數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)匯報(bào)人：AA2024-01-19BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目錄CONTENTS緒論概率論基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)量及其分布參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方差分析與回歸分析BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01緒論數(shù)理統(tǒng)計(jì)是應(yīng)用概率論的結(jié)果，更深入地分析研究統(tǒng)計(jì)資料，通過對(duì)某些現(xiàn)象的頻率的觀察來發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律性，并做出一定精確度的判斷和預(yù)測；將這些研究的某些結(jié)果加以歸納整理，逐步形成一定的數(shù)學(xué)概型。定義數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，分為描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)。它以概率論為基礎(chǔ)，研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。描述統(tǒng)計(jì)的任務(wù)是搜集資料，進(jìn)行整理、分組，編制次數(shù)分配表，繪制次數(shù)分配曲線，計(jì)算各種特征指標(biāo)。意義數(shù)理統(tǒng)計(jì)的定義與意義研究對(duì)象數(shù)理統(tǒng)計(jì)以受到隨機(jī)因素影響的數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，其數(shù)據(jù)源主要有兩種：一種是主動(dòng)進(jìn)行的調(diào)查或試驗(yàn)，另一種是被動(dòng)收集的觀察資料。數(shù)據(jù)特點(diǎn)數(shù)理統(tǒng)計(jì)所研究的數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性、數(shù)量性和總體性等特點(diǎn)。隨機(jī)性是指數(shù)據(jù)是在隨機(jī)因素作用下產(chǎn)生的；數(shù)量性是指數(shù)據(jù)是大量且可度量的；總體性是指數(shù)據(jù)是來自于某個(gè)總體的。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象VS運(yùn)用制表和分類，圖形以及計(jì)算概括性數(shù)據(jù)來描述數(shù)據(jù)特征的各項(xiàng)活動(dòng)，稱為描述性統(tǒng)計(jì)。描述性統(tǒng)計(jì)分析要對(duì)調(diào)查總體所有變量的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述，主要包括數(shù)據(jù)的頻數(shù)分析、集中趨勢分析、離散程度分析、分布以及一些基本的統(tǒng)計(jì)圖形。推斷性統(tǒng)計(jì)是研究如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)去推斷總體數(shù)量特征的方法，它是在對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行描述的基礎(chǔ)上，對(duì)統(tǒng)計(jì)總體的未知數(shù)量特征做出以概率形式表述的推斷。描述性統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究方法BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02概率論基礎(chǔ)概率的直觀定義描述某一事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值。概率的性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性。概率的古典定義在古典概型中，事件A發(fā)生的概率等于事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)與樣本空間包含的基本事件個(gè)數(shù)之比。概率的定義與性質(zhì)在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。條件概率如果事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。事件的獨(dú)立性兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于各自發(fā)生的概率的乘積。乘法公式條件概率與獨(dú)立性隨機(jī)變量的定義定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，用于描述隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度取值充滿某個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量，其概率分布可用概率密度函數(shù)描述。離散型隨機(jī)變量及其分布律取值可數(shù)的隨機(jī)變量，其分布律可用分布列表示。隨機(jī)變量及其分布03協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)衡量兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度，相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化形式。01數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一種重要的數(shù)字特征。02方差描述隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映隨機(jī)變量的波動(dòng)情況。隨機(jī)變量的數(shù)字特征BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量的定義與性質(zhì)統(tǒng)計(jì)量定義統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，用于描述樣本特征，不依賴于總體分布的具體形式。統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)具有代表性、無偏性、有效性等性質(zhì)。均值方差標(biāo)準(zhǔn)差偏度與峰度常用統(tǒng)計(jì)量及其分布01020304樣本均值是描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量，其分布隨著樣本量的增加而逐漸趨于正態(tài)分布。樣本方差是描述數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，其分布與卡方分布密切相關(guān)。樣本標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，用于衡量數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況。偏度用于衡量數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)程度，峰度用于衡量數(shù)據(jù)分布的尖峭程度。當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，無論總體分布是什么。中心極限定理當(dāng)總體分布為正態(tài)分布且樣本量較小時(shí)，樣本均值與樣本標(biāo)準(zhǔn)差之比服從t分布。t分布定理兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體方差之比的分布服從F分布。