空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

人教A版同步教材精品課件1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1.空間向量的夾角(1)夾角的定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則∠AOB叫做向量a,b的夾角,記作______.<a,b>(2)夾角的范圍:空間任意兩個(gè)向量的夾角θ的取值范圍是[0,π].特別地,當(dāng)θ=0時(shí),兩向量_________;當(dāng)θ=___時(shí),兩向量_________,所以若a∥b,則<a,b>=0或π;當(dāng)<a,b>=時(shí),兩向量_____,記作_____.同向共線(xiàn)π反向共線(xiàn)垂直a⊥b【思考】若a·b=0,則一定有a⊥b嗎?為什么?提示:若a·b=0,則不一定有a⊥b,也可能a=0或b=0.2.空間向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,則_______________叫做a,b的數(shù)量積,記作a·b.即a·b=_______________.|a||b|cos<a,b>|a||b|cos<a,b>(2)數(shù)量積的運(yùn)算律:數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b=λ_______=a·______(λ∈R)交換律a·b=_____分配律(a+b)·c=_________(a·b)(λb)b·aa·c+b·c(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì):【思考】數(shù)量積運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律、消去律嗎?提示:數(shù)量積運(yùn)算不滿(mǎn)足結(jié)合律,也不滿(mǎn)足消去律,即(a·b)·c≠a·(b·c),a·b=a·c

b=c.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若a·b=0,則a=0或b=0. (

)(2)對(duì)于非零向量a,b,<a,b>與<a,-b>相等. (

)(3)若a,b均為非零向量,則a·b=|a||b|是a與b共線(xiàn)的充要條件. (

)提示:(1)×,a·b=0,則a=0或b=0或a⊥b.(2)×,當(dāng)a,b同向時(shí),<a,b>=0,<a,-b>=π.(3)×,非零向量a與b共線(xiàn)的充要條件是a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|.2.已知正方體ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱長(zhǎng)為a,<>等于(

)A.30° B.60° C.90° D.120°【解析】選D.連接D＇C,B＇C,則△B＇D＇C是等邊三角形,又所以<>=<>=120°.3.已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=2,|b|=,且a與b的夾角為60°,那么a·b等于_______.

【解析】a·b=|a||b|cos60°=2×答案:

4.已知|a|=3,|b|=2,a·b=-3,則<a,b>=_______.

【解析】cos<a,b>=所以<a,b>=π.答案:π類(lèi)型一空間向量數(shù)量積的運(yùn)算【典例】1.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的單位向量,則a·b=(

)A.1 B.2 C.3 D.42.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,

求下列數(shù)量積:(1)=_______;

(2)=_______.

【思維·引】1.直接代入運(yùn)算.2.根據(jù)數(shù)量積定義運(yùn)算.【解析】1.選A.由題意知,p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.2.(1)根據(jù)題意知,<,>=135°,所以·=1××cos135°=-1;(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥BC,AB⊥CC1,所以答案:(1)-1

(2)0【內(nèi)化·悟】怎樣求兩個(gè)向量的夾角?提示:求向量的夾角時(shí),一定要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起,再求夾角;否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.【類(lèi)題·通】空間向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題的解題思路(1)在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟:①將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式;②利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積;③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.(2)長(zhǎng)方體、四面體等是研究空間向量的常見(jiàn)載體,要熟悉其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),善于挖掘隱含的垂直或特殊角等條件.【習(xí)練·破】如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),求值:

【解析】(1)類(lèi)型二利用數(shù)量積求夾角【典例】1.已知a,b是異面直線(xiàn),A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,則a,b所成的角是_______

.

2.已知空間四面體OABC各邊及對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都相等,E,F分別為AB,OC的中點(diǎn),則向量與向量夾角的余弦值為_(kāi)______.

【思維·引】1.利用公式cos<a,b>=2.求出||,||→求出·→代入公式cos<,>=【解析】1.所以所以所以異面直線(xiàn)a,b所成角是60°.答案:60°2.設(shè)=a,=b,=c且|a|=|b|=|c|=1,易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=,則a·b=b·c=c·a=.因?yàn)?(a+b),

c-b,

，所以=a·c+b·c-a·b-b2=-.設(shè)的夾角為θ,所以向量與向量夾角的余弦值為-.答案:-【內(nèi)化·悟】異面直線(xiàn)所成的角與向量的夾角一樣嗎?提示:由于向量的夾角的取值范圍為[0,π],而異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍為,因此利用向量數(shù)量積求異面直線(xiàn)所成的角時(shí),要注意角度之間的關(guān)系.當(dāng)<a,b>∈時(shí),它們相等;而當(dāng)<a,b>∈時(shí),它們互補(bǔ).【類(lèi)題·通】利用向量數(shù)量積求夾角問(wèn)題的思路(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來(lái)求,但要注意向量夾角的范圍;(2)先求a·b,再利用公式cos<a,b>=求cos<a,b>,最后確定<a,b>.【習(xí)練·破】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD,且PA=AB=BC=AD=1,求PB與CD的夾角.【解析】由題意知因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以因?yàn)锳B⊥AD,所以=0,因?yàn)锳B⊥BC,所以=0,所以又因?yàn)樗运?lt;>=60°,即PB與CD的夾角為60°.類(lèi)型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用角度1利用數(shù)量積證明空間中的垂直關(guān)系【典例】

已知空間四邊形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),G是MN的中點(diǎn),求證:OG⊥BC.【思維·引】利用表示出,證明=0.【證明】連接ON,設(shè)∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,=a,=b,=c,則|a|=|b|=|c|.

=(a+b+c),=c-b.所以=(a+b+c)·(c-b)=(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c)=(|a|2·cosθ-|a|2·cosθ-|a|2+|a|2)=0.所以,即OG⊥BC.【素養(yǎng)·探】利用數(shù)量積證明垂直,是空間向量的常見(jiàn)應(yīng)用,常用到核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算.若將典例改為:已知空間四邊形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求證:AD⊥BC.【證明】因?yàn)锳B⊥CD,AC⊥BD,所以所以所以,從而AD⊥BC.角度2利用數(shù)量積求距離【典例】如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿著它的對(duì)角線(xiàn)AC將△ACD折起,使AB與CD成60°角,求此時(shí)B,D間的距離.【思維·引】【解析】因?yàn)椤螦CD=90°,所以=0,同理可得=0.因?yàn)锳B與CD成60°角,所以<>=60°或<>=120°.又所以所以當(dāng)<>=60°時(shí),||2=4,此時(shí)B,D間的距離為2;當(dāng)<>=120°時(shí),||2=2,此時(shí)B,D間的距離為.【類(lèi)題·通】用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟(1)用向量表示此距離;(2)用其他向量表示此向量;(3)用公式a·a=|a|2,求|a|;(4)|a|即為所求距離.【習(xí)練·破】如圖,已知一個(gè)60°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A,B,AC,BD分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于A(yíng)B的線(xiàn)段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的長(zhǎng).【解析】因?yàn)镃A⊥AB,BD⊥AB,所以<>=120°.因?yàn)樗?/p>

=62+42+82+2×6×8×=68,所以,故CD的長(zhǎng)為2.1.下列命題中,不正確的有 (

)①=|a|;②m(λa)·b=(mλ)a·b;③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a.A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【解析】選D.①②③正確,④不正確,因?yàn)榈仁阶筮叡硎九cb共線(xiàn)的向量,右邊表示與a共線(xiàn)的向量.2.已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60°,