小學(xué)奧數(shù)觀察法

第一講觀察法

在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，第一步是觀察。觀察是基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的首

要步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開發(fā)與培養(yǎng)學(xué)

生智力的第一步。

觀察法，是通過觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點(diǎn)，條件與結(jié)論之間的

關(guān)系，題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，把題目解答

出來的一種解題方法。

觀察要有次序，要看得仔細(xì)、看得真切，在觀察中要?jiǎng)幽X，要想出道理、找

出規(guī)律。

*例1（適于一年級(jí)程度）此題是九年義務(wù)教育六年制小學(xué)教科書數(shù)學(xué)

18

圖1-1

第二冊，第11頁中的一道思考題。書中除圖1T的圖形外沒有文字說明。

這道題旨在引導(dǎo)兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時(shí)兒童己經(jīng)學(xué)過

20以內(nèi)的加減法，基于他們已有的知識(shí)，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正

方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條

對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實(shí)質(zhì)上，這是一種

幻方，或者說是一種方陣。

解：現(xiàn)在通過觀察、思考，看小方格中應(yīng)填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+口=18

會(huì)想到，18-10-6=2,在橫中行右面的小方格中應(yīng)填入2（圖1-2）。

從豎右列7+2+口=18（圖1-2）會(huì)想到，18-7-2=9,在豎右列下面的小方格

中應(yīng)填入9（圖1-3）。

1

從正方形對(duì)角線上的9+6+口=18（圖1-3）會(huì)想到,18-9-6=3,在大正方形

左上角的小方格中應(yīng)填入3（圖1-4）。

從正方形對(duì)角線上的7+6+口=18（圖1-3）會(huì)想到,18-7-6=5,在大正方形

左下角的小方格中應(yīng)填入5（圖1-4）。

□□□

圖1-4圖1-5

從橫上行3+口+7=18（圖1-4）會(huì)想到，18-3-7=8,在橫上行中間的小方格

中應(yīng)填入8（圖1-5）。

又從橫下行5+口+9=18（圖1-4）會(huì)想到，18-5-9=4,在橫下行中間的小方

格中應(yīng)填入4（圖1-5）o

圖15是填完數(shù)字后的幻方。

例2看每一行的前三個(gè)數(shù)，想一想接下去應(yīng)該填什么數(shù)。（適于二年級(jí)程

度）

6^16、26、、___、、o

9、18、27、、____、、o

80>73、66>、、___、o

解：觀察6、16、26這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6

大10,26比16大10,即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大10。

觀察9、18、27這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9,

27比18大9,即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大9o

觀察80、73、66這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小

7,66比73小7,即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)小7。

這樣可得到本題的答案是：

6、16、26、36,緡56,660

9、18、27、36.45,54>63o

2

80、73、66、織、52>45,38?

例3將1?9這九個(gè)數(shù)字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號(hào)均成立。

（適于三年級(jí)程度）

解：仔細(xì)觀察圖中不等號(hào)及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個(gè)方框中

的數(shù)小于周圍的四個(gè)數(shù)，看來在中心的方框中應(yīng)填入最小的數(shù)1。再看它周圍的

方框和不等號(hào)，只有左下角的那個(gè)方框中的數(shù)大于相鄰的兩個(gè)方框中的數(shù)，其它

方框中的數(shù)都是一個(gè)比一個(gè)大，而且方框中的數(shù)是按順時(shí)針方向排列越來越小。

所以，在左下角的那個(gè)方框中應(yīng)填9,在它右鄰的方框中應(yīng)填2,在2右面

的方框中填3,在3上面的方框中填4,以后依次填5、6、7、80

圖1-7是填完數(shù)字的圖形。

>口>□□>0□

〉

〈

〉□

>□<H>□

〈

□〉

>□<H>0<□

0(<

例4從一個(gè)長方形上剪去一個(gè)角后，它還剩下幾個(gè)角？（適于三年級(jí)程度）

解：此題不少學(xué)生不加思考就回答：“一個(gè)長方形有四個(gè)角，剪去一個(gè)角剩

下三個(gè)角。”

我們認(rèn)真觀察一下，從一個(gè)長方形的紙上剪去一個(gè)角，都怎么剪？都是什么

情況？

（1）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)堑捻旤c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下三個(gè)角（圖1-8）。

（2）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)吷先我庖稽c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下四個(gè)角（圖1-9）。

