第二章-自動控制原理(傅里葉變換到拉普拉斯變換)

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：

1）控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型的建立；

2）復(fù)習(xí)傅里葉變換拉普拉斯變換；

3）控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，典型元部件的傳遞函數(shù)；

4）控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及等效變換；

5）信號流圖（梅遜公式）及控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?；疽螅?/p>

1）掌握系統(tǒng)微分方程建立的方法；

2）熟練掌握傳遞函數(shù)的概念、定義、性質(zhì)及局限性；

3）熟悉常用元部件（典型環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)及常用的傳遞函數(shù)形式；

4）學(xué)會由系統(tǒng)微分方程建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，熟練掌握用拉氏變換方法求解線性常微分方程的方法；

5）熟練掌握利用結(jié)構(gòu)圖等效變換和梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法。

本章概述

2.1拉氏變換和反變換

2.3控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

2.5系統(tǒng)方框圖

2.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

2.6系統(tǒng)信號流圖

2.7閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取

2.2控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建模的基本方法:(1)機(jī)理建模法(解析法)；(2)實(shí)驗(yàn)辯識法。工程控制中常用的數(shù)學(xué)模型形式：時域描述——微分方程、差分方程、狀態(tài)方程復(fù)域描述——傳遞函數(shù)、方塊圖（結(jié)構(gòu)圖）、信號流程圖頻域描述——頻率特性

模型各有特點(diǎn)，使用時可靈活掌握。若分析研究系統(tǒng)的動態(tài)特性，取其數(shù)學(xué)模型比較方便；若分析研究系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)情況，取其物理模型比較直觀；若兩者皆有，則取其圖模型比較合理。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傅里葉變換與拉普拉斯變換數(shù)學(xué)模型的形式時間域： 微分方程 差分方程 狀態(tài)方程復(fù)數(shù)域： 傳遞函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖頻率域： 頻率特性“三域”模型及其相互關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)機(jī)械運(yùn)動：牛頓定理、能量守恒定理電學(xué)： 歐姆定理、基爾霍夫定律熱學(xué)： 傳熱定理、熱平衡定律

微分方程（連續(xù)系統(tǒng)）差分方程（離散系統(tǒng)）2.1傅里葉變換與拉普拉斯變換2.1.1傅里葉級數(shù)2.1.2

傅里葉積分與傅里葉變換{O

w1

w2

w3

wn-1wn{wFourier變換的定義

在頻譜分析中，

傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù)，而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜)。由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對一個時間函數(shù)f(t)作傅氏變換,就是求這個時間函數(shù)f(t)的頻譜。例

矩形脈沖函數(shù)為1-1otf(t)12.1.3

拉普拉斯變換拉氏變換的優(yōu)點(diǎn)：1）求解簡化；2）把微分、積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程；3）將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的初等函數(shù)；4）將卷積轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。從傅里葉變換到拉普拉斯變換一般函數(shù)有：引入衰減因子得拉普拉斯變換的定義

設(shè)函數(shù)滿足:①時，②時分段連續(xù)，且則拉普拉斯變換的定義為：

——是原函數(shù)（時間函數(shù)）

——是象函數(shù)，s是復(fù)變數(shù)

拉普拉斯反變換：2.1.4典型函數(shù)（常用信號）的拉普拉斯變換

1）指數(shù)函數(shù)

構(gòu)成一變換對

2）單位脈沖函數(shù)

構(gòu)成一變換對

3）單位階躍函數(shù)

構(gòu)成一變換對

4）單位速度函數(shù)

構(gòu)成一變換對

5）單位加速度函數(shù)

構(gòu)成一變換對

6）正弦函數(shù)

構(gòu)成一變換對

7）t的冪函數(shù)

構(gòu)成一變換對

2.1.5拉普拉斯變換定理（性質(zhì)）1）線性定理2）微分定理

3）積分定理

5）延時定理（第二平移定理）4）位移定理（第一平移定理）6）初值定理

7）終值定理

8）相似定理（時間比例尺的改變定理）9）卷積定理

10）乘冪定理

例求的拉普拉斯變換

2.1.6拉普拉斯反變換拉普拉斯變換的部分分式展開式

在控制系統(tǒng)中一般為如下有理分式的形式:

拉普拉斯反變換的公式：１）中只有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)時解：將F(s)展開成部分分式形式２）中含有多重極點(diǎn)時

解：將F(s)展開成部分分式形式３）