F分布定理多個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體樣本方差之和的分布服從卡方分布。卡方分布定理抽樣分布定理BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)，因?yàn)闃颖窘y(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上某一點(diǎn)值，估計(jì)結(jié)果也以一個(gè)點(diǎn)的數(shù)值表示，所以稱為點(diǎn)估計(jì)。定義點(diǎn)估計(jì)的主要方法有矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。矩估計(jì)法是利用樣本矩來估計(jì)總體矩，最大似然估計(jì)法則是通過最大化樣本數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)來得到參數(shù)的估計(jì)值。方法區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差得到。區(qū)間估計(jì)的構(gòu)造方法主要有樞軸量法和自助法。樞軸量法是通過構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)的樞軸量，并根據(jù)其分布性質(zhì)確定置信區(qū)間；自助法則是通過重復(fù)抽樣來模擬樣本分布，進(jìn)而得到參數(shù)的置信區(qū)間。定義方法區(qū)間估計(jì)無偏性是指估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值，即估計(jì)量在多次重復(fù)抽樣下的平均值應(yīng)接近總體參數(shù)的真實(shí)值。無偏性有效性是指對(duì)于同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量，有更小方差的估計(jì)量更有效。有效性一致性是指當(dāng)樣本量逐漸增加時(shí)，估計(jì)量的值能夠逐漸接近總體參數(shù)的真實(shí)值。一致性估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想假設(shè)的設(shè)立拒絕域與接受域根據(jù)問題背景提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。根據(jù)顯著性水平確定拒絕域和接受域。小概率原理檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量決策規(guī)則在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生。用于檢驗(yàn)假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量，其取值與樣本數(shù)據(jù)有關(guān)。根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值落在哪個(gè)區(qū)域做出決策。用于檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體均值是否等于某個(gè)已知值。單樣本t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體方差是否等于某個(gè)已知值。單樣本方差分析如Shapiro-Wilk檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)等，用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布。正態(tài)性檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)123用于檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體均值是否有顯著差異。兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)兩個(gè)相關(guān)正態(tài)總體均值是否有顯著差異。配對(duì)樣本t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體方差是否有顯著差異。F檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)兩個(gè)相關(guān)樣本的中位數(shù)是否有顯著差異。符號(hào)檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立樣本的中位數(shù)是否有顯著差異。秩和檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)隨機(jī)序列中某種特征出現(xiàn)的頻率是否符合隨機(jī)性假設(shè)。游程檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)多個(gè)總體的分布是否存在顯著差異?？ǚ綑z驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06方差分析與回歸分析方差分析的概念方差分析是一種通過比較不同組別數(shù)據(jù)的方差來推斷總體均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計(jì)方法。方差分析的假設(shè)方差分析基于三個(gè)基本假設(shè)，即總體正態(tài)分布、總體方差相等和隨機(jī)抽樣。方差分析的基本思想通過計(jì)算組間方差和組內(nèi)方差，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)F分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。方差分析的基本原理030201單因素方差分析的概念單因素方差分析是考察一個(gè)因素對(duì)因變量的影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)方法。單因素方差分析的應(yīng)用場景適用于一個(gè)自變量對(duì)因變量的影響研究，如不同品種作物的產(chǎn)量比較等。單因素方差分析的步驟建立假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定顯著性水平、作出決策。單因素方差分析雙因素方差分析的步驟建立假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定顯著性水平、作出決策，同時(shí)考慮兩個(gè)自變量的交互作用。雙因素方差分析的應(yīng)用場景適用于兩個(gè)自變量對(duì)因變量的影響研究，如不同品種作物在不同土壤條件下的產(chǎn)量比較等。雙因素方差分析的概念雙因素方差分析是考察兩個(gè)因素對(duì)因變量的影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)方法。雙因素方差分析回歸分析的概念回歸分析是一種通過建立自變量和因變量之間的回歸方程來預(yù)測因變量取值的統(tǒng)計(jì)方法。回歸分析的假設(shè)回歸分析基于線性關(guān)系、誤差項(xiàng)獨(dú)立同分布等假設(shè)。回歸分析的基本思想通過最小二乘法等方法估計(jì)回歸系數(shù)，建立回歸方程，進(jìn)行預(yù)測和控制?；貧w分析的基本原理一元線性回歸分析的概念01一元線性回歸分析是考察一個(gè)自變量和一個(gè)因變量之間的線性關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。一元線性回歸分析的步驟02建立假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定顯著性水平、作出決策，得到回歸方程并進(jìn)行預(yù)測。一元線性回歸分析的應(yīng)用場景03適用于一個(gè)自變量和一個(gè)因變量之間的線性關(guān)系研究，如身高與體重的關(guān)系等。一元線性回歸分析