（3）從一個(gè)邊上任意一點(diǎn)向鄰邊上任意一點(diǎn)剪去一個(gè)角，

圖1-8圖1-9圖1-10

剩下五個(gè)角（圖1-10）O

3

例5甲、乙兩個(gè)人面對(duì)面地坐著，兩個(gè)人中間放著一個(gè)三位數(shù)。這個(gè)三位

數(shù)的每個(gè)數(shù)字都相同，并且兩人中一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)比另一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)

大一半，這個(gè)數(shù)是多少？（適于三年級(jí)程度）

解：首先要確定這個(gè)三位數(shù)一定是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示的，不然就沒法考慮了。

甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說，這個(gè)三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。

在阿拉伯?dāng)?shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個(gè)數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。

這個(gè)三位數(shù)在正看、倒看時(shí)，表示的數(shù)值不同，顯然這個(gè)三位數(shù)不能是000,

也不能是H1和888,只可能是666或999。

如果這個(gè)數(shù)是666,當(dāng)其中一個(gè)人看到的是666時(shí)，另一個(gè)人看到的一定是

999,999-666=333,333正好是666的一半。所以這個(gè)數(shù)是666,也可以是999。

*例61966、1976、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少？（適于三年

級(jí)程度）

解：這道題可以有多種解法，把五個(gè)數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，

但因數(shù)字大，計(jì)算起來容易出錯(cuò)。

如果仔細(xì)觀察這五個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)是1966,第二個(gè)數(shù)比它大10,第

三個(gè)數(shù)比它大20,第四個(gè)數(shù)比它大30,第五個(gè)數(shù)比它大40。因此，這道題可以

用下面的方法計(jì)算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1966X5+10X（1+2+3+4）

=9830+100

=9930

這五個(gè)數(shù)還有另一個(gè)特點(diǎn)：中間的數(shù)是1986,第一個(gè)數(shù)1966比中間的數(shù)1986

小20,最后一個(gè)數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20,1966和2006這兩個(gè)數(shù)的平均

數(shù)是198601976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個(gè)數(shù)

的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計(jì)算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1986X5

=9930

4

例7你能從400+25=(400X4)+(25X4)=400X44-100=16中得至U啟發(fā)，

很快算出(1)6004-25(2)9004-25(3)14004-25(4)18004-25(5)72504-25

的得數(shù)嗎？(適于四年級(jí)程度)

解：我們仔細(xì)觀察一下算式：

4004-25=(400X4)4-(25X4)=400X44-100=16

不難看出，原來的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4,目的是將除數(shù)變成1后面帶有0

的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個(gè)相同的數(shù)（零除外），商

不變”。

進(jìn)行這種變化的好處就是當(dāng)除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以

很快求出商。按照這個(gè)規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。

(1)6004-25(2)9004-25

=(600X4)4-(25X4)=(900X4)4-(25X4)

=600X44-100=900X44-100

=24=36

(3)14004-25(4)18004-25

=(1400X4)4-(25X4)=(1800X4)4-(25X4)

=1400X44-100=1800X44-100

=56=72

(5)72504-25

=(7250X4)4-(25X4)

=290004-100

=290

*例8把1?1000的數(shù)字如圖1T1那樣排列，再如圖中那樣用一個(gè)長方形

框框出六個(gè)數(shù)，這六個(gè)數(shù)的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個(gè)數(shù)，豎著兩

個(gè)數(shù)）框出的六個(gè)數(shù)的和是837,這六個(gè)數(shù)都是多少？（適于五年級(jí)程度）

解：（1）觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1,第三個(gè)數(shù)比

第一個(gè)數(shù)大2,第四個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大7,第五個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大8,第六個(gè)數(shù)

比第一個(gè)數(shù)大9。

5

假定不知道這幾個(gè)數(shù)，而知道上面觀察的結(jié)果，以及框內(nèi)六個(gè)數(shù)的和是87,

要求出這幾個(gè)數(shù)，就要先求出六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)：

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

???.?????.???????????

