2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性課后習(xí)題第一章1-3　空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,點(diǎn)A(1,2,0)和向量a=(3,4,12),且AB=2a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(7,10,24) B.(7,10,24)C.(6,8,24) D.(5,6,24)2.(多選題)下列各組兩個(gè)向量中,平行的有()A.a=(1,2,3),b=(1,2,1)B.a=(0,3,3),b=(0,1,1)C.a=(0,3,2),b=0,1,32D.a=1,12,3,b=(2,1,6)3.已知點(diǎn)A(2,5,1),B(2,2,4),C(1,4,1),則向量AB與AC的夾角為(A.30° B.45° C.60° D.90°4.若向量a=(1,1,2),b=(2,1,3),則|a+b|=()A.7 B.22 C.3 D.105.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=2,則實(shí)數(shù)x=.

7.已知向量a=(x,4,1),b=(2,y,1),c=(3,2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c與b+c所成角的余弦值.8.如圖所示,在正四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,O是AC與BD的交點(diǎn),PO=1,M是PC的中點(diǎn).設(shè)AB=a,AD=b,AP=c.(1)用向量a,b,c表示BM;(2)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,求BM的坐標(biāo).B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.已知空間向量OA=(x,y,8),OB=(z,3,4),OA∥OB,且|AB|=52,則實(shí)數(shù)z的值為(A.5 B.5C.5或5 D.10或1010.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),則QA·QB取得最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(A.12,3B.34,C.43,4D.43,11.(多選題)從點(diǎn)P(1,2,3)出發(fā),沿著向量v=(4,1,8)方向取點(diǎn)Q,使|PQ|=18,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1,2,3) B.(9,4,13)C.(7,0,19) D.(1,2,3)12.(多選題)正方體A1B1C1D1ABCD的棱長(zhǎng)為2,M為B1C1的中點(diǎn),則下列說法正確的是()A.AB1與BC1成60°角B.若CN=13NC1,面A1MN交CDC.點(diǎn)P在正方形ABB1A1邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且MP⊥DB1,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)等于2D.E,F分別在棱DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,直線EF與AD1,A1D所成角分別是13.已知點(diǎn)M(1,2,3),N(2,3,4),P(1,2,3),若|PQ|=3|MN|,且PQ∥MN,則MN的坐標(biāo)為,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為14.如圖,將邊長(zhǎng)為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,AC的長(zhǎng)為2π3,A1B1的長(zhǎng)為π3,其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).則異面直線B115.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以AB和AC為鄰邊的平行四邊形的面積;(2)若|a|=3,且a分別與AB,AC垂直,求向量aC級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.(2021山東煙臺(tái)檢測(cè))如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng),則直線D1E與A1D所成角的大小是,若D1E⊥EC,則AE=.

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.D∵a=(3,4,12),且AB=2a,∴AB=(6,8,24).∵A(1,2,0),∴B(5,6,24),故選D.2.BD對(duì)于B,有a=3b,故a∥b;對(duì)于D,有b=2a,故a∥b;而對(duì)A,C中兩向量,不存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb,故不平行.3.C由已知得AB=(0,3,3),AC=(1,1,0),因此cos<AB,AC>=所以向量AB與AC的夾角為604.D∵a=(1,1,2),b=(2,1,3),∴a+b=(3,0,1),∴|a+b|=32+025.D設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M12,1,12,N0,12,1∴MN=12,12,0,CC1AC=(1,1,0),BD=(1,1,0),A1B1MN·CC1=0,∴MN⊥CC1,故A正確;MN·AC=12-12=0,∴MN⊥AC,故B正確;易知∴MN∥BD,故C正確;設(shè)MN=λA1B1,得-12=0×λ,-12=λ,故選D.6.8由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=2,解得x=8.7.解(1)因?yàn)閍∥b,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=4,這時(shí)a又因?yàn)閎⊥c,所以b·c=0,即6+8z=0,解得z=2,所以c=(3,2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,6,1),所以a+c與b+c所成角θ的余弦值cosθ=5-12+3388.解(1)∵BM=∴BM=AD+12(AP-AC)=AD+12AP(2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0).∵A(0,0,0),O12,12,0,P12,∴c=AP=OP-OA=1∴BM=12a+12b+12c=12×(1,0,0)+12×(0,1,0)+12×12,9.C因?yàn)镺A∥OB,所以存在λ∈R,使得OA=λ又|AB|=52,而AB=OB-OA=(zx則x解得x=10,y10.C點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),設(shè)OQ=λOP=(λ,λ,2λ)(λ∈R),則QA=OA-OQ=(1λ,2λ,32λ),QB=OB-OQ=∴QA·QB=6λ43223,當(dāng)λ=43時(shí),QA·QB取得最小值,此時(shí),Q4311.BC設(shè)Q(x0,y0,z0),則PQ=λv,即(x01,y02,z03)=λ(4,1,8).由|PQ|=18,得(-4λ所以λ=±2,所以(x01,y02,z03)=±2(4,1,8),所以x0=-12.ACD如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).對(duì)于A,AB1=(0,2,2),BC1cos<AB1,∴AB1與BC1成60°角,故A正確;對(duì)于B,∵CN=∴N0,2,32,設(shè)E(0,m,2),則A1M=(1,2,0),A1N=2,2,32,A1E=(2,m,2),由已知得A1,M,N,E四點(diǎn)共面,∴?λ,μ∈R,使得A1M=得-解得λ∴E0,43,2,∴CE=0,23,0,|CE|=23,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,設(shè)P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),則MP=(1,y2,z),DB1=由MP·DB1=2+2y42z=0,∴點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為線段yz=1(1≤y≤2)的長(zhǎng)度,為2,故C正確;對(duì)于D,∵E,F分別在DB1,A1C1上,且DEEB∴DE=23DB1=23×(2,2,2)=43,43,4則E43,43,23,F23,43,0,則EF=23,0,23,則cos=-43-43(故α=0,cosβ=|cos<EF,=-43+4故β=π2,即α+β=π2,故D正確.故選13.(1,1,1)(4,1,6)或(2,5,0)由已知得MN=(1,1,1),設(shè)Q(x,y,z),則PQ=(x+1,y2,z+3),由題意,得(解得x故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,1,6)或(2,5,0).14.π4以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OO1所在直線分別為y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz則A(0,1,0),A1(0,1,1),B132,12,1,C32,12所以AA1=(0,0,1),B1C則AA1·B1C=02+0×(1)+所以cos<AA1,B1因此,異面直線B1C與AA1所成的角為π415.解(1)由題中條件可知,AB=(2,1,3),AC=(1,3,2),所以cos<AB,AC>=于是sin<AB,AC故以AB和AC為鄰邊的平行四邊形的面積為S=|AB||AC|sin<AB,AC>=14×32=(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x解得x故a=(1,1,1)或a=(1,1,1).16.90°1在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,以D為原點(diǎn),建立如圖所示