小學(xué)數(shù)學(xué) 《數(shù)陣圖》練習(xí)題(含答案)

小學(xué)數(shù)學(xué)《數(shù)陣圖》練習(xí)題（含答案）

數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化，這一類問題要求數(shù)陣中填入了一些數(shù)以后，能保證數(shù)陣中特定關(guān)系線（或關(guān)

系區(qū)域）上的數(shù)的和相等，解決這一類問題可以按以下步驟解決問題：

第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點（或方格），和交叉點（方格）

第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點（一般是交叉點）上設(shè)置未知數(shù)，計算各個點與該點被重復(fù)計算次

數(shù)之積的和的代數(shù)式，即數(shù)陣圖關(guān)系線（關(guān)系區(qū)域）上和的總和，這個和是關(guān)系線（關(guān)系區(qū)域）的個數(shù)

的整數(shù)倍.

第三步：判斷少數(shù)關(guān)鍵點上可以填入的數(shù)的余數(shù)性質(zhì)，并得出相應(yīng)的數(shù)陣圖關(guān)系線（關(guān)系區(qū)域）和

第四步：運用已經(jīng)得到的信息進行嘗試：

數(shù)陣圖還有一類題型比較少見，解決這一類問題需要理清數(shù)陣中數(shù)與數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，找出問題

關(guān)鍵.

（一）封閉型數(shù)陣問題先人.山？?7

【例1】（★★★）小青蛙不小心爬到一個正方形數(shù)陣圖中，必須把1,2,3,4,

5,6,7,8八個數(shù)字填入下圖中的。內(nèi)，使正方形每條邊上三個數(shù)的一、/一石氫

和都等于13才能通過這個數(shù)陣圖，你能幫它嗎？C；—珞匯工

【例2】（★★★）小烏龜被困在五個圓里面（如下圖），五圓相連,

每個位置的數(shù)字都是按一定規(guī)律填寫的，它必須找出規(guī)律，并求出x所代

表的數(shù)才能脫困，你知道該怎么辦嗎？

【例3】（★★★）1-9分別填入小三角形內(nèi)（每個小三角形內(nèi)只填一個

數(shù)），要求靠近大三角形三條邊的每五個數(shù)相加和相等.想一想，怎樣填這些數(shù)

才能使五個數(shù)的和盡可能大一些？

【例4】（★★★）能否將數(shù)0,1,2,9分別填人下圖的各個圓

圈內(nèi)，使得各陰影三角形的3個頂點上的數(shù)之和相等？

【例5】（★★★）,小熊和媽媽去外婆家要過一條河，必須要

按照下面的要求填數(shù)才可以順利通過，要求如下：20以內(nèi)共有10個

奇數(shù)，去掉9和15還剩八個奇數(shù)，將這八個奇數(shù)填入右圖的八個。中

（其中3已經(jīng)填好），使得圖中用箭頭連接起來的四個數(shù)之和都相等.

（二）輻射型數(shù)陣

【例6】（★★★）將1?7這七個數(shù)字，分別填人圖中各個。內(nèi)，使每條線段

上的三個。內(nèi)數(shù)的和相等.

【例7】（★★★）把10至20這11個數(shù)分別填入下圖的各圓圈內(nèi)，使每條線段上3個圓內(nèi)所填數(shù)

的和都相等.如果中心圓內(nèi)填的數(shù)相等，那么就視為同一種填法.請寫出所有可能的填法.

【例8】（★★★）左圖中有三個正三角形，將1?9填入它們頂點處的九個

。中，要求每個正三角形頂點的三數(shù)之和都相等，并且通過四個O的每條直線上的四數(shù)

之和也相等.

【例9】（★★★）在下圖的七個圓圈內(nèi)各填上一個數(shù)，要求每條線上的

三個數(shù)中，當(dāng)中的數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù)，現(xiàn)在已填好兩個數(shù)，求x是多少？

（三）其它類型的數(shù)陣圖

【例10]（★★★）在下圖中的10個O內(nèi)填入0?9這10個數(shù)字,

使得按順時針循環(huán)式成立：

【例11]（★★★★）將1?8這八個自然數(shù)填入左下圖的空格內(nèi)，使四邊

形組成的四個等式都成立:

【例12]（★★★★）下圖包括6個加法算式，要在圓圈

里填上不同的自然數(shù)，使6個算式都成立.那么最右邊的圓圈中的

數(shù)最少是多少？

+

1.請分別將1,2,4,6這4個數(shù)填在下圖的各空白區(qū)域內(nèi)，使得每個圓圈里4個數(shù)的和都等于

15.