?????????9991000

E1-11

(87-1-2-7-8-9)4-6

=604-6

=10

求出第一個(gè)數(shù)是10,往下的各數(shù)也就不難求了。

因?yàn)橛猛瑯拥姆椒虺龅牧鶄€(gè)數(shù)之和是837,這六個(gè)數(shù)之中后面的五個(gè)數(shù)也

一定分別比第一個(gè)數(shù)大1、2、7、8、9,所以，這六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是：

(837-1-2-7-8-9)4-6

=8104-6

=135

第二個(gè)數(shù)是：135+1=136

第三個(gè)數(shù)是：135+2=137

第四個(gè)數(shù)是：135+7=142

第五個(gè)數(shù)是：135+8=143

第六個(gè)數(shù)是：135+9=144

答略。

(2)觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：①上、下兩數(shù)之差都是7；②方框中間堅(jiān)行

的11和18,分別是上橫行與下橫行三個(gè)數(shù)的中間數(shù)。

11=(10+11+12)4-3

18=(17+18+19)4-3

6

所以上橫行與下橫行兩個(gè)中間數(shù)的和是：

874-3=29

由此可得，和是837的六個(gè)數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個(gè)中間數(shù)的和是：

8374-3=279

因?yàn)樯稀⑾聝蓚€(gè)數(shù)之差是7,所以假定上面的數(shù)是x,則下面的數(shù)是x+7。

x+（x+7）=279

2x+7=279

2x=279-7

=272

x=272+2

=136

x+7=136+7

=143

因?yàn)樯弦粰M行中間的數(shù)是136,所以，第一個(gè)數(shù)是：136-1=135

第三個(gè)數(shù)是：135+2=137

因?yàn)橄乱粰M行中間的數(shù)是143,所以，

第四個(gè)數(shù)是：143-1=142

第六個(gè)數(shù)是：142+2=144

答略。

*例9有一個(gè)長方體木塊，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有幾個(gè)頂點(diǎn)？（適于五年級(jí)程

度）

解：（1）鋸去一個(gè)頂點(diǎn)（圖1T2）,因?yàn)檎襟w原來有8個(gè)頂點(diǎn)，鋸去一

個(gè)頂點(diǎn)后，增加了三個(gè)頂點(diǎn)，所以，

8-1+3=10

7

即鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有10個(gè)頂點(diǎn)。

圖1-12圖1-13

（2）如果鋸開的截面通過長方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+2=9（個(gè)）

（圖1-13）o

（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+1=8（個(gè)）

（圖1-14）o

圖1-14圖1-15

（4）如果鋸開的截面通過長方體的三個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1=7（個(gè)）

（圖1-15）o

例10將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組

成一個(gè)物體（圖1T6）,求這個(gè)物體的表面積S。（適于六年級(jí)程度）

解：我們知道，底面半徑為Y，高為h的圓柱體的表面積是2ny+2nyho

圖1-16圖1-17

本題的物體由三個(gè)圓柱組成。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再把三個(gè)圓

柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個(gè)物體的表面積,

這種計(jì)算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。

如果我們改變觀察的方法，從這個(gè)物體的正上方向下俯視這個(gè)物體，會(huì)看到

這個(gè)物體上面的面積就像圖1T7那樣。這三個(gè)圓的面積，就是底面半徑是1.5

米的那個(gè)圓柱的底面積。所以，這個(gè)物體的表面積，就等于一個(gè)大圓柱的表面積

加上中、小圓柱的側(cè)面積。

（2nXL5葉2nXI.5X1）+（2nX1X1）+（2nX0.5X1）

8

=（4.5n+3n）+2n+JT

=7.5Ji+3JT

=10.5n

=10.5X3.14

=32.97（平方米）

答略。

*例11如圖1T8所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角

是72°,鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。（適于六年級(jí)程度）

圖1-18

解：遇到這樣的題目，不但要注意計(jì)算的技巧，還要注意觀察的全面性，不

可漏掉某一側(cè)面。圖1T8表面積中的一個(gè)長方形和一個(gè)扇形就容易被漏掉，因

而在解題時(shí)要仔細(xì)。

求表面積的方法1：

兩個(gè)扇形面積+兩個(gè)長方形面積+圓柱側(cè)面積XW

3.14X15272

———X72X2+20X15X2+15X2X3.14X20X—

360360

3.14x22518

--------X72X2+300X2+30X3.14X20X—

36090

3.14x225,

——-——X2+600+30X3.14X4

=3.14X45X2+600+120X3.14

=3.14X90+3.14X120+600

=3.14X(90+120)+600

9

=659.4+600

=1259.4（平方厘米）

求表面積的方法2：

(兩個(gè)圓的面積+圓柱側(cè)面積)又名+兩個(gè)長方形的面積

360

72

(3.14X152X2+2X15X3.14X20)X—+20X15X2

72

=3.14X(225X2+30X20)X—+40X15

360

=3.14X(450+600)*荻+600

72

=3.14X1Q5OX—+600

360

=3.14X210+600

=659.4+600

=1259.4(平方厘米)

