數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷03-2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬熱身卷(新高考專用)（解析版）

2022屆高考數(shù)學(xué)?備戰(zhàn)熱身卷3

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有一項(xiàng)符合題目要求。）

1.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4=卜垃之-4},B={x|3x<4-2x},貝必cB=（）

A.jx|-4<x<jB.C.{x|x4-4或xN共D.R

【答案】A

【分析】先求出集合8,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果.

［詳解］因?yàn)榧?="1丫2-4},B={x|3x<4-2x}=px<|J.,所以=

2.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)2=。+萬(wàn)（。，beR）,若擊■+2=6+i,則2=（）

A.-l+2iB.l+2iC.-l-2iD.l-2i

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件求出。、乩即可得到答案.

【詳解】因?yàn)閾簟?2=〃+i,所以—5+2=匕+1所以〃=—1力=2.所以z=_i+2i.

3.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）一質(zhì)點(diǎn)在單位圓上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其位移滿足的方程為/z=sin2/,其中6表

示位移（單位：m）,f表示時(shí)間（單位：s）,則質(zhì)點(diǎn)在f=l時(shí)的瞬時(shí)速度為（）

A.sin2m/sB.cos2m/sC.2sin2m/sD.2cos2m/s

【答案】D

【分析】求出“可求質(zhì)點(diǎn)在f=l時(shí)的瞬時(shí)速度，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)榱?sin2f=2sinf?cost,所以”=2cosr-cosf+2sinr（-sinr）=2cos2t,

所以質(zhì)點(diǎn)在r=l時(shí)的瞬時(shí)速度為2cos2m/s.

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列{q}中，a?,=n,4=根，則%“=（）

A.0B.mC.nD.m+n

【答案】A

【分析】選擇題可以用特殊值法，簡(jiǎn)便又快捷.

【詳解】構(gòu)造等差數(shù)列{%}使得4=2,4=1，這里機(jī)=1，〃=2,丁是%“=%=0,排除B、C、D.

5.（2022.河北.模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/Q）=『（31g5+Jg64嚴(yán)*-乃，句）的圖象大致是

A.B.

【答案】B

【詳解】由題意可知/(r)=r.(31g5+；lg64嚴(yán)T=—f(x),

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，依據(jù)圖象排除A和C選項(xiàng)，

由于/(9=參/(T)=萬(wàn)3：(，即/《)>，(乃)，排除D選項(xiàng)，故選B.

6.(2022洞北?模擬預(yù)測(cè))己知向量1與5的夾角為120。,且弧5=-2，向量己滿足5=而+(1-4)”0</1<1)，

且41=5刀，記向量1在向量1與5方向上的投影分別為X、/+/+孫的最大值為()

A.-B.2C.-D.一

444

【答案】C

【分析】由數(shù)量積的定義得|而|=4,由向量共線定理得C在線段AB匕由。1=幾八得AB_LOC,利

用投影公式計(jì)算出V+y2+x>=副,，計(jì)算儲(chǔ)取是常數(shù)，因此只要|他最小即可得R最大，利用余弦定理

和基本不等式可得結(jié)論.

【詳解】由￡石=|磯耳-120。=一2得|麗=4,

設(shè)3=￡，OB=b>OC=c，因?yàn)?=2萬(wàn)+(1-乃由向量共線定理知C在線段A8匕如圖，

設(shè)<o,c>=a,則<B,c>=120。一a,

因?yàn)槿f(wàn)吃=5e，所以同cosa=1^1|c|COS(120°-<7),即卜卜05(7=忸卜05(120。一(7),

故Z在"方向上的投影與坂在"方向上的投影相等，因此OC_LAB,

Xx=|c|cosa,y=|c|cos(120°-a),所以f+j+盯=，cos2a+|c|COS2(120°-CZ)+|C|cosacos(120。-。)，

[\I3]yj3

又cos2a+cos2(120°-a)+cosacos(l20°-a)=cos2a+(——cosa+sina)2+cosa(——cosa+—sina)

2222

=cos2a+—cos2a--sinacosa+—sin2a--cos2a+—sinacosa=4

424224

所以f+y2+孫=非『，

5皿=義磯小吊120。=曰*4=6為常數(shù),因此要使得向最大,只要|A4最小,

由余弦定理|ABf=|a|2+|甲-斗麗cos120。=|?|"+印+|a||S|>2同忖+同忖=12,當(dāng)且僅當(dāng)向=%時(shí)等號(hào)成

.A,.

