河南省開封市五縣聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年五縣聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A B. C. D.2.記為數(shù)列前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比數(shù)列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，則b6的值為A.±4 B.－4 C.4 D.無法確定4.過點與圓相切兩條直線的夾角為，則（）A.1 B. C. D.5.設(shè)首項為，公比為的等比數(shù)列的前項和為，則A. B. C. D.6.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的內(nèi)容并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.7.記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（）．A.120 B.85 C. D.8.F1、F2分別是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點，若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.記為等差數(shù)列的前n項和.若，則以下結(jié)論一定正確的是（）A. B.的最大值為 C. D.10.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列的前n項和為 B.數(shù)列的通項公式為C.數(shù)列為遞增數(shù)列 D.數(shù)列為遞增數(shù)列11.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（）．A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形12.已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A.為等比數(shù)列B.的通項公式為C.為遞增數(shù)列D.的前n項和三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則向量坐標(biāo)為______.14.已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列通項公式為________.15.已知數(shù)列滿足，，則的前10項和____________.16.已知直線l：經(jīng)過橢圓C：的左焦點，且與橢圓C相交于M，N兩點，為橢圓的右焦點，的周長為16，則此橢圓的短軸長為______．四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前n項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.18.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且首項a1≠3，an+1=Sn+3n(n∈N*).（1）求證：{Sn﹣3n}是等比數(shù)列；（2）若{an}為遞增數(shù)列，求a1的取值范圍.19.記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求通項公式；（2）證明：．20.如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，E是上的點.（1）求證：平面平面；（2）若E是的中點，且二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.21.在數(shù)列中，．（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列．（2）若，求數(shù)列的前項和．22.已知橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，左、右焦點分別為，，且，點在該橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過的直線與橢圓相交于，兩點，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．20232024學(xué)年五縣聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點坐標(biāo).【詳解】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點坐標(biāo)為故選：C.2.記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比數(shù)列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，則b6的值為A.±4 B.－4 C.4 D.無法確定【答案】A【解析】【詳解】試題分析：因為.考點：本小題考查等差數(shù)列的前n項和公式及等差等比中項等內(nèi)容.點評：對于等比數(shù)列：若m+n=p+q,,則,對于等差數(shù)列若m+n=p+q,,則.4.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.5.設(shè)首項為，公比為的等比數(shù)列的前項和為，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】Sn＝＝＝＝3－2an.6.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的內(nèi)容并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角的向量求解公式得到答案.【詳解】由題意得，直線的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則故選：A7.記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（）．A.120 B.85 C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時，，即為，易知，，即；當(dāng)時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算．8.F1、F2分別是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點，若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】如圖，設(shè)等邊三角形邊長為，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義有，解得.在三角形中，由余弦定理得，化簡得.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.記為等差數(shù)列的前n項和.若，則以下結(jié)論一定正確的是（）A. B.的最大值為 C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及前項和公式可求得公差與的關(guān)系，再對各項進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，又由，所以，所以A正確；因為公差正負(fù)不能確定，所以可能為最大值最小值，故B不正確；由，所以，所以C正確；因為，所以，即，所以D錯誤.故選:AC.10.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列的前n項和為 B.數(shù)列的通項公式為C.數(shù)列為遞增數(shù)列 D.數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】先根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡條件，再構(gòu)造等差數(shù)列，利用等差數(shù)列定義與通項公式求，最后根據(jù)和項與通項關(guān)系得.【詳解】因此數(shù)列為以為首項，為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，即D正確；所以，即A正確；當(dāng)時所以，即B，C不正確；故選：AD【點睛】本題考查由和項求通項、等差數(shù)列定義與通項公式以及數(shù)列單調(diào)性，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.11.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（）．A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】先求得焦點坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設(shè)的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.12.已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A.為等比數(shù)列B.的通項公式為C.為遞增數(shù)列D.的前n項和【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項結(jié)合等比數(shù)列通項即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因為，所以+3，所以，又因為，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B正確；因，因為，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則向量的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，直接求值.【詳解】已知，，則.故答案為：14.已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列通項公式為________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)n＝1時直接由Sn求出a1，當(dāng)n≥2時由an＝Sn﹣Sn﹣1解得an，然后驗證a1適合an得結(jié)論．【詳解】由，得當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時，，驗：當(dāng)n＝1時，a1＝1，不符合上式．∴數(shù)列的通項公式為．故答案為：.【點睛】易錯點睛：在數(shù)列中，由求時，分當(dāng)n＝1時和當(dāng)n≥2時兩種情況，易錯當(dāng)n＝1時的檢驗在n≥2時是否成立.15.已知數(shù)列滿足，，則的前10項和____________.【答案】75【解析】【分析】根據(jù)題意分別求，進(jìn)而求.【詳解】由題意可知：，，，，，，，，，，所以的前10項和.故答案為：75.16.已知直線l：經(jīng)過橢圓C：的左焦點，且與橢圓C相交于M，N兩點，為橢圓的右焦點，的周長為16，則此橢圓的短軸長為______．【答案】【解析】【分析】確定，根據(jù)周長確定，得到答案.【詳解】直線l：經(jīng)過橢圓的左焦點，則，，的周長為，解得，故，橢圓的短軸長為.故答案為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前n項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，即可得的通項公式；（2）由題可知，利用分組求和法即得.【小問1詳解】因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為也滿足，綜上，；【小問2詳解】由題可知，所以.18.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且首項a1≠3，an+1=Sn+3n(n∈N*).（1）求證：{Sn﹣3n}是等比數(shù)列；（2）若{an}為遞增數(shù)列，求a1的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）a1>﹣9且a1≠3.【解析】【分析】（1）由an+1=Sn+3n得，整理得Sn+1﹣3n+1=2(Sn﹣3n)，即證；（2）由（1）可求出，繼而求出，由可解出.【詳解】證明：（1）∵an+1=Sn+3n(n∈N*)，，∴Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1﹣3n+1=2(Sn﹣3n)，∵a1≠3，∴數(shù)列{Sn﹣3n}是公比為2，首項為a1﹣3的等比數(shù)列；（2）由（1）得，∴，n≥2時，，∵{an}為遞增數(shù)列，∴n≥2時，，即，∴n≥2時，，∴，∵a2=a1+3>a1，∴a1的取值范圍是a1>﹣9且a1≠3.【點睛】本題數(shù)列遞推式?等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.19.記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關(guān)系得到當(dāng)時，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項求和法得到，進(jìn)而證得.【小問1詳解】∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；【小問2詳解】∴20.如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，E是上的點.（1）求證：平面平面；（2）若E是中點，且二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理證明，再由線面垂直得，從而可得平面，進(jìn)而可證得面面垂直；（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由向量法求二面角得值，再用向量法求線面角．【小問1詳解】由題意四邊形是直角梯形，，，所以，則，又平面，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】依題意，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，