鑄件的體積：

72

3.14X152X20X—

360

=3.14X225X20X|

=3.14X225X4

=3.14X900

=2826(立方厘米)

答略。

第二講嘗試法

解應(yīng)用題時(shí)，按照自己認(rèn)為可能的想法，通過嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解

題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。

10

一般來說，在嘗試時(shí)可以提出假設(shè)、猜想，無論是假設(shè)或猜想，都要目的明

確，盡可能恰當(dāng)、合理，都要知道在假設(shè)、猜想和嘗試過程中得到的結(jié)果是什么，

從而減少嘗試的次數(shù)，提高解題的效率。

例1把數(shù)字3、4、6、7填在圖2T的空格里，使圖中橫行、堅(jiān)列三個(gè)數(shù)相

加都等于14。（適于一年級(jí)程度）

件

圖2-1

解：七八歲的兒童，觀察、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習(xí)，

一般都感到困難。可先啟發(fā)他們認(rèn)識(shí)解此題的關(guān)鍵在于試填中間的一格。中間一

格的數(shù)確定后，下面一格的數(shù)便可由豎列三個(gè)數(shù)之和等于14來確定，剩下的兩

個(gè)數(shù)自然應(yīng)填入左右兩格了。

中間一格應(yīng)填什么數(shù)呢？

先看一個(gè)日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第

六期的第23頁，我們一定要從合訂本大約一半的地方打開。要是翻到第五期，

就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接

近第23頁的地方翻，……

這樣反復(fù)試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁。

這就是在用“嘗試法”解決問題。

本題的試數(shù)范圍是3、4、6、7四個(gè)數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在

中間的格中，按“橫行、豎列三個(gè)數(shù)相加都得14”的要求來逐個(gè)嘗試。

圖2-2圖2-3

圖2-4

如果中間的格中填3,則豎列下面的一格應(yīng)填多少呢？因?yàn)?4-5-3=6,所以

豎列下面的一格中應(yīng)填6（圖2-2）。

11

下面就要把剩下的4、7,分別填入橫行左右的兩個(gè)格中（圖2-3）。把橫行

格中的4、3、7三個(gè)數(shù)加起來，得14,合乎題目要求。

如果中間一格填4、或填6、7都不合乎題目的要求。

所以本題的答案是圖2-3或圖2-4o

例2把1、2、3……11各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行

的數(shù)相加都等于18。（教科書第四冊第57頁的思考題，適于二年級(jí)程度）

圖2-5

解：圖2-5中有11個(gè)格，正好每一格填寫一個(gè)數(shù)。

圖2-6中寫有A、B、C的三個(gè)格中的三個(gè)數(shù)，既要參加橫向的運(yùn)算，又要參

加縱向的運(yùn)算，就是說這三個(gè)數(shù)都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個(gè)數(shù)是

解此題的關(guān)鍵。

圖2-6

因?yàn)?-11之中中間的三個(gè)數(shù)是5、6、7,所以，我們以A、B、C分別為5、

6、7開始嘗試（圖2-7）。

以6為中心嘗試，看6上、下兩個(gè)格中應(yīng)填什么數(shù)。

因?yàn)?8-6=12,所以6上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是12。

考慮6已是1?11之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應(yīng)是1?11之中

兩頭的數(shù)。再考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)還要與7相加，5比7

小，題中要求是三個(gè)數(shù)相加都等于18,所以在6上面的格中填11,在6下面的

格中填1（圖2-8）。

12

圖2-8

6+11+1=18

看圖2-8。6上面的數(shù)是11,11左鄰的數(shù)是5,18-11-5=2,所以5左鄰的

數(shù)是2（圖2-9）。

再看圖2-8。6下面的數(shù)是1,1右鄰的數(shù)是7,18-1-7=10,所以7右鄰的

數(shù)是10（圖2-9）。

現(xiàn)在1?11之中只剩下3、4、8、9這四個(gè)數(shù)，圖2-9中也只剩下四個(gè)空格。

在5的上、下，在7的上、下都應(yīng)填什么數(shù)呢？

圖2-10

因?yàn)?8-5=13,所以5上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是13,3、4、8、9這四個(gè)