立，

所以的最小值為26，因此舊的最大值為卡獷=1

故/+V+孫=1百的最大值為。.

4114

7.(重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題)已知數(shù)列包｝滿足

q=_；,d+2a“-2〃用=0,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.a｝是單調(diào)遞增數(shù)列B.存在neN*,使得%>。

111cl39

C.------+------+…+---------=-2-------D.%=-------

q+2%+24+2afl+I'128

【答案】B

111

【分析】根據(jù)%=2可(可+2)=耳(4+1)92-]可推導(dǎo)得到當(dāng)a〃￡(-2,0)時(shí)，-<0,結(jié)合“可求得

(1A1,1211_

-彳，°，山此可得=7勺>0,知AB正誤；tlj—=/x=----—,米用裂項(xiàng)相消法

I，/2a,i+lan\an9anan+2

可知C正確；根據(jù)遞推關(guān)系式計(jì)算出出即可知D正確.

【詳解】對(duì)于A,由a：+2a“-2a“+|=0得："，用+a“=ga”(a“+2)=g(a,+1》-：，

...4e(-2,0)時(shí)，all+]<0；

Q%=-；e(-2,0),+則口一2,0),咋(-2,0),依次類推可得:詞一別，

是單調(diào)遞增數(shù)歹U，A正確；

對(duì)于B,由A中推導(dǎo)可知：a-，；,。)，.?.不存在〃wM,使得““>0,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由%M=L*+a得:2一22_1____1_

a

224+1d+2凡?！埃ㄊ?2）ann+2

對(duì)于D,由/=呆+/，4=弓得：％=*=-|，…![!）十一粉。正確.

8.（2022.河北.模擬預(yù)測(cè)）已知與是方程/（x）=e'+x-2的零點(diǎn)（其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,

下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.廝e（0,l）B.ln（2-x0）=j^）C.D.x0-e~'°<0

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件確定蒞所在區(qū)間，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.

【詳解】函數(shù)〃x）=e*+x-2在R上單調(diào)遞增，jfff/（0）=e°-2=-l<0,嗎）=1+g-2=Q|>0,

而修是方程/（x）=e'+x—2的零點(diǎn)，則不€（0,；）,即為?0,1）,A正確；

由〃為）=0得：2-x°=e'",整理得：ln（2-x0）=x。，B正確；

因0<x0<；,2-x0>l,則<i,C不正確；

.!廠」

EO<xo<-,則有D正確.

2A0—e-—<—<u

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分。）

9.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，以兀為最小正周期，且在（5,兀）上單調(diào)遞減的為（）

A.y=coslxB.y=|sin.r|C.y=|cosx|D.y=|tan_x|

【答案】BD

【分析】根據(jù)圖象的周期變換和翻折變換作出函數(shù)圖象，然后可得.

【詳解】作出函數(shù)y=cos2x的圖象，如圖1,顯然A錯(cuò)誤；

作函數(shù)）=a可圖象，如圖2,故B正確；

作函數(shù)y=|cosM圖象，如圖3,故c錯(cuò)誤;

作函數(shù)y=1anH圖象,如圖4,故D正確.

10.(江西省新余市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)下列命題是真命題的為()

A.Vae(0,1)u+函數(shù)/(犬)=4+log〃x+2恒過(guò)定點(diǎn)(1,2)

B.若c>a>Z?>0,則—^―>—^―

c-ac—b

C.已知一個(gè)樣本為：1,3,4,a,7,且它的平均數(shù)是4,則這個(gè)樣本的方差是4

D.數(shù)據(jù)170,168,172,172,176,178,175的60%分位數(shù)是175

【答案】BCD

【分析】求出函數(shù)/5)的圖象所過(guò)定點(diǎn)即可判斷A;利用作差法比較，可判斷B;根據(jù)平均數(shù)求出”,即可求

得方差，可判斷C將數(shù)據(jù)170,168,172,172,176,178,175從小到大排列，求得其60%分位數(shù)，即可

判斷D.

