概率論與數(shù)理統(tǒng)計同濟(jì)大學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計同濟(jì)大學(xué)匯報人：AA2024-01-19課程簡介與教學(xué)目標(biāo)概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)參數(shù)估計方法假設(shè)檢驗(yàn)方法方差分析與回歸分析初步課程總結(jié)與展望課程簡介與教學(xué)目標(biāo)0101它研究隨機(jī)現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，為各領(lǐng)域的科學(xué)研究提供有效的數(shù)學(xué)工具。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學(xué)的一個重要分支02在金融、經(jīng)濟(jì)、工程、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中，概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)揮著越來越重要的作用。廣泛的應(yīng)用背景03通過學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和理性判斷能力，提高分析和解決問題的能力。培養(yǎng)理性思維課程背景及意義知識目標(biāo)掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、理論和方法，理解隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)本質(zhì)。能力目標(biāo)能夠運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識和方法分析和解決實(shí)際問題，具備初步的科學(xué)研究能力。素質(zhì)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和理性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。教學(xué)目標(biāo)與要求030201《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社）《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》（茆詩松等編，高等教育出版社）、《概率論基礎(chǔ)》（李賢平編，高等教育出版社）等。教材及參考書目參考書目教材概率論基本概念02隨機(jī)事件在一定條件下并不總是發(fā)生，也不總是不發(fā)生的事件。概率表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，其值介于0和1之間。古典概型每個樣本點(diǎn)等可能出現(xiàn)的概率模型，概率計算基于等可能原則。隨機(jī)事件與概率123在已知某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。條件概率兩個事件相互獨(dú)立，即一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生概率。獨(dú)立性計算多個事件同時發(fā)生的概率，特別適用于獨(dú)立事件。乘法公式條件概率與獨(dú)立性用于計算一個復(fù)雜事件發(fā)生的概率，該事件可以表示為若干互斥簡單事件的并。全概率公式在已知某些條件下，更新某一假設(shè)的概率，即后驗(yàn)概率的計算方法。貝葉斯公式通過已知結(jié)果推測原因的概率問題，常用貝葉斯公式解決。逆概率問題全概率公式與貝葉斯公式隨機(jī)變量及其分布03隨機(jī)變量定義及分類隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點(diǎn)映射到一個實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量分類根據(jù)隨機(jī)變量取值的特點(diǎn)，可以將其分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩類。離散型隨機(jī)變量只能取有限個或可列個值。離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布律可以用分布列或分布函數(shù)來描述。分布列給出了隨機(jī)變量取各個值的概率，而分布函數(shù)則描述了隨機(jī)變量取值小于等于某個值的概率。分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量的取值是連續(xù)的，可以取某個區(qū)間內(nèi)的任意值。概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布可以用概率密度函數(shù)來描述。概率密度函數(shù)是一個非負(fù)可積函數(shù)，它在某個區(qū)間內(nèi)的積分值等于隨機(jī)變量落在這個區(qū)間內(nèi)的概率。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)04研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個隨機(jī)變量及其分布來描述?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本概念介紹樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量包括無偏性、有效性、一致性等，用于評價統(tǒng)計量的優(yōu)劣。統(tǒng)計量的性質(zhì)包含樣本中所有關(guān)于總體的信息的統(tǒng)計量，具有簡化推斷過程的作用。充分統(tǒng)計量統(tǒng)計量及其性質(zhì)ABCD正態(tài)分布一種連續(xù)型概率分布，具有鐘形曲線特征，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域。F分布一種連續(xù)型概率分布，用于描述兩個獨(dú)立隨機(jī)變量的方差之比的分布，常用于方差分析。χ^2分布一種連續(xù)型概率分布，用于描述多個獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和的分布，常用于假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間的構(gòu)建。t分布一種連續(xù)型概率分布，用于描述小樣本情況下均值的抽樣分布，具有厚尾特征。常用統(tǒng)計分布介紹參數(shù)估計方法0503最小二乘法通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，適用于線性回歸模型的參數(shù)估計。01矩估計法用樣本矩作為總體矩的估計量，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。02最大似然估計法根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則來估計總體參數(shù)，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。點(diǎn)估計方法置信區(qū)間法利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個區(qū)間，使得該區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率等于預(yù)先給定的置信水平。