數(shù)中，只有4+9=13,所以在5的上、下兩格中應(yīng)填9與4（圖2-10）。

看圖2-10。因?yàn)?左鄰的數(shù)是4,18-4-6=8,所以6右鄰的數(shù)是8。

因?yàn)?8-7-8=3,并且1T1的數(shù)中，只剩下3沒有填上，所以在7下面的格

中應(yīng)填上3o

圖2-10是填完數(shù)字的圖形。

*例3在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒有祛碼的

天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來嗎？（適于三年級(jí)程度）

解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。

①把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤上，如果平衡，則假的1只在C組

里；若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。

②再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤上。如果平衡，余

下的1只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。

13

*例4在下面的15個(gè)8之間的任何位置上，添上+、-、X、+符號(hào)，使得

下面的算式成立。(適于三年級(jí)程度)888888888888888=1986

解：先找一個(gè)接近1986的數(shù)，如：8888+8+888=1999。

1999比1986大130往下要用剩下的7個(gè)8經(jīng)過怎樣的運(yùn)算得出一個(gè)等于

13的算式呢？88+8=11,11與13接近，只差2。

往下就要看用剩下的4個(gè)8經(jīng)過怎樣的運(yùn)算等于2。84-8+84-8=2o

把上面的思路組合在一起，得到下面的算式：

88884-8+888-88+8-84-8-84-8=1986

例5三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是120,求這三個(gè)數(shù)。(適于四年級(jí)程度)

解：假設(shè)這三個(gè)數(shù)是2、3、4,則：

2X3X4=24

24<120,這三個(gè)數(shù)不是2、3、4；

假設(shè)這三個(gè)數(shù)是3、4、5,則：

3X4X5=60

60<120,這三個(gè)數(shù)不是3、4、5；

假設(shè)這三個(gè)數(shù)是4、5、6,貝心

4X5X6=120

4、5、6的積正好是120,這三個(gè)數(shù)是4、5、6。例6在下面式子里的適當(dāng)

位置上加上括號(hào)，使它們的得數(shù)分別是47、75、23、35O(適于四年級(jí)程度)

(1)7X9+124-3-2=47

(2)7X9+124-3-2=75

(3)7X9+124-3-2=23

(4)7X9+124-3-2=35

解：本題按原式的計(jì)算順序是先做第二級(jí)運(yùn)算，再做第一級(jí)運(yùn)算，即先做乘

除法而后做加減法，結(jié)果是：

14

7X9+124-3-2

=63+4-2

=65

“加上括號(hào)”的目的在于改變原來的計(jì)算順序。由于此題加中括號(hào)還是加小

括號(hào)均未限制，因此解本題的關(guān)鍵在于加寫括號(hào)的位置?？梢詮募訉懸粋€(gè)小括號(hào)

想起，然后再考慮加寫中括號(hào)。如：

(1)7X7=49,再減2就是47。這里的第一個(gè)數(shù)7是原算式中的7,要減去

的2是原算式等號(hào)前的數(shù)，所以下面應(yīng)考慮能否把9+12+3通過加括號(hào)后改成得

7的算式。經(jīng)過加括號(hào)，(9+12)4-3=7,因此：

7X[(9+12)4-3]-2=47

因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的商，可以用這個(gè)數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以本

題也可以寫成：

7X(9+12)4-3-2=47

(2)7X11=77,再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，要減去

的2是等號(hào)前面的數(shù)。下面要看9+12+3能不能改寫成得11的算式。經(jīng)嘗試

9+12+3不能改寫成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。7X9+12得

75,這里的7、9、12就是原式中的前三個(gè)數(shù)，所以只要把3-2用小括號(hào)括起來，

使7X9+12之和除以1,問題就可解決。由此得到：

(7X9+12)-T-(3-2)=75

因?yàn)?3-2)的差是1,所以根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，可以先把兩個(gè)

加數(shù)分別除以這個(gè)數(shù)，然后把兩個(gè)商相加”這一運(yùn)算規(guī)則，上面的算式又可以寫

成：

7X9+124-(3-2)=75

在上面的這個(gè)算式中，本應(yīng)在7X9的后面寫上“土(3-2)”，因?yàn)槿魏螖?shù)

除以1等于這個(gè)數(shù)本身,為了適應(yīng)題目的要求，不在7X9的后寫出“《(3-2)”。

(3)25-2=23,這個(gè)算式中，只有2是原算式等號(hào)前的數(shù)，只要把7X9+12+3

改寫成得25的算式，問題就可解決。又因?yàn)?X9+12=75,75+3=25,所以只要

把7X9+12用小括號(hào)括起來，就得到題中所求了。

(7X9+12)4-3-2=23

15

（4）7X5=35,7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，原算式中的9+12+3-2能否改