【詳解】因?yàn)閍0=1,log,,1=0,故/⑴=a°+log“l(fā)+2=3,

故Ve(0,l)U(l,+8),函數(shù)“力=41+唾〃+2恒過(guò)定點(diǎn)(1,3),故A錯(cuò)誤；

b

ab(a-b)c』，.，八」人。(a-b)c、n

---------r=7----3---77?由于c>a>O>0,故---------T=---------->0,

c-ac-b(c-a)(c-b)c-ac-b(c-a)(c-b)

即，一>—故B正確；

c-ac-b

樣本為：1,3,4,a,7,且它的平均數(shù)是4,即1+3+4+4+7=20,a=5,

其方差為夕(1-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=4,故C正確；

數(shù)據(jù)170,168,172,172,176,178,175從小到大排列為：168,170,172,172,175.176,178,

而7x60%=4.2,故這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)時(shí)175,故D正確，

11.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))下列結(jié)論正確的有()

A.若10gli3<1,則。>3

2-叫，則。>c>a

B.a=sin,b=-log2sin

C.若孫*0,2X=18'=9'T,則x-y=l

D.若。=見^,b=—,c=@^,貝l]a<c<b

2e3

【答案】BCD

【分析】對(duì)?于A,分a>l和0<a<l兩種情況分析判斷即可，對(duì)于B,利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)

的單調(diào)性判斷，對(duì)于C,令2*=18〉=9?,=r>0，則x=log2f,y=loginf，D=logof，則log?Nogi/=logof，

Inr

化簡(jiǎn)，再求x-y可得答案，對(duì)于D,構(gòu)造函數(shù)/(%)=——U>0),由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單

X

調(diào)性比較大小

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。>1時(shí),由log〃3<l,得log03vlog",則。>3,當(dāng)Ovavl時(shí),由log“3<l,得

log“3<log",貝ljav3,因?yàn)镺va<l,所以0<avl,綜上，。>3或Ovavl,所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,因?yàn)樗?<sin：<sing=1，所以log°sin：<log2!=T,所以-log,sing〉1,因?yàn)?/p>

36362323

一;(一sin：<0,所以2T<2一,*<2°=1，即^^<2%<1,所以sin1<!<v2<1<-log?sin」，

2J23223

所以b>c>a,所以B正確，

對(duì)于C,令2*=18>,=9*>=/>0,WlJ=log2/,y=logl81,xy=log91,所以log2fJogiJ=log/,所以

揮黑關(guān),所以叱耳含

1g2Igl8lg9lg9

「

,IgfIgrIgr(lsgl8-lg2)1g21sg18s1gl8Tg2Igl8-lg2lg9.

所以x-yulo2gzf-lo8giJ--------=——-----------=——--------------=—------2—=-￡_=1所以c

lg2lg181g21gl8lg9lg21gl8lg9lg9叨”

正確，

對(duì)于D,令f(x)=叱(x>0),則:。)=上墳(》>0),

XX

當(dāng)0<x<e時(shí),尸。)>0,當(dāng)%>e時(shí),_f(x)<(),所以〃x)在(0,e)上遞增，在(e,+a))上遞減，因?yàn)閑<3<4,

所以/(e)>/(3)>/(4),所以處>坐>學(xué)，

e34

E“In42In2In2-,.1In3In2「一?…一

因?yàn)橐?=「一=1二,所rr以一>二一>一丁，所以a<c<〃，所以D止確.

442e32

12.(廣東省汕頭市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)在棱長(zhǎng)為1的正方體48CO-A4GR中，M為底

面A8C。的中心，麗=2職,Xe(0,l),N為線段AQ的中點(diǎn)，則()

D\Ci

Q,

A.CN與。M共面

B.三棱錐A-OWN的體積跟4的取值無(wú)關(guān)

C.4=!時(shí)，過(guò)A,Q,M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為逑士2姮

33

D.時(shí)，AM1QM

4

【答案】ABC

【分析】由〃,N為AC,AQ的中點(diǎn)，得到MN//C。，可判定A正確；由N到平面A8C。的距離為定值泉

且AADM的面積為定值!，根據(jù)匕一.“=匕一小“，可得判定B正確，由4=3時(shí)，得到AQ，M三點(diǎn)的正方

43

體的截面ACEQ是等腰梯形，可判定C正確；當(dāng)2=9時(shí)，根據(jù)AM2+AQ2>QM2,可判定D不正確.

4

【詳解】在AACQ中，因?yàn)镸,N為AC,AQ的中點(diǎn)，所以MNUCQ,

所以CN與QM共面，所以AIE確;

由小i…’因?yàn)镹到平面A5CD的距離為定值9且MW的面積為定值;，

所以二棱錐A-DMN的體積跟2的取值無(wú)關(guān)，所以B正確；

當(dāng)/l=g時(shí)，過(guò)4Q,M三點(diǎn)的正方體的截面ACEQ是等腰梯形，

所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為/=應(yīng)+乎+2xR=f2萬(wàn)

所以C正確；

當(dāng);l=J時(shí)，可得4知2=〈,402=1+2=1|,0m2=（。2+（；）2=3,

4216162416

則41/2+4。2>。知2,所以不成，所以D不正確.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知向量￡=（1,間，^=（3,-2）,且（23+5）_L5,則，〃=.

