小學(xué)奧數(shù)幾何模塊-蝴蝶模型

成）？）模塊一任意四邊形的蝴癮癡

知識剖析?_______________N

任意的一個四邊形，連接對角線之后會得到四個三角形，這四個三角形的面積存在確

定的關(guān)系，如圖，對頂?shù)娜切蚊娣e乘積相等：

S,x53=S2x54

上述結(jié)論可以幫助我們“知三求一”，已知三個三角形的面積，第四個一定可以求出來。

--------------------------------------------------------------------------------------------總，

例1

-1-----

S.ODS4ODS.S.

如圖，因?yàn)椤?7/，^=—'所以U=U，可得到5d邑=52、5；根據(jù)此結(jié)論，試

3°Cz￡jJ3Cz/5J,J3

回答下列問題：

"）若黑=1，黑=$=12，則$2=-------；S3=-------；$4=--------

（2）若B=10,52=20,53=40,則S4=.

D

BC

的練一練

如圖，某公園的外輪廓是四邊形A8C。，被對角線AC、8。分成四個部分，△498面積為

1平方千米，aBOC面積為2平方千米，△CO。的面積為3平方千米，公園由人工湖和面

積是6.92平方千米的陸地組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

模塊二梯形蝴蝶模型

連接梯形對角線構(gòu)成梯形蝴蝶模型，可以看出梯形蝴蝶模型是任意四邊形蝴蝶模型的

一種特殊情況，這種特殊性使得上面圖形具有更多的特點(diǎn)，如下：

①S,xS3=S2xS4

②s2=s4

梯形22

③SX:S2:S3:S4:5=cr:ab:b:ab:(a+b)

梯形蝴蝶模型的關(guān)鍵是求出上底和下底的比，也就是得到mb,一旦知道上底和下底

的比，那么梯形中四個三角形的面積之間比的關(guān)系就確定了。

*--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------幺)

4、史

如圖，梯形ABC。中，AO平行于8C,對角線AC、BO相交于點(diǎn)0,4個小三角形的面積

分別是，、邑、邑、S&；

(1)這4個小三角形中有沒有面積相等的兩個？是哪兩個？為什么他們的面積相等？

(2)若S?=2,5,=4,那么梯形4BCD的面積是多少？

“練一練

4

如圖，三角形4。。的面積為2,三角形BOC的面積為8,求梯形A8C。的面積是多少？

如圖，梯形ABC。中，A。平行于8C,對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，4個小三角形的面積

分別是岳、邑、項(xiàng)、54；

AD

Si

S

%4

BC

(1)已知：SI=4,S?=9,則S?=,S4=.

(2)己知：DO:BO=2:5,S?=25,貝US&=,S,=

(3)已知：AD:BC=2;5,則H：昆：S3：S44MM此。=.

(4)已知：AD=5,8c=12,S,=100,則S?=,S4=

(5)已知：S梯晞垢。=240,AD:BC=1:3,貝UR=,S3=一

的練一練

如圖，梯形ABCZ）中，A。平行于BC,對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，4個小三角形的面積

分別是$、52,S?、S」；

(1)已知：$=4,$3=9,則S?=，S&=

（2）已知：5^80=240,AD:BC=3:5,貝"S?=

或）？）模塊三梯形蝴蝶模型綜合I

例4

如圖，面積為12平方厘米的正方形A8CC中，E、尸是BC邊上的三等分點(diǎn)，求出陰影部

分的面積.

練一練

如圖,正方形ABCD面積為24平方厘米，M是C。邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面

積.

如圖所示，BD、CF將長方形ABC。分成4塊，三角形。燈的面積是4平方厘米，三角形

CED的面積是6平方厘米，問四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？

/練一練

如圖，四邊形被分成4塊，其中三角形C。。和三角形CE。的面積分別為8和4,那么陰

影部分面積為多少？

BEC

」\例6

如圖，長方形ABC。被CE、分成四塊，已知其中三塊的面積分別為2、5、8平方厘

米，那么余下四邊形OFDC的面積為多少平方厘米？

副練一練

b―

如圖，平行四邊形4BC。中，點(diǎn)E、尸分別是和BC邊中點(diǎn)，其中兩個三角形面積分別

為3和27,那么四邊形ABHE的面積是多少平方厘米？

C隨堂練習(xí)

-----?

練習(xí)1.如圖，四邊形ABC。中，AC與BD相交于點(diǎn)0,圖形中出現(xiàn)了4個小三角形；其中

有3個小三角形的面積被標(biāo)注出來了，請求出第4個小三角形的面積.

練習(xí)2.如圖，梯形ABC。中，平行于BC,對角線AC、8力相交于點(diǎn)0；已知三角形40。

與三角形OOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是

多少平方厘米?

B

練習(xí)3.梯形A3CC的下底和上底的長度之比是2:3,三角形30c的面積是9cm2,問三角形

的面積是多少？

練習(xí)4.如圖，在正方形ABC。中，E是8c的三等分點(diǎn)，AE與80相交于點(diǎn)F,是1

平方厘米.正方形A8C。的面積是多少平方厘米？

練習(xí)5.如圖所示，BD、C尸將長方形4BCD分成4塊，三角形力E尸的面積是5平方厘米,

三角形CED的面積是10平方厘米，問：四邊形ABE尸的面積是多少平方厘米？

G思維提升

提升1.如圖，長方形A8CD中，三角形AOB的面積為54,0。的長是I8,。8的長是9.那

么四邊形0ECD的面積是多少？

提升2.如圖，梯形48(?。的上底8=2厘米，面積是36平方厘米，高為12厘米，三角形

A0B的面積為16平方厘米，求三角形C。。的面積.

提升3.如圖，四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中

兩個三角形的面積分別是6公頃和7公頃.求4個三角形中最大一個的面積.

極限挑戰(zhàn)

挑戰(zhàn)1.右圖中，AB8和CGEF是兩個正方形