寫成得5的算式呢？因?yàn)?-2=5,要是9+12+3能改寫成得7的算式就好了。經(jīng)

改寫為（9+12）4-3=7,因此問題得到解決。題中要求的算式是：

7X[（9+12）4-3-2]=35

*例7王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪20只

羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均

每天剪14只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛？（適于四年級(jí)程度）

解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計(jì)算，一共剪的天

數(shù)是：

1124-14=8（天）

因?yàn)橥趺髅刻旒?0只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來共

剪了8天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。則：

12X5+20X（8-5）=120（只）

120>112,李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。

假定李平剪了6天，則：

12X6+20X（8-6）=112（只）

所以按李平剪6天計(jì)算，正滿足題中條件。

答：李平剪了6天。

*例8一名學(xué)生讀一本書，用一天讀80頁的速度，需要5天讀完，用一天

讀90頁的速度，需要4天讀完。現(xiàn)在要使每天讀的頁數(shù)跟能讀完這本書的天數(shù)

相等，每天應(yīng)該讀多少頁？（適于五年級(jí)程度）

解：解這道題的關(guān)鍵是要求出一本書的總頁數(shù)。因?yàn)槊刻熳x的頁數(shù)乘以讀的

天數(shù)等于一本書的總頁數(shù)，又因?yàn)槊刻熳x的頁數(shù)與讀完此書的天數(shù)相等，所以知

道了總頁數(shù)就可以解題了。

根據(jù)“用一天讀80頁的速度，需要5天讀完”，是否能夠認(rèn)為總頁數(shù)就是

80X5=400（頁）呢？不能。

因?yàn)?天不一定每天都讀80頁，所以只能理解為：每天讀80頁，讀了4

天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說，這本書超過了80X4=320（頁），

最多不會(huì)超過：

90X4=360（頁）

16

根據(jù)以上分析，可知這本書的頁數(shù)在321?360頁之間。知道總頁數(shù)在這個(gè)

范圍之內(nèi)，往下就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在321?360之間。

因?yàn)?7X17=289,18X18=324,19X19=361,324在321?360之間，所以

只有每天讀18頁才符合題意，18天看完，全書324頁。

答：每天應(yīng)該讀18頁。

*例9一個(gè)數(shù)是5個(gè)2,3個(gè)3,2個(gè)5,1個(gè)7的連乘積。這個(gè)數(shù)有許多約

數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？（適于六年級(jí)程度）

解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為：

99、98、97、96........11,10

以上兩位數(shù)分解后，它的質(zhì)因數(shù)只能是2、3、5、7,并且在它的質(zhì)因數(shù)分

解中2的個(gè)數(shù)不超過5,3的個(gè)數(shù)不超過3,5的個(gè)數(shù)不超過2,7的個(gè)數(shù)不超過

lo

經(jīng)嘗試，99不符合要求，因?yàn)樗匈|(zhì)因數(shù)11；98的分解式中有兩個(gè)7,也

不符合要求；質(zhì)數(shù)97當(dāng)然更不會(huì)符合要求。而，

96=2X2X2X2X2X3

所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。

答略。

*例10從一個(gè)油罐里要稱出6千克油來，但現(xiàn)在只有兩個(gè)桶，一個(gè)能容4

千克，另一個(gè)能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油？（適于六年級(jí)程度）

解：這道題單靠計(jì)算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問題解決。

已知大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再

設(shè)法倒出9千克油中的3千克，為達(dá)到這一目的，我們應(yīng)使小桶中正好有1千克

油。

怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？

（1）把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。

（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里

有4千克油。

（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。

17

（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩下1千克油。

（5）把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時(shí)油罐外，只有大桶里有1千

克油。

（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。

（7）往大桶倒?jié)M油。

（8）從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒?jié)M。

（9）大桶里剩下6千克油。

第三講列舉法

解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列

舉出來加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的。這種分析、解決問題的

方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。

用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時(shí)也要

畫圖。

例1一本書共io。頁，在排頁碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？（適于三

年級(jí)程度）

解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來，數(shù)一數(shù)。

個(gè)位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共10個(gè)。

十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共10個(gè)。

10+10=20（個(gè)）

答：在排頁碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。

*例2從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到

C市有幾種走法？（適于三年級(jí)程度）

解：作圖3T,然后把每一種走法一一列舉出來。

圖3-1

18

第一種走法：A①B④C

第二種走法：A①B⑤C

第三種走法：A②B④C

第四種走法：A②B⑤C

第五種走法：A③B④C

第六種走法：A③B⑤C

答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。*例3901307=100

140205=0

把+、-、X、?四種運(yùn)算符號(hào)分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中（每種運(yùn)算符號(hào)只能用