【答案】：19；4.75

4

【詳解】因?yàn)椤?（1,加），^=（3,-2）,所以2￡+B=2（1,m）+（3,—2）=（5,2機(jī)—2）,因?yàn)椋?3+B）或，所以

修￡+可石=5x3+⑵w-2）x（-2）=0,解得m=%

14.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）如果函數(shù)y=/（x）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；②

函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（4,0）對(duì)稱，那么我們稱它為“點(diǎn)軸對(duì)稱型函數(shù)請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的“點(diǎn)軸對(duì)稱函數(shù)'"（"=

【答案】Asin—x(A*0)或Acos(—xH—)(AxO)

442

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)/(x)=Asin(-+/)(A#O),

山于f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,且關(guān)于點(diǎn)（4,0）對(duì)稱，則■；器:：*二；［川2co+(p=—+k7v,kEZ

4co+(p=k7T,kwZ

當(dāng)A=I時(shí)，解得：3=7,9=0,所以/（x）=Asin?x（ANO）或〃x）=Acos（qx+g（AwO）.

15.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)橢圓E:三+工=1（?。?）上的動(dòng)點(diǎn)尸作圓C（C為圓心）：

/-2》+丁=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A.8,若ZACB的最小值為等，則橢圓￡的離心率為

【答案】；

【詳解】由橢圓E方程知其右焦點(diǎn)為（1,0）;由圓C的方程知：圓心為C（LO）,半徑為1：

當(dāng)ZACB最小時(shí)，則ZACP最小，B|JNACP=（,此時(shí)|PC|最小;

\AC\11..

此時(shí)346=兩=國(guó)=5，中4「2：

?.?尸為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，|尸。而"=心-1=2,解得:m=9,

橢圓E的離心率2=心='

16.（2022?浙江浙江?高三階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是半徑為2的圓。上一點(diǎn)，現(xiàn)

將如圖放置的邊長(zhǎng)為2的正方形A8CD（頂點(diǎn)A與P重合）沿圓周逆時(shí)針滾動(dòng).

若從點(diǎn)A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動(dòng)至使點(diǎn)A再次回到圓周上為止，

稱為正方形滾動(dòng)了一輪，則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時(shí)，正方形滾動(dòng)了

輪，此時(shí)點(diǎn)A走過(guò)的路徑的長(zhǎng)度為.

【答案】3；（也+2）%

【詳解】正方形滾動(dòng)一輪，圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點(diǎn)為8fC7O-A,

頂點(diǎn)兩次回到點(diǎn)P時(shí).，正方形頂點(diǎn)將圓周正好分成六等分，

由4和6的最小公倍數(shù)：3x4=2x6=12,所以到點(diǎn)A首次與尸重合時(shí)，正方形滾動(dòng)了3輪.

這一輪中，點(diǎn)A路徑A-A-A是圓心角為，半徑分別為2,20，2的三段弧,

O

故路徑長(zhǎng)/=2?（2+2近+2）=跡土迦，

63

???點(diǎn)A與P重合時(shí)總路徑長(zhǎng)為（加+2）%.

四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程

或演算步驟。）

17.（2022?云南?昆明一中高一期末）如圖，已知直線〃&，A是《4之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A至以4,的距

離分別為④和2.B,C分別是直線//上的動(dòng)點(diǎn)，且N8AC=（,設(shè)ZA8￡＞=x,f（x）=ABAC.

（1）寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式f（x）；

⑵求函數(shù)/（x）的最小值及相對(duì)應(yīng)的x的值.

20

【答案】（1）8）=

xe(0《)；(2)%=1時(shí)，/(%)而1)=8&.

sinxcos(x+—)50

【解析】(1)依題意，DELl2,而〃//,,ZABD=X,NBAC=；,則NC4￡==x+2,

3326

由NBAC=g知，點(diǎn)3,C在直線DE同側(cè)，NA5RNC4上均為銳角，則有。＜不＜?,

5)6

2AC=—'——}l].,f(x)=AB-AC=--------——

在RtAABO中，AB=——，在Rt^ACE中,/7if則sinx/冗、

sinxcos(x+—)cos(x+-)

2近

所以/（%）=ABAC

.4，xe(。,彳).

sinxcos(x+—)3

25/22V285/2

f(x)=

⑵由⑴得:-sinxcosx--sin2x^-sin2x+—cos2x--2sin(2x+-)-1

224446

因X€（0，W）,即2X+9G￥),當(dāng)2x+J=g,即x=g時(shí)，sin(2x+J)取最大值1,所以/(x)111ta=8/

。。。o2oo

18.（山東省煙臺(tái)市2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題）己知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，4=9,5,=15.