容忍區(qū)間法在給定置信水平下，構(gòu)造一個區(qū)間使得總體參數(shù)落在這個區(qū)間內(nèi)的概率最大。預(yù)測區(qū)間法利用樣本數(shù)據(jù)對未來觀測值進(jìn)行預(yù)測，并構(gòu)造一個區(qū)間使得未來觀測值落在這個區(qū)間內(nèi)的概率等于預(yù)先給定的置信水平。區(qū)間估計方法評價估計量好壞標(biāo)準(zhǔn)無偏性估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)，即估計量在多次重復(fù)抽樣下的平均值等于總體參數(shù)真值。有效性對于同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，有更小方差的估計量更有效。一致性隨著樣本量的增加，估計量的值逐漸接近總體參數(shù)的真值。充分性如果樣本中包含關(guān)于總體參數(shù)的全部信息，則稱該樣本是充分的。一個好的估計量應(yīng)該充分利用樣本中的信息。假設(shè)檢驗(yàn)方法06假設(shè)檢驗(yàn)基本原理和步驟顯著性水平的確定根據(jù)問題的實(shí)際情況，選擇合適的顯著性水平$alpha$，通常取0.05或0.01。檢驗(yàn)統(tǒng)計量的選擇根據(jù)假設(shè)和樣本數(shù)據(jù)，選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計量，如t統(tǒng)計量、F統(tǒng)計量等。假設(shè)的設(shè)立根據(jù)實(shí)際問題，設(shè)立原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$，原假設(shè)通常是希望被拒絕的假設(shè)。臨界值或拒絕域的確定根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計量的分布和顯著性水平，確定臨界值或拒絕域。假設(shè)檢驗(yàn)的決策根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量的值，并與臨界值或拒絕域進(jìn)行比較，從而作出接受或拒絕原假設(shè)的決策。單個正態(tài)總體均值和方差檢驗(yàn)當(dāng)總體服從正態(tài)分布$N(mu,sigma^2)$，其中$mu$和$sigma^2$均未知時，可以構(gòu)造t統(tǒng)計量進(jìn)行均值$mu$的檢驗(yàn)。具體地，當(dāng)樣本量n較大時，可以使用z統(tǒng)計量進(jìn)行近似檢驗(yàn)。單個正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)當(dāng)總體服從正態(tài)分布$N(mu,sigma^2)$，其中$mu$已知而$sigma^2$未知時，可以構(gòu)造$chi^2$統(tǒng)計量進(jìn)行方差$sigma^2$的檢驗(yàn)。具體地，可以使用F分布進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)或卡方分布進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)。單個正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)兩個正態(tài)總體均值比較檢驗(yàn)當(dāng)兩個總體分別服從正態(tài)分布$N(mu_1,sigma_1^2)$和$N(mu_2,sigma_2^2)$，其中$mu_1$、$mu_2$、$sigma_1^2$、$sigma_2^2$均未知時，可以構(gòu)造t統(tǒng)計量進(jìn)行均值差的檢驗(yàn)。具體地，當(dāng)兩個樣本的方差相等時，可以使用合并方差的t檢驗(yàn)；當(dāng)兩個樣本的方差不相等時，可以使用Welcht檢驗(yàn)。兩個正態(tài)總體方差比較檢驗(yàn)當(dāng)兩個總體分別服從正態(tài)分布$N(mu_1,sigma_1^2)$和$N(mu_2,sigma_2^2)$，其中$mu_1=mu_2$而$sigma_1^2$、$sigma_2^2$未知時，可以構(gòu)造F統(tǒng)計量進(jìn)行方差比的檢驗(yàn)。具體地，可以使用F分布進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)或卡方分布進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)。兩個正態(tài)總體均值和方差比較檢驗(yàn)方差分析與回歸分析初步07VS方差分析是一種通過比較不同組別間均值的差異來檢驗(yàn)總體均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計方法。其基本原理是，如果不同組別間的均值差異超過了隨機(jī)誤差的范圍，則可以認(rèn)為這些組別來自不同的總體。應(yīng)用舉例例如，在醫(yī)學(xué)研究中，可以通過方差分析來比較不同治療方法對患者病情的影響是否存在顯著差異。方差分析原理方差分析原理及應(yīng)用舉例一元線性回歸分析初步一元線性回歸模型可以用于預(yù)測因變量的值，并可以通過控制自變量的值來調(diào)控因變量的水平。預(yù)測與控制一元線性回歸模型是用于描述兩個變量之間線性關(guān)系的統(tǒng)計模型，其中一個變量為自變量，另一個變量為因變量。該模型可以用一個直線方程來表示。一元線性回歸模型在一元線性回歸分析中，需要估計模型的參數(shù)（截距和斜率），并進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)以判斷自變量和因變量之間是否存在顯著的線性關(guān)系。參數(shù)估計與假設(shè)檢驗(yàn)多元線性回歸模型多元線性回歸模型是用于描述多個自變量與一個因變量之間線性關(guān)系的統(tǒng)計模型。該模型可以用一個多元一次方程來表示。參數(shù)估計與假設(shè)檢驗(yàn)在多元線性回歸分析中，需要估計模型的參數(shù)（回歸系數(shù)），并進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)以判斷自變量和因變量之間是否存在顯著的線性關(guān)系。共線性問題及其處理在多元線性回歸分析中，可能會遇到自變量之間存在高度相關(guān)性的情況，這稱為共線性問題。共線性問題可能導(dǎo)致參數(shù)估計不準(zhǔn)確或不穩(wěn)定。處理共線性問題的方法包括刪除某些自變量、使用主成分分析等降維技術(shù)、或使用嶺回歸等正則化方法。多元線性回歸分析簡介課程總結(jié)與展望08課程重點(diǎn)內(nèi)容回顧事件、概率、條件概率、獨(dú)立性等。概率論基本概念離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量、期望和方差等。闡述了大量隨機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性?？傮w、樣本、統(tǒng)計量、抽樣分布等。點(diǎn)估計、區(qū)間估計、假設(shè)檢驗(yàn)的原理和方法。隨機(jī)變量及其分布大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本概念參數(shù)估計與假設(shè)檢驗(yàn)深入理解基本概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計中涉及的概念較為抽象，需要反復(fù)思考和理解。多做習(xí)題掌握方法通過大量的練習(xí)，熟悉掌握解題方法和技巧。結(jié)合實(shí)際應(yīng)用學(xué)習(xí)將理論知識與實(shí)際問題相結(jié)合，提高學(xué)習(xí)的興趣和效果。借助優(yōu)質(zhì)資源輔助學(xué)習(xí)如教材、課件