一次），并在長方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個(gè)等式都成立。這時(shí)長方形

中的數(shù)是幾？（適于四年級(jí)程度）

解：把+、-、X、+四種運(yùn)算符號(hào)填在四個(gè)圓圈里，有許多不同的填法，要

是逐一討論怎樣填會(huì)特別麻煩。如果用些簡單的推理，排除不可能的填法，就能

使問題得到簡捷的解答。

先看第一個(gè)式子：901307=100

如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)填上號(hào)，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分?jǐn)?shù)；如果

在兩個(gè)圓圈內(nèi)僅填“+”、“-”號(hào)，等式右端得出的數(shù)也小于100,所以在兩個(gè)

圓圈內(nèi)不能同時(shí)填“土”號(hào)，也不能同時(shí)填“+”、“-”號(hào)。

要是在等式的一個(gè)圓圈中填入“義”號(hào)，另一個(gè)圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆?hào)就容

易使等式右端得出100o9X13-7=117-7=110,未湊出100o如果在兩個(gè)圈中分別

填入“+”和“X”號(hào)，就會(huì)湊出100To

9+13X7=100

再看第二個(gè)式子：140205=0

上面已經(jīng)用過四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的兩個(gè)，只剩下“土”號(hào)和“-”號(hào)了。如果

在第一個(gè)圓圈內(nèi)填上“一”號(hào)，14+2得到整數(shù)，所以：

144-2-5=2

即長方形中的數(shù)是2。

19

*例4印刷工人在排印一本書的頁碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書有多

少頁？（適于四年級(jí)程度）

解：（1）數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、2……8、900不能用于表示頁碼，所

以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個(gè)。

（2）頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因?yàn)?9-9=90,所以，頁碼是

兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：

2X90=180（個(gè)）

（3）還剩下的數(shù)碼：

1890-9-180=1701（個(gè)）

（4）因?yàn)轫摯a是三位數(shù)的頁，每頁用3個(gè)數(shù)碼，100頁到999頁,999-99=900,

而剩下的1701個(gè)數(shù)碼除以3時(shí)，商不足600,即商小于900。所以頁碼最高是3

位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個(gè)數(shù)碼可以排多少頁。

17014-3=567（頁）

（5）這本書的頁數(shù)：

9+90+567=666（頁）

答略。

*例5用一根80厘米長的鐵絲圍成一個(gè)長方形，長和寬都要是5的倍數(shù)。

哪一種方法圍成的長方形面積最大？（適于四年級(jí)程度）

解:要知道哪種方法所圍成的面積最大,應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來,

然后加以比較。因?yàn)殚L方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表

3-1：

表3-1

1234

長35302520

見5101520

表3T中，長、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因?yàn)轭}目要求的是哪一種圍法的長

方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去。

前三種圍法的長方形面積

20

分別是：

35X5=175（平方厘米）

30X10=300（平方厘米）

25X15=375（平方厘米）

答：當(dāng)長方形的長是25厘米，寬是15厘米時(shí)，長方形的面積最大。

例6如圖3-2,有三張卡片，每一張上寫有一個(gè)數(shù)字1、2、3,從中抽出一

張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位

數(shù)。請將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來。（適于五年級(jí)程度）

nnnnM

圖3-2

解：任意抽一張，可得到三個(gè)一位數(shù)：1、2、3,其中2和3是質(zhì)數(shù)；

任意抽兩張排列，一共可得到六個(gè)不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32,

其中13、23和31是質(zhì)數(shù)；

三張卡片可排列成六個(gè)不同的三位數(shù)，但每個(gè)三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6,

即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。

綜上所說，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、3、13、23、31,共五個(gè)。

*例7在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個(gè)糧站。一號(hào)糧站存有10

噸糧食，2號(hào)糧站存有20噸糧食，3號(hào)糧站存有30噸糧食，4號(hào)糧站是空的，5

號(hào)糧站存有40噸糧食?，F(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個(gè)糧站里，如果每噸1千

米的運(yùn)費(fèi)是0.5元，那么糧食集中到第幾號(hào)糧站所用的運(yùn)費(fèi)最少（圖3-3）?（適

于五年級(jí)程度）

-CU—E—E—EMI]—

10噸20噸30噸40噸

圖3-3

解：看圖3-3,可以斷定糧食不能集中在1號(hào)和2號(hào)糧站。

下面將運(yùn)到3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)糧站時(shí)所用的運(yùn)費(fèi)一一列舉，并比較。