2.把1?5這五個數(shù)填入下圖中的。里，使每條直線上的三個數(shù)之和相等.

3.把1至6分別填入下圖的各方格中，使得橫行3個數(shù)的和與豎列4個數(shù)的和相

等.

4.將1?7七個數(shù)字填入左下圖的七個。內(nèi)，使每個圓周和每條直線上的三個數(shù)

之和都相等.

5.將1?8八個數(shù)分別填入右上圖的八個。內(nèi)，使得圖中的六個等式都成立.o+o=o

△代表幾？+++

0+0=0

O^O=A

(-)封閉型數(shù)陣問題

【例13］(★★★)小青蛙不小心爬到一個正方形數(shù)陣圖中，必須把1,2,?7

3,4,5,6,1,8八個數(shù)字填入下圖中的。內(nèi)，使正方形每條邊上三個數(shù)的和都等

于13才能通過這個數(shù)陣圖，你能幫它嗎？

分析：因為每邊上的和為13,那么四條邊上的數(shù)字之和為13X4=52,而1+2+…+7+8=36,所以四個角上

的四個數(shù)之和等于52-36=16.在1?8中選四個數(shù)，四數(shù)之和等于16,且其中相鄰兩個的和與任意三個

的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6.經(jīng)試驗，只有右上圖的兩種填法.

亮點設(shè)計：(1)求數(shù)陣問題的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵數(shù)，也就是重復(fù)數(shù)，教會學(xué)生學(xué)會找關(guān)鍵數(shù)的方法是最重要

的.

(2)設(shè)計問題：正方形每條邊之和是13,13X4=52,但是所有數(shù)的和是：1+2+…+7+8=36,為什么會出

現(xiàn)結(jié)果不同的問題呢？仔細觀察這個數(shù)陣，四條邊上所有數(shù)相加的過程中四個角上的數(shù)都被重復(fù)加了一

次，也就是四個角上的數(shù)是重復(fù)數(shù)，52-36=16即為這四個重復(fù)數(shù)的和.

(3)強調(diào)分組法與試驗法：知道了四個數(shù)的和之后，下一步就要先確定這四個數(shù)，采用分組法和試驗法.分

組法是將這個和根據(jù)要求拆成四個數(shù)，例如本題中要求其中相鄰兩個的和與任意三個的和不等于13,根據(jù)要

求將16分成4個數(shù)的和：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6,但是未必每一組都是合適的，這就需要采用試

驗法，將它們一一進行試驗.

(4)小結(jié)：對于封閉型的數(shù)陣，重復(fù)數(shù)基本上都是兩條線相交的點，這在后面的例題中有大量體現(xiàn).

［前鋪］將1?6六個自然數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使三角形每邊上的三數(shù)之和都等于11.

分析：因為每邊上的和為11,那么三條邊上的數(shù)字之和為11X3=33,而1+2+…+5+6=21,所以三個角的

三個數(shù)之和等于33-21=12,在1?6中選3個和為12的數(shù)，且其中任意兩個的和不等于11,這樣的組合

有：12=2+4+6=3+4+5,經(jīng)試驗，填法見右上圖.

［拓展］將1?6填入左下圖的六個O中，使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于k,請指出k的取值范圍.

4

12

分析：設(shè)三角形三個頂點的數(shù)字之和為S.因為每個頂點屬于兩條邊公有，所以把三條邊的數(shù)字和加起來，等

于將1至6加一遍，同時將三個頂點數(shù)字多加一遍.于是有(1+2+3+4+5+6)+s=3k,化簡后為s+21=3k.由

于s是三個數(shù)之和，故最小為1+2+3=6,最大為4+5+6=15,由此求出9《k《12.s和k有四組取值：

1=9Jk=10jk=llJk=12

's=6js=9Is=12(s=15

通過試驗，每組取值都對應(yīng)一種填數(shù)方法(見右上圖).

【例14］(★★★)小烏龜被困在五個圓里面(如下圖)，五圓相連,

每個位置的數(shù)字都是按一定規(guī)律填寫的，它必須找出規(guī)律，并求出x所代表

的數(shù)才能脫困，你知道該怎么辦嗎？

分析：經(jīng)觀察，圖中所填數(shù)的規(guī)律為兩個圓相交部分的數(shù)等于與它相鄰兩部分里的數(shù)的和的一半.比如：

(26+18)4-2=22.(30+26)4-2=28.(24+30)+2=27.所以x+18=17X2,x=16.經(jīng)檢驗,16和24相加除

以2,也恰好等于20.

