非線性卡爾曼濾波EKF與UKF

非線性卡爾曼濾波器——EKF與UKF點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本目錄擴(kuò)展卡爾曼濾波Matlab仿真前言無損卡爾曼濾波點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本卡爾曼濾波〔Kalmanfiltering〕一種利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過系統(tǒng)輸入輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的算法。適用于線性、離散和有限維系統(tǒng)。一、前言點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本實(shí)際應(yīng)用中，非線性的現(xiàn)象是十分普遍的，此時(shí)就需要采用非線性卡爾曼濾波技術(shù)。目前，應(yīng)用最為廣泛的非線性卡爾曼濾波方法是將非線性方程近似成線性方程，忽略非線性局部，得到次優(yōu)狀態(tài)估計(jì)的非線性濾波。擴(kuò)展卡爾曼濾波器和無跡卡爾曼濾波器一、前言點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本二、擴(kuò)展卡爾曼濾波器將期望和方差線性化的卡爾曼濾波器稱作擴(kuò)展卡爾曼濾波器〔ExtendedKalmanFilter〕，簡(jiǎn)稱EKF。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本二、擴(kuò)展卡爾曼濾波器我們將卡爾曼濾波的公式換一種方式表示，使其狀態(tài)方程變?yōu)榉蔷€性隨機(jī)差分方程的形式：觀測(cè)方程為：點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本二、擴(kuò)展卡爾曼濾波器隨機(jī)變量和仍代表過程鼓勵(lì)噪聲和觀測(cè)噪聲。狀態(tài)方程中的非線性函數(shù)f將上一時(shí)刻k-1的狀態(tài)映射到當(dāng)前時(shí)刻k的狀態(tài)。觀測(cè)方程中的驅(qū)動(dòng)函數(shù)和零均值過程噪聲是它的參數(shù)。非線性函數(shù)h反映了狀態(tài)變量和觀測(cè)變量的關(guān)系。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本二、擴(kuò)展卡爾曼濾波器實(shí)際中我們顯然不知道每一時(shí)刻噪聲

和各自的值。我們可以將它們假設(shè)為零，從而估計(jì)狀態(tài)向量和觀測(cè)向量為：

和其中，是過程相對(duì)前一時(shí)刻k的后驗(yàn)估計(jì)。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本二、擴(kuò)展卡爾曼濾波器以下給出了擴(kuò)展卡爾曼濾波器的全部表達(dá)式。注意我們用替換了來表達(dá)先驗(yàn)概率的意思，并且雅可比矩陣A,W,H,V也被加上了下標(biāo)，明了它們?cè)诓煌臅r(shí)刻具有變化的值，每次需要被重復(fù)計(jì)算。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本二、擴(kuò)展卡爾曼濾波器擴(kuò)展卡爾曼濾波器時(shí)間更新方程是k時(shí)刻的過程雅可比矩陣是中k時(shí)刻的過程鼓勵(lì)噪聲協(xié)方差矩陣。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本二、擴(kuò)展卡爾曼濾波器擴(kuò)展卡爾曼濾波器狀態(tài)更新方程和V是k時(shí)刻的測(cè)量雅可比矩陣，是k時(shí)刻的觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣〔注意下標(biāo)k表示隨時(shí)間變化〕。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本二、擴(kuò)展卡爾曼濾波器EKF應(yīng)用于非線性狀態(tài)估計(jì)系統(tǒng)中已經(jīng)得到了學(xué)術(shù)界認(rèn)可并為人廣泛使用，但這種方法存在兩個(gè)缺點(diǎn)：當(dāng)強(qiáng)非線性時(shí)，Taylor展開式中被忽略的高階項(xiàng)帶來大的誤差，EKF算法可能發(fā)散；由于EKF在線性化處理時(shí)需要用雅克比矩陣，其繁瑣的計(jì)算過程導(dǎo)致該方法實(shí)現(xiàn)相對(duì)困難。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本三、無損卡爾曼濾波器UKF〔UnscentedKalmanFilter)，中文釋義是無損卡爾曼濾波、無跡卡爾曼濾波或者去芳香卡爾曼濾波。是無損變換(UT)和標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波體系的結(jié)合，通過無損變換使非線性系統(tǒng)方程適用于線性假設(shè)下的標(biāo)準(zhǔn)Kalman濾波體系。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本三、無損卡爾曼濾波器UKF通過引入確定樣本的方法,用較少的樣本點(diǎn)來表示狀態(tài)的分布,這些樣本點(diǎn)能夠準(zhǔn)確地捕獲高斯隨機(jī)變量的均值和協(xié)方差矩陣,當(dāng)其通過任意非線性函數(shù)時(shí),函數(shù)輸出值能夠擬合真實(shí)函數(shù)值,精度可以逼近3階以上。點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本三、無損卡爾曼濾波器即UKF可以看成是基于UT技術(shù)的卡爾曼濾波器。在卡爾曼濾波算法中，對(duì)于一步預(yù)測(cè)方程，使用UT變換來處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞。UKF=UnscentedTransform+KalmanFilter點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本三、無損卡爾曼濾波器非線性系統(tǒng)模型為：狀態(tài)初始條件為：點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本三、無損卡爾曼濾波器計(jì)算sigma點(diǎn)時(shí)間更新點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本三、無損卡爾曼濾波器測(cè)量更新點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本四、Matlab仿真系統(tǒng)方程：其中，Q=4，R=1，W和N分別為互不相關(guān)的高斯白噪聲點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本四、Matlab仿真點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本四、Matlab仿真點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本四、Matlab仿真由仿真結(jié)果可知，UKF有著更高的精度。UKF是對(duì)非線性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似，用一系