高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題過(guò)關(guān)檢測(cè)（六）基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專題過(guò)關(guān)檢測(cè)（六）基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程A級(jí)——“12＋4”提速練1．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)解析：選D設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xa，則f(3)＝3a＝eq\r(3)，解得a＝eq\f(1,2)，則f(x)＝xeq\f(1,2)＝eq\r(x)，是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．2．函數(shù)y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過(guò)的點(diǎn)是()A．(0,0) B．(0，－1)C．(－2,0) D．(－2，－1)解析：選C令x＋2＝0，得x＝－2，所以當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(－2,0)．3．“十一”黃金周期間會(huì)有許多外地旅客入住賓館，假設(shè)某賓館有100個(gè)房間供住宿，當(dāng)房間單價(jià)定為300元/天時(shí)，會(huì)全部住滿，房間單價(jià)每上漲10元，就會(huì)有一個(gè)房間空閑．如果旅客居住房間，賓館每間每天需花費(fèi)20元的維修費(fèi)用；如果房間空閑，則不需要維修．賓館的利潤(rùn)最大時(shí)，房間的單價(jià)為()A．360元/天 B．300元/天C．660元/天 D．730元/天解析：選C設(shè)房間單價(jià)為(300＋10x)元/天，則空閑的房間有x間．故賓館的利潤(rùn)y＝(300＋10x)(100－x)－20(100－x)＝－10x2＋720x＋28000＝－10(x－36)2＋40960(x≥0)，當(dāng)x＝36時(shí)，y取得最大值，即當(dāng)房間的單價(jià)為300＋10×36＝660(元/天)時(shí)，賓館的利潤(rùn)最大．故選C.4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))則函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C令f(x)＋3x＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－2x＋3x＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,1＋\f(1,x)＋3x＝0，))解得x＝0或x＝－1，所以函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選C.5．(2019·貴州適應(yīng)性考試)若log2a＝0.3,0.3b＝2，c＝0.32，則實(shí)數(shù)a，b，c之間的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．b>a>c解析：選B根據(jù)題意有a＝20.3，b＝log0.32，c＝0.32，又20.3>20＝1，log0.32<log0.31＝0,0.32＝0.09，所以a>c>b.6．已知函數(shù)f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1，－log32) B．(0，log52)C．(log32,1) D．(1，log34)解析：選C∵函數(shù)f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，且f(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1.7．圖①中的兩條曲線分別表示某理想狀態(tài)下某種動(dòng)物(以下簡(jiǎn)稱動(dòng)物)和它的天敵(以下簡(jiǎn)稱天敵)數(shù)量隨時(shí)間變化的規(guī)律，則下列對(duì)動(dòng)物和天敵數(shù)量及其關(guān)系的描述錯(cuò)誤的是()A．天敵和動(dòng)物數(shù)量之間的關(guān)系大致可以用圖②描述B．由圖①可知，在天敵數(shù)量增加的過(guò)程中，動(dòng)物數(shù)量先增加后減少C．動(dòng)物和天敵數(shù)量的變化都以10年為一周期D．天敵數(shù)量在第25年至第30年之間在減少解析：選A觀察題圖①可知，動(dòng)物和天敵數(shù)量的變化都是以10年為一周期(據(jù)此知選項(xiàng)C的描述正確)，因此可根據(jù)前10年為例加以分析．觀察題圖①可知在天敵數(shù)量增加的過(guò)程中，動(dòng)物的數(shù)量先增加后減少(據(jù)此知選項(xiàng)B的描述正確，選項(xiàng)A的描述錯(cuò)誤)，因?yàn)樵诘?年至第10年之間天敵數(shù)量在減少，所以結(jié)合周期可知在第25年至第30年之間天敵數(shù)量也在減少(據(jù)此知選項(xiàng)D的描述正確)．故選A.8．若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x，則f(2)＋g(4)＝()A．3 B．4C．5 D．6解析：選D∵函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x＝2x，∴g(x)＝log2x，∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6.9．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)為()A．(－∞，＋∞)上的減函數(shù)B．(－∞，＋∞)上的增函數(shù)C．(－1,1)上的減函數(shù)D．(－1,1)上的增函數(shù)解析：選D由題意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))＝lgeq\f(x＋1,1－x)，令eq\f(x＋1,1－x)>0，則－1<x<1，排除A、B，又y＝eq\f(2,1－x)－1在(－1,1)上是增函數(shù)，∴f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．選D.10．(2019·貴陽(yáng)第一學(xué)期監(jiān)測(cè))若函數(shù)f(x)＝x2，設(shè)a＝log54，b＝logeq\f(1,5)eq\f(1,3)，c＝2eq\f(1,5)，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系是()A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)解析：選Df(x)＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而0<logeq\f(1,5)eq\f(1,3)＝log53<log54<1<2eq\f(1,5)，所以f(b)<f(a)<f(c)，故選D.11．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x＋1，x∈[0，1，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞，))則關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選D因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－log\f(1,2)－x＋1，x∈－1，0，,－1＋|－x－3|，x∈－∞，－1]，))作出y＝f(x)和y＝a(0<a<1)的圖象如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，所以F(x)有5個(gè)零點(diǎn)．