［拓展］找規(guī)律求x

分析：經(jīng)觀察，圖中所填數(shù)的規(guī)律為兩個圓相交部分的數(shù)等于與它相鄰兩部分里的數(shù)的差的2倍.比如:

(26-18)X2=16.(30-26)X2=8.(30-24)X2=12.因為52+2=26>24,所以x=26+24=50.經(jīng)檢驗，

(50—18)X2=64.

【例15］（★★★）1~9分別填入小三角形內(nèi)（每個小三角形內(nèi)只填一個數(shù)），要求靠近大三角

形三條邊的每五個數(shù)相加和相等.想一想，怎樣填這些數(shù)才能使五個數(shù)的和盡可能大一些?

分析：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,用s表示靠近大三角形三條邊的五個數(shù)的和.因為有三個小三角形所填

的數(shù)在求和時只用了一次（用a,b,c來表示這三個數(shù)），其余均用了兩次.于是，45X2-（a+b+c）=3s.要

使s盡可能大，只要a+b+c盡可能小.所以a+b+c=l+2+3=6,于是90-6=3s,s=28.剩下的六個數(shù)分成

三組，并且每組中兩數(shù)的和是三個連續(xù)自然數(shù)，那么：4+8=12；6+7=13；5+9=14.經(jīng)過調(diào)配可得到幾十

種填法，右上圖是填法之一.

［拓展一］如圖是奧林匹克的五環(huán)標(biāo)志，其中a,b,c,d,e,f,g,h,i處分別填入整數(shù)1至9,如果每

一個圓環(huán)內(nèi)所填的各數(shù)之和都相等，那么這個相等的和最大是多少，最小是多少？

分析：計算五個圈內(nèi)各數(shù)之和的和，其中b,d,f,h被計算了兩遍，所以這個和是

1+2+3+4+5+6+7+8+9+b+d+f+h,而這個和一定能被5整除，所以b,d,f,h中埴入大數(shù)時

能使這個和取得最大值，最大是6、7、8、9,各圓圈內(nèi)的和也取得15,由于15=6+9=7+8,所以滿足條件

的所有數(shù)無法配成15,當(dāng)和為14時可以找出滿足條件的填法，所以和最大為14,當(dāng)b,d,f,h取1、2、

3、4時這個和取得最小值，各圓圈內(nèi)的和也取得最小值11.

［拓展二］有10個連續(xù)的自然數(shù)，9是其中第三大的數(shù).現(xiàn)在把這10個數(shù)填到下圖的10個方格中，每格

內(nèi)填一個數(shù)，要求圖中3個2X2的正方形中的4個數(shù)之和相等.那么，這個和數(shù)的最小值是多少？

分析：9是其中第三大的數(shù)，所以這10個連續(xù)自然數(shù)是2、3、4、5……9、10、11,計算三個正方形中

的和的和，這個和能被3整除，其中a和b被重復(fù)計算了兩次，所以2+3+.......11+a+b=65+a+b=3s,當(dāng)a+b=1,

4,7.......時，65+a+b可以被3整除，因為要取最小值，所以a+b的值越小越好，但是不可能取1與4,

所以，a+b=7時，這個和取得最小值，每個正方形中的和也取得最小值（65+7）+3=24.

【例16］（★★★）能否將數(shù)0,1,2,9分別填入下圖的各個圓圈內(nèi)，使得各陰影三角形

的3個頂點上的數(shù)之和相等？

分析：0+…+9=45,45-中心數(shù)=3個陰影三角形的3個頂點上的數(shù)字之和，所以中心數(shù)必須是3的倍數(shù),

只能是0,3,6,9.枚舉法實驗，中心數(shù)只能是3,6,答案如右上圖.

［拓展一］將1~10分別填入圖中，使得每個小三角形3個頂點上的數(shù)字之和為圖中所表示的數(shù)值.

分析：先確定中間5個重復(fù)數(shù)，它們的和為(20+16+12+13+10)-(1+2+-+10)=16,所以中間5個重復(fù)

數(shù)只能是1,2,3,4,6的組合.又因為有1個和為20,相應(yīng)三角形上的三個數(shù)只能是4,6,10,逐一

試臉，答案如右上圖.

［拓展二］圖中有大、中、小3個正方形，組成了8個三角形.現(xiàn)在先把1,2,3,4分別填在大正方形的

4個頂點上，再把1,2,3,4分別填在中正方形的4個頂點上，最后把1,2,3,4分別填在小正方形的

4個頂點上.

(1)能否使8個三角形頂點上數(shù)字之和都相等？如果能，請給出填數(shù)方法；如果不能，請說明理

由.(2)能否使8個三角形頂點上數(shù)字之和各不相同？如果能，給出填數(shù)方法；如果不能，請說明理

由.

