AB·BE)＝eq\f(2＋5－5,2\r(2)×\r(5))＝eq\f(\r(10),10).解法2：以D為坐標原點，在平面BCD內過D與BD垂直的直線為x軸，以DB，DA所在的直線分別為y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(－2,1,0)，D(0,0,0)，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝(0,1，－1)，eq\o(DC,\s\up15(→))＝(－2,1,0)，則coseq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up15(→))·\o(DC,\s\up15(→)),|\o(AB,\s\up15(→))|·|\o(DC,\s\up15(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(5))＝eq\f(\r(10),10)，即異面直線AB與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).三、解答題13．如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，FD的中點．(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形．(2)C，D，F，E四點是否共面？為什么？解：(1)證明：由題設知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH＝eq\f(1,2)AD且GH∥AD，又BC＝eq\f(1,2)AD且BC∥AD，故GH綊BC.所以四邊形BCFG是平行四邊形．(2)C，D，F，E四點共面．理由如下：由BE＝eq\f(1,2)AF且BE∥AF，G是FA的中點知，BE綊GF，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF綊BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又點D在直線FH上，所以C，D，F，E四點共面．14.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).15．(多選題)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在線段BC1A．平面PB1D⊥平面ACD1B．A1P∥平面ACD1C．異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))D．三棱錐D1-APC的體積不變解析：在正方體中，B1D⊥平面ACD1，B1D?平面PB1D，所以平面PB1D⊥平面ACD1，所以A正確；連接A1B，A1C1，如圖，容易證明平面A1BC1∥平面ACD1，又A1P?平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，所以B正確；因為BC1∥AD1，所以異面直線A1P與AD1所成的角就是直線A1P與BC1所成的角，在△A1BC1中，易知所求角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以C錯誤；VD1-APC＝VC-AD1P，因為點C到平面AD1P的距離不變，且△AD1P的面積不變，所以三棱錐D1-APC的體積不變，所以D正確．16．如圖，在側棱長為3的正三棱錐A-BCD中，每個側面都是等腰直角三角形，在該三棱錐的表面上有一個動點P，且點P到點B的距離始終等于2eq\r(3)，則動點P在三棱錐表面形成的曲線的長度為eq\f(3\r(3),2)π.解析：設動點P在三棱錐表面形成的曲線是EFGH，如圖所示，則BE＝BH＝2eq\r(3).在直角三角形BAH中，cos∠HBA＝eq\f(3,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴∠HBA＝eq\f(π,6)，∠HBG＝eq\f(π,4)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,12)，∴eq\o\ac(HG,\s\up15(︵))＝2eq\r(3)×eq\f(π,12)＝eq\f(\r(3),6)π，同理eq\o\ac(EF,\s\up15(︵))＝eq\f(\r(3),6)π.在直角三角形HAE中，∠HAE＝eq\f(π,2)，AH＝AE＝eq\r(2\r(3