（1）求｛5｝的通項(xiàng)公式；

（2）保持?jǐn)?shù)列｛《,｝中各項(xiàng)先后順序不變，在&與%+/A=1,2,…）之間插入力個(gè)1,使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成

一個(gè)新的數(shù)列他,｝,記｛2｝的前〃項(xiàng)和為1，求工?的值.

【答案】（1）冊(cè)=2〃+1；（2）142.

【解析】（1）設(shè)｛《,｝的公差為d,由已知q+3d=9,3q+3d=15.

解得q=3,d=2.所以a“=2"+l；

（2）因?yàn)閍k與（尢=1,2,…）之間插入2*個(gè)1,

所以處在也卜t1對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為“=k+21+22+23+…+21=4+寧：-=2"+"2,

當(dāng)上=6時(shí)，2*+%-2=68,當(dāng)無(wú)=7時(shí),2*+左一2=133，

0

所以％=%，7Kbi33,S.b6g=b7O=---=hIM=1.

因此=$6+(2x1+2?xl+2'xl+…+2隈1)+32乂1=gx(3+13)+彳。

+32=142.

19.（2022.北京一一匕一中高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCO中，

底面ABC。是正方形，側(cè)棱P￡>_L底面ABC。，PD=DC,E是PC的中

點(diǎn)，作EFLPB交PB于點(diǎn)F.

（1）.證明：PA〃平面EDB；

（2）證明：總,平面""。；

（3）求二面角B-OF-C的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）cos半

【解析】（1）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=a.

（1）證明：連接AC,AC交8。于G,連接EG.

依題意得A?0,0），P（0，。，a），《吟微｝

?.?底面ABC。是正方形，

???G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為［全3（））且

西=（a,0,_a）質(zhì)=e,0,_I）.

?*-PA=2EG.故以〃EG.

而EGu平面EDB且以，平面EDB,：.PA//平面EDB.

B

X

(2)依題意得3(m〃，0),PB=(a,a,-d).

又0E=(0，￡，,故尸方DE=0+^——=0.

122；22

PB1.DE.

由已知E尸_LP&HEFC}DE=E,所以P8J_平面EFD

(3)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m,yo,zo),PF=^PB，

貝！J(xo,yo,zo-67)=入(ma,-a).

從而xo=入a,y()=Xa,zo=(］-入)a.協(xié)以人后二］一.%,/-)&5_Zo)=(_4Q，(］_4>，(/_5)a

由條件上產(chǎn)J_P8知，匠.麗=0，

艮|J-4Q2+(g-zl)/=0,解得a二；

」上一.一、，。=(aa2a\

???點(diǎn)F的坐標(biāo)為［§，§，7J,且=

易知46,3￡),46，尸￡).又3。口「。=。，

->11

所以AGL平面PDB、故4G=a(-/,/,0)是平面BDF的法向量，

設(shè)平面CD/7的法向量;=(x,y,z)，乂OC=(0,a,0).

n-DC=ay=0

所以_-=-?a2ac，令z=l,則y=0,x=-2,z=l,所以［=(-2,0,1)，

n-DF=—x+—y+—z=0

333

—I—

-：n-AG1V10

所以cos<〃,AG>=———=-；=------=—

In||AG|迫x6

2

故二面角3-￡>F—C的大小為cos巫.

5

20.(2022?廣東江門?模擬預(yù)測(cè))浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之

皇”的美譽(yù).東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東布村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過(guò)東布村和白龍

番村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對(duì)開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保

持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟(jì)收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為東魁楊梅果實(shí)的果徑X~N(〃,〃)(單

位：〃師)，但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的〃和。都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場(chǎng)為了了解今年的果實(shí)情況,

從摘下的楊梅果實(shí)中隨機(jī)取出1000顆，并測(cè)量這1000顆果實(shí)的果徑，得到如下頻率分布直方圖.