分析：(1)不能，如果能，則8個三角形頂點和的總和應(yīng)該是8的倍數(shù)，但是這個總和有三組1、2、3、

4組成，其中一組數(shù)被重復(fù)計算三次，一組數(shù)被重復(fù)計算兩次，一組數(shù)僅被計算一次，因此該總和的值為

6X(1+2+3+4)=60,不是8的倍數(shù)，產(chǎn)生矛盾，因此沒有任何填法使8個三角形頂點上數(shù)字之和都相等.

(2)能，見右上圖.

【例17］(★★★),小熊和媽媽去外婆家要過一條河，必

須要按照下面的要求填數(shù)才可以順利通過，要求如下：20以內(nèi)共有

10個奇數(shù)，去掉9和15還剩八個奇數(shù)，將這八個奇數(shù)填入右圖的八

個。中(其中3已經(jīng)填好)，使得圖中用箭頭連接起來的四個數(shù)之和都相等.

分析：3組數(shù)都包括左右兩端的數(shù)，所以每組數(shù)的中間兩數(shù)之和必然相等.現(xiàn)在還有1、5、7、11、13、17、

19七個數(shù)供選擇，兩兩之和相等的有1+19=7+13,只有兩組，淘汰這一組；還有1+17=5+13+7+11,于

是得到右上圖的填法.

(二)輻射型數(shù)陣

【例18］(★★★)將1?7這七個數(shù)字，分別填入圖中各個。內(nèi)，使每條線段上的三個。內(nèi)數(shù)

的和相等.

分析：設(shè)中心。內(nèi)填a,由于三條線上的數(shù)字和相加應(yīng)是3的倍數(shù)，其中a一共加了3次，所以

l+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a一定是3的倍數(shù).而28?3—9余1,那么2a+3的余數(shù)應(yīng)該是2,因此，

a=l,

4或7.

(1)當(dāng)a=l時，28+2=30,30+3=10,10-1=9,除中心外，其他兩數(shù)的和應(yīng)是9,只要把2,3,4,5,

6,7六個數(shù)按“和”是9分成三組填入相應(yīng)的O內(nèi)就可以了.填法如圖(1)

(2)當(dāng)a=4時，28+8=36,364-3=12,填法如圖(2)

⑶當(dāng)a=7時，28+14=42,42+3=14.填法如圖(3).

亮點設(shè)計：(1)建議教師首先讓學(xué)生進行試做，并讓學(xué)生嘗試多種填法。

(2)當(dāng)要求將2、4、6、8、10、12、14七個數(shù)字填入數(shù)陣，應(yīng)該怎么填？

(3)［拓展］將這個數(shù)陣進行變形，變?yōu)槿缦滦问剑喝鐖D“學(xué)、而、思、未、來、命、運”這7個漢字

分別代表1至7這7個數(shù)字.已知3條直線上的3個數(shù)相加、2個圓周上的3個數(shù)相加，所得的5個和

分析：計算5個和的和，這個和一定是5的倍數(shù)，其中“學(xué)”字計算了三遍，其它數(shù)只是被計算了2遍，

因此這個和等于(1+2+3+4+5+6+7)X2+“學(xué)”=56+“學(xué)”，這個“學(xué)”只能是4才能保證這個和能被5

整除.

【例19](★★★)把10至20這11個數(shù)分別填入下圖的各圓圈內(nèi)，使每條線段上3個圓內(nèi)所

填數(shù)的和都相等.如果中心圓內(nèi)填的數(shù)相等，那么就視為同一種填法.請寫出所有可能的填法.

分析：將五條邊上的和相加，得數(shù)一定是5的倍數(shù)，其中中間的數(shù)被重復(fù)計算了5次，而10+11+12+……

20=165,所以中間的數(shù)必須是5的倍數(shù)，才能使在中間的數(shù)多被計算了4次后，總和仍能被5整除.所以

中間的數(shù)只能是10、15、20.

【例20](★★★)左圖中有三個正三角形，將1?9填入它們頂點處的九個。中，要求每個

正三角形頂點的三數(shù)之和都相等，并且通過四個O的每條直線上的四數(shù)之和也相等.

分析：每個正三角形頂點的三數(shù)之和為(1+2+-+9)4-3=15,每條直線上的三數(shù)之和為

(45+15)+3=20.將1?9九個數(shù)分為三個一組，且每組三個數(shù)的和為15只有如下兩種分法:

(1)1,5,9；2,6,7；3,4,8；(2)1,6,8；2,4,9；3,5,7.