（1）如果運(yùn)到3號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：

0.5X10X（10+10）+0.5X20X10+0.5X40X（10+10）

21

=100+100+400

=600（元）

（2）如果運(yùn)到4號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：

0.5X10X（10+10+10）+0.5X20X（10+10）+0.5X30X10+0.5X40X10

=150+200+150+200

=700（元）

（3）如果運(yùn)到5號(hào)糧站，所用費(fèi)用是：

0.5X10X（10+10+10+10）+0.5X20X（10+10+10）+0.5X30X（10+10）

=200+300+300

=800（元）

800>700>600

答：集中到第三號(hào)糧站所用運(yùn)費(fèi)最少。

*例8小明有10個(gè)1分硬幣，5個(gè)2分硬幣，2個(gè)5分硬幣。要拿出1角錢

買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達(dá)出來。（適于五年級(jí)程度）

解：（1）只拿出一種硬幣的方法：

①全拿1分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）

②全拿2分的：

2+2+2+2+2=1（角）

③全拿5分的：

5+5=1（角）

只拿出一種硬幣，有3種方法。

（2）只拿兩種硬幣的方法：

①拿8枚1分的，1枚2分的:

22

1+1+1+1+14-1+1+1+2=1（角）

②拿6枚1分的，2枚2分的：

1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）

③拿4枚1分的，3枚2分的：

1+1+14-1+2+2+2=1（角）

④拿2枚1分的，4枚2分的：

1+1+2+2+2+2=1（角）

⑤拿5枚1分的，1枚5分的：

1+1+1+1+1+5=1（角）

只拿出兩種硬幣，有5種方法。

（3）拿三種硬幣的方法：

①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：

1+1+1+2+5=1（角）

②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：

1+2+2+5=1（角）

拿出三種硬幣，有2種方法。

共有：

3+5+2=10（種）

答：共有10種拿法。

*例9甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。

到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強(qiáng)賽了

幾盤？（適于五年級(jí)程度）

解：作表3-2。

表3-2

23

甲乙丙T強(qiáng)

甲\

乙\

TOO\

強(qiáng)OO\

甲已經(jīng)賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)各賽了一盤，在甲與乙、丙、

丁、小強(qiáng)相交的那些格里都打上J；乙賽的盤數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤，又

與丙和小強(qiáng)各賽一盤，在乙與丙、小強(qiáng)相交的那兩個(gè)格中都打上J；丙賽了兩盤，

就是丙與甲、乙各賽一盤，打上丁與甲賽的那一盤也打上

丁未與乙、丙、小強(qiáng)賽過，在丁與乙、丙與小強(qiáng)相交的格中都畫上圈。

根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強(qiáng)與甲、乙各賽一盤，未

與丙、丁賽，共賽2盤。

答：小強(qiáng)賽了2盤。

*例10商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千

克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種

發(fā)貨方式？（適于五年級(jí)程度）

解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。

表3-3

箱重5千克2千克1千克方法

1201

所

1122

取

的1043

箱0174

數(shù)0255

0336

0417

答：不開箱有7種發(fā)貨方式。

*例11運(yùn)輸隊(duì)有30輛汽車，按1?30的編號(hào)順序橫排停在院子里。第一次

陸續(xù)開走的全部是單號(hào)車，以后幾次都由余下的第一輛車開始隔一輛開走一輛。

到第幾次時(shí)汽車全部開走？最后開走的是第幾號(hào)車？（適于五年級(jí)程度）

24

解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。

表3-4

汽車編號(hào)1、2、3、...29s30

第一次開走2、4、6、8、10s12s14s16、18、20、22、24、26、28、30

后剩下的

第二次開走4、8s12、16、20、24、28

后剩下的

第三次開走8s16s24

后剩下的

第四次開走16

后剩下的

從表3-4中看得出，第三次開走后剩下的是第8號(hào)、16號(hào)、24號(hào)車。按題

意，第四次8號(hào)、24號(hào)車開走。到第五次時(shí)汽車全部開走，最后開走的是第16

號(hào)車。

答：到第五次時(shí)汽車全部開走，最后開走的是第16號(hào)車。

*例12在甲、乙兩個(gè)倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每

次運(yùn)出12袋，乙倉每次運(yùn)出4袋。運(yùn)出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數(shù)相等？

（適于五年級(jí)程度）

解：根據(jù)