八頻率

顛

近似代替。，已知s=0.3.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),

把果徑與〃的差的絕對(duì)值在2b內(nèi)的果實(shí)稱為“標(biāo)準(zhǔn)果”.現(xiàn)從農(nóng)場(chǎng)中摘取20顆果，請(qǐng)問(wèn)這20顆果恰好有一

顆不是"標(biāo)準(zhǔn)果''的概率；(結(jié)果精確到0.01)

(2)隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場(chǎng)也及時(shí)跟進(jìn).網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時(shí)，也增加了壞果賠付的成本.

現(xiàn)該農(nóng)場(chǎng)有一款“9A20”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價(jià)80元，客戶在收到貨時(shí)如果有壞

果，每一個(gè)壞果該農(nóng)場(chǎng)要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用A款包裝盒，成本”(1W5)元，且每盒

(畀i2,3,4

出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)4滿足P(J=i)=匕,i=0

若采用3款包裝盒，成本岸元，且每盒出現(xiàn)壞果個(gè)數(shù)〃滿

Io

0/=5,6,…,20

足/>(〃=,?)=,"15)”=12,3,(機(jī)為常數(shù))，請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析，選擇哪款包裝盒可以獲

0,/=0,4,5,6,--,20

得更大利潤(rùn)？

參考數(shù)據(jù)：36.2x0.2+36.4x0.25+36.6x0.7+36.8x0.8+37x1.1+37.2x0.8+

37.4x0.65+37.6x0.4+37.8x0.05+38x0.05=185；X<//+cr)=0.6826；

P(〃-2b4X4〃+2cr)=0.9544；戶(〃一3。VXM〃+3。)=0.9974；0.954419?0.412;O.954420?0.393.

【答案】⑴0.38；⑵當(dāng)a=T時(shí)，采用兩種包裝利潤(rùn)一樣，當(dāng)"e1，|)時(shí)，采用B款包裝盒，當(dāng)“{|，5

時(shí)，采用4款包裝盒.

【解析】⑴由題意得：1=185x0.2=37,所以〃=37,b=s=0.3,則〃-2『=37-0.6=36.4,

//+2cr=37+0.6=37.6,所以P(36.4VXV37.6)=0.9544,設(shè)從農(nóng)場(chǎng)中摘取20顆果，這20顆果恰好有一

顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”為事件A,則P(A)=C^ox(1-0.9544)x0.954419=20x0.0456x0.412?0.38

⑵由,+5+家川解得：加g所以W)*出，$，23采用A款包裝盒獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)

1Xr2X0+3x]?+4X]￡|-a147

期望耳=80_4E?_a=80_4x

采用8款包裝盒獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望馬=80-4磯〃)j=80-4xlxi+2x1+3xl-*半j,

14751683

令A(yù)-----a=-------a解得：。二5,

277

由于令-—a>——a,解得：，

人1475168L3、

令一^-a<—^—~a，解得：aeI,

故當(dāng)a=|時(shí)，采用兩種包裝利潤(rùn)一樣，當(dāng)aw時(shí)，采用B款包裝盒,當(dāng)ae1|,5時(shí),

采用A款包裝

盒.

X?y2,離心率為，

21.(2022?河北唐山?一模)已知橢圓C:7+F=1(4>〃>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(l)求橢圓c的方程；

(2)如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)為A,x2,不與坐標(biāo)軸垂直且不過(guò)原點(diǎn)的直線/與C交于M,N兩點(diǎn)(異于

A，4),點(diǎn)"關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)「，直線A|P與直線AN交于點(diǎn)Q,直線。。與直線/交于點(diǎn)R

證明：點(diǎn)R在定直線上.

【答案】(1)三+反=1;(2)證明見解析.

43

j_2=1

/+/一1(a2=4x2v2

【解析】⑴由題意知，,7，解得｛,2°，故橢圓C的方程為二+匕=1?

,b'1Q=343

l-^=4

(2)設(shè)N(%?2)，則尸(一不，一乂).

直線/的方程為1=陽(yáng)+〃，其中〃z?〃工。且〃w±2,

22

將戶”+〃代入橢圓。：工r十V二二1,整理得（3〃/+4）y2+6口町，+3n2-12=0,

43

-6tnn3W2-12

由△>()與韋達(dá)定理得：3/?Z2-Z?2+4>0,

由(1)知：A(-2,0),4(2,0),

%>()_>2

設(shè)。(%,%),由A、尸、。三點(diǎn)共線得：,由4、N、。三點(diǎn)共線得：c-),

人I乙人■