對于(1),中心小正三角形三個頂點數(shù)為1,5,9時，可得中間圖的解；

對于(2),中心小三角形三個頂點數(shù)為3,5,7時，可得右上圖的解.

[鞏固]將1~9填入右上圖的九個O內(nèi)，使得每個圓周和每條直線上的三數(shù)之和都相等，并且7,8,9

依次位于小、中、大圓周上.

分析：每個圓周和每條直線上三數(shù)之和應(yīng)為15,其中有9的只有9+1+5和9+2+4,分別對應(yīng)右上圖

的兩個解.

【例21］(★★★)在下圖的七個圓圈內(nèi)各填上一個數(shù)，要求每條線上的三個數(shù)中，當(dāng)中的

數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù)，現(xiàn)在已填好兩個數(shù)，求x是多少？

分析：為了便于說明問題，我們用字母表示各個圓圈內(nèi)所表示的數(shù)，如上右圖所示：根據(jù)題意，我們觀

察：因為每一條直線上的三個數(shù)中，當(dāng)中的數(shù)是兩邊的兩個數(shù)的平均數(shù).所以可以得出：D=(13+17)+

2=15.還可以得出以下三式：C=(B+15)-?2—(1),A=(13+B)+2—(2),C=(A+17)4-2—(3)

將上述三個算式進行變形，成下面三個算式：2C=B+15—(4),2A=13+B—(5),2C=A+17—(6)

用(4)式減去(5)式得出：2C-2A=2,C-A=l,C=A+1,將C=A+1代入(6)式得到：2(A+l)=A+17,

A=15.則C=16,因此，16=(13+x)X所以x=19.

［拓展］將I,2,3,…，9,10這10個數(shù)分別填入下圖中的圓圈內(nèi)，使得每條線段兩端的數(shù)相乘的積,

除以13都余2.問這5個商數(shù)的和是多少？

分析：這10個數(shù)兩兩相乘除以13余2的數(shù)對有(1,2)、(3、5)、(4,7)、(8,10)、(6,9),將他們

成對分別填入圓圈即可滿足條件，這五個商數(shù)的和為13.

(三)其它類型的數(shù)陣圖

【例22】(★★★)在下圖中的10個。內(nèi)填入0?9這10個數(shù)字，使得按順時針循環(huán)式成立:

分析：五個等式中有四個減式，設(shè)四個減數(shù)為a,b,c,d,五個等式的值為k,則有(0+1+2+…+9)

—2(a+b+c+d)=5k,即9-2X(a+b+c+d)+5=k,所以(a+b+c+d)必能被5整除，故k為奇數(shù).

又a+b+c+d》0+l+2+3=6>5,所以k的可能取值為1,3或5.經(jīng)試算，當(dāng)k=l或5時有如右上圖

兩解.

［拓展］在下圖中的10個O內(nèi)填入。?9這10個數(shù)字，使得循環(huán)式成立:

?=?0=?

一+0=0+++++

+⑧

oo④③

vVVVVV

??⑤

+

Q9?+@+

oo①◎??=

=o+o=.++

分析：共有五個和式，其中兩式的和大于另三式的和.設(shè)較大的和為a,較小的和為b,則有2a+3b=0+

1+2+…+9=45,由上式知b必為奇數(shù)，又由b最小為5,最大為7,可得如右上圖兩解.

【例23】(★★★★)將1?8這八個自然數(shù)填入左下圖的空格內(nèi)，使四邊形組成的四個等式都

成立：

分析：(方法一)除式只有四種可能：8+4=2,6+3=2,8+2=4和6+2=3,其中后兩種情況乘法式

子將無法滿足，前兩種情況對應(yīng)著如右上圖兩種填法.

(方法二)小于10且能表示成兩個不同的數(shù)的乘積的數(shù)只有6和8,如此可確定左下角的數(shù)為2,左上

角和右下角的數(shù)可以是6或8,左邊和下邊對應(yīng)填上3和6,剩下1,5、7如此即可試出結(jié)果.

［前鋪］在下列各圖中，分別從1?8中選擇六個數(shù)填入口內(nèi)，使得按順時針方向計算的各關(guān)系式成立:

S回

4

+

=

[J]

4=

@+

H

+

+

國II

2或

向

2

=

X

=

||

X

S」

囪

=

2]

[5]-[

m=

一種

是另

果是4

，如

種情況

為一

8,

果為

,如

或8

為4

的數(shù)

上角

8,左

有4與

的數(shù)

整除

和4

被2

：能

分析

圖.

右上

案見

，答

情況

算式都

6個

數(shù)，使

的自然

上不同

圈里填

要在圓

式，

法算

個加

括6

下圖包

★★)

(★★

4］

【例2

?

多少