12．已知函數(shù)f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，且a≠1)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B．(0，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))解析：選A當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，2x2＋x∈(0,1)，因?yàn)楫?dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，恒有f(x)>0，所以0<a<1，由2x2＋x>0得x>0或x<－eq\f(1,2).又2x2＋x＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))2－eq\f(1,8)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).13．十六、十七世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為簡(jiǎn)化計(jì)算發(fā)明了對(duì)數(shù)，直到十八世紀(jì)才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，即ab＝N?b＝logaN，現(xiàn)在已知a＝log48，b＝log24，則4a＝________，a＋b＝________.(用最簡(jiǎn)結(jié)果作答)解析：因?yàn)閍＝log48，b＝log24，所以4a＝4eq\a\vs4\al(log48)＝8，a＋b＝log22eq\r(2)＋log24＝eq\f(3,2)＋2＝eq\f(7,2).答案：8eq\f(7,2)14．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋4)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，y＝－log2(x＋4)在區(qū)間[－2，2]上都單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋4)在區(qū)間[－2,2]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)的最大值為f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2－log2(－2＋4)＝9－1＝8.答案：815．有四個(gè)函數(shù)：①y＝xeq\f(1,2)；②y＝21－x；③y＝ln(x＋1)；④y＝|1－x|.其中在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)的序號(hào)是________．解析：分析題意可知①③顯然不滿足題意，畫(huà)出②④中的函數(shù)圖象(圖略)，易知②④中的函數(shù)滿足在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減．答案：②④16．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個(gè)零點(diǎn)，令f(x)＝0，得a＝2x，因?yàn)?<2x≤20＝1，所以0<a≤1.答案：(0,1]B級(jí)——拔高小題提能練1．已知函數(shù)f(x)＝sinx－sin3x，x∈[0,2π]，則f(x)的所有零點(diǎn)之和等于()A．5π B．6πC．7π D．8π解析：選Cf(x)＝sinx－sin3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos2xsinx，令f(x)＝0，可得cos2x＝0或sinx＝0，∵x∈[0,2π]，∴2x∈[0,4π]，由cos2x＝0可得2x＝eq\f(π,2)或2x＝eq\f(3π,2)或2x＝eq\f(5π,2)或2x＝eq\f(7π,2)，∴x＝eq\f(π,4)或x＝eq\f(3π,4)或x＝eq\f(5π,4)或x＝eq\f(7π,4)，由sinx＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，∵eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)＋eq\f(5π,4)＋eq\f(7π,4)＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零點(diǎn)之和等于7π，故選C.2．(2020屆高三·石家莊摸底)若函數(shù)f(x)＝kx－|x－e－x|有兩個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()A．(0，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))C．(0,1) D．(0，e)解析：選C令f(x)＝kx－|x－e－x|＝0，得kx＝|x－e－x|，當(dāng)x>0時(shí)，k＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－e－x,x)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,xex)))，令g(x)＝1－eq\f(1,xex)，x>0，則g′(x)＝eq\f(1＋x,x2ex)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq\f(2,\r(e))<0，g(1)＝1－eq\f(1,e)>0，所以在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上存在一個(gè)a，使得g(a)＝0，所以y＝|g(x)|的圖象如圖所示．由題意知，直線y＝k與y＝|g(x)|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<k<1，故選C.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝e|lnx|(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，則下列結(jié)論一定不成立的是()A．x2f(x1)>1 B．x2f(x1)＝1C．x2f(x1)<1 D．x2f(x1)<x1f(x2)解析：選Cf(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(elnx＝x，x≥1，,e－lnx＝\f(1,x)，0<x<1，))作出y＝f(x)的圖象如圖所示，若0<x1<1<x2，則f(x1)＝eq\f(1,x1)>1，f(x2)＝x2>1，x2f(x1)>1，則A成立．若0<x2<1<x1，則f(x2)＝eq\f(1,x2)>1，f(x1)＝x1>1，則x2f(x1)＝x2x1＝1，則B成立．對(duì)于C，若0<x1<1<x2，則x2f(x1)>1，x1f(x2)＝1，則C不成立；若0<x2<1<x1，則x2f(x1)＝1，x1f(x2)>1，則D成立．故選C.4．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t(單位：分)后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h)，其中Ta稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降到40℃需要20分鐘，那么此杯咖啡從40℃降溫到32℃時(shí)，還需要________分鐘．解析：由已知可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，則40－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(20,h)，解得h＝10.當(dāng)咖啡從40℃降溫到32℃時(shí)，可得32－24＝(40－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq