與前面的計算結果很接近

與前面的計算結果很接近說明底部剪力法的計算結果是可靠的。

3—6結構自振周期和振型的計算做一個建筑物的抗震設計，首先要求這個結構的自振周期，如果采用振型分解反應譜法，還要用到振型。如何求得結構的自振周期和振型。手算方法（近似計算）計算機算法（較精確算法）基本周期多個周期及振型一、能量法(Rayleighmethod)

1理論基礎：能量守恒原理

無阻尼自由振動時

動能+變形位能不變(常量)

結構以某頻率（相應振型）振動時位移其中

為相應頻率

的振型速度則

體系變形位能達到最大值體系的動能達到最大值（變形位能為零）（動能為零）2能量守恒可求得

j、j

是哪一個自振頻率，看振型。振型是未知的。實用算法，假定振型。將質點的重量水平作用在質點上，求出相應的變形根據此振型可求得自振頻率3由于體系最大變形位能體系最大動能4例求兩層框架的基本周期（能量法）如圖，G1=400KNG2=300KNK1=14280KN/mK2=10720KN/m

（1）求層間剪力（G1、G2作用下）

首層剪力

二層剪力

（2）計算層位移

（3）計算基本周期G1K2G2K15例如圖為三層框架結構，假定其橫梁剛度無窮大。各層質量分別為m1=2561t,m2=2545t,m3=559t.各層剛度分別為k1=5.43×105KN/m,k2=9.03×105KN/m,k3=8.23×105KN/m。用能量法求基本周期和振型解（1）求重力荷載水平作用下的位移層間剪力各層位移k1k2k36（2）結構基本頻率及振型為提高精度，可進一步迭代。各質點的慣性力各層位移7二、折算質量法

也是一種近似方法，也只是求基本頻率

體系以第一頻率（振型）振動時

動能最大值

原體系

等效體系Meqmi兩者相等8

則基頻

單位力水平作用下頂點位移

頂點作用單位力時各質點的水平位移。F=1xi等效質量法頻率相等，得9對于多個質量，有于是，有即Dunkeley公式?？梢宰C明，得出的結果小于真實頻率。10例用折算質量法求自振周期（基本周期）在頂部施加單位力，得能量法（瑞雷法）0.508s非常接近。11折算質量法還適用于連續(xù)體系將一個均勻分布的質量換算成一個集中質量來求其自振周期，0.25為換算系數(shù)。三、頂點位移法

也是最常用的經驗方法之一（手算法），將重力荷載水平方向作用，求出頂點位移就可以近似地估算出結構的自振周期。12彎曲變形剪切變形彎剪變形將重力荷載水平作用在結構上，頂點位移四、矩陣迭代法

也是一種手算方法，可求頻率和振型，Stodola法方程的左邊有，右邊有

13

假定一個振型（標準化的振型）求出標準化

可求得結構的第一振型共有n個方程，任意拿出一個方程都可求得第一頻率。也可求出振型及，但求得的是最高頻率和振型。另外14

求出基頻及振型后，還可求出高階頻率（利用振型的正交性）。以一個例子來說明求自振頻率和振型（1）求柔度矩陣及質量矩陣15（2）求第一振型假定

將

作為標準化的標準16（2）求第二振型展開17假定18

(3)求第三振型利用振型的正交性，有19五、雅可比法（Jacobi）計算機方法求實對稱矩陣的特征值和特征向量的有效方法實數(shù)對稱不能保證將令于是，令則20實數(shù)對稱矩陣

雅可比法的原理：

已知實對稱，構造一個正交矩陣正交矩陣，[s]的第j列就是第j個特征值對應的特征向量對角矩陣關鍵問題是找到正交矩陣[s]21構造一個正交矩陣P列q列P行q行中求全部特征值和特征向量22高層規(guī)范規(guī)定：8、9度大跨結構，長懸臂結構、煙囪和高聳結構9度高層建筑考慮豎向地震作用如何考慮，抗震規(guī)范根據不同的結構類型采用不同的計算方法1、高層與高聳結構采用反應譜法結構總的豎向地震作用標準值i豎向地震影響系數(shù)的最大值取水平地震影響系數(shù)最大值的65%結構等效重力荷載，取總重力荷載代表值的75%。23質量和剛度分布不對稱，此時，抗震規(guī)范規(guī)定應考慮水平地震作用產生的扭轉影響。

仍然是三個步驟：（1）自由振動分析求出自振頻率和振型此時平移和扭轉耦聯(lián)。（2）計算各振型地震作用標準值，地震作用效應（3）各振型地震作用效應的組合一、平移——扭轉耦聯(lián)體系的自由振動

基本假定（1）樓板在其自身平面內絕對剛性，平面外剛度很小，忽略不計（2）各榀抗側力結構（框架或剪力墻等）在其自身平面內有剛度，平面外剛度忽略不計（3）所有構件都不考慮自身的抗扭作用（4）在計算中，將質量都集中到各層的樓板處盡量對稱，盡量使剛度、質量分布均勻、對稱。有時需要立面復雜，3—7建筑結構的扭轉地震效應24一、剛心和質心圖示一房屋的平面圖剛度中心抗側力構件還有一個質量中心，如果剛度中心、質量中心不重合，即存在偏心矩25二、單層偏心結構的振動取質量中心為坐標原點，質心在x方向、y方向的位移及繞質心的轉角分別為uxuy和

φ（以逆時針旋轉為正）則x方向第i榀抗側力構件沿x方向位移同理,y方向第j榀抗側力構件沿y方向位移根據達朗貝爾原理,的運動方程:26寫成矩陣形式,得集中于屋蓋的總質量屋蓋繞z軸的轉動慣量屋蓋在x方向的平移剛度屋蓋在y方向的平移剛度屋蓋的抗扭剛度27由于坐標原點在質量中心，于是有則注：φ=1時x方向彈性恢復力的合力。

Rxi=kxiΔxi=kxiφyi=kxixi于是，振動方程為體系的自由振動方程28自振頻率和振型以一簡單情形為例，即只存在y方向偏心,振動方程為oXY令代入到振動方程，得29令將上式展開，得解得得第一振型得第二振型30

結構在平移——扭轉振動中，每個樓層有三個自由度（兩個平移和一個轉角）。坐標原點設在每層樓板的質量中心，由于各層的的質心不在同一直線上，所以坐標軸為一折線（見圖3—28）

自由振動方程

其中為質量矩陣階對角陣三、多層偏心結構的地震作用31剛度矩陣共榀xyj榀其中：方向平移方向平移樓板轉角平行于x軸方向的各榀結構的剛度矩陣之和平行于x軸第j榀結構的剛度矩陣平行于y軸的各榀結構的剛度矩陣之和平行于y軸第i榀結構的剛度矩陣32平行于x軸的第j榀結構的l層的y方向坐標平行于y軸的第j榀結構的l層的x方向的坐標33令

代入自由振動方程，利用前面講過的方法可求得自振周期和振型

平移-扭轉的振型參與系數(shù)

當僅考慮x方向地震時34

當僅考慮y方向地震時

第j振型i層質心在x、y方向的水平相對位移

j振型i層的扭轉角

j層轉動半徑考慮扭轉影響的水平地震作用

于是可求得j振型的地震作用

第i層的地震作用第j振型的水平地震影響系數(shù)，由在反應譜上求得。35

第j振型地震作用效應也就求出來了。三、振型組合

前面講過地震作用效應的組合方法SRSS(thesquarerootofthesumofthesquares)方法

各振型獨立振動，互不相關，且各頻率相差比較大。

事實上，各個振型有一定的耦連，特別是比較接近的頻率，對應的振型之間有一定的耦聯(lián)作用?，F(xiàn)行規(guī)范考慮了這種耦聯(lián)作用，采用如下的組合方法。

CQC(completequadraticcombination)法

j振型、k振型的耦聯(lián)系數(shù),ζj、ζk為j、k振型的阻尼比。

組合一般取9—15個振型36如果阻尼比采用0.05，則當考慮雙向水平地震作用的扭轉效應時，根據強震記錄分析結果，兩個方向的水平地震加速度不相等，大約1：0.85，且不在同一時間發(fā)生。因此，須按平方和開平方的方法確定，即sx、sy分別為x、y方向的水平地震作用效應。取以上兩式中的較大者。對于規(guī)則結構，當不按扭轉計算時，考慮到施工、使用等偶然偏心以及地面運動扭轉分量，規(guī)范規(guī)定：對于平行于地震作用方向的兩個邊榀的地震作用效應短邊乘以增大系數(shù)1.15,長邊乘以增大系數(shù)1.05。37當各振型的自振周期相差較大時，這種組合方法與前面的組合方法給出非常接近的結果。

3—8地基與上部結構相互作用的影響

在確定結構的地震作用時，總是假定地基

是剛性的，事實上地基總是有變形的。

以自由場的地震記錄作為地震輸入，

這樣做并不合理。剛性地基自由地基如果發(fā)生地震結構對場地的地面運動有影響剛性一般地基內力地基的變形對結構的變形反應有影響

38由于結構物的存在，地面的運動發(fā)生了變化，由于地基的非剛性，結構的反應發(fā)生了變化，這就是地基與上部結構的相互作用。

抗震規(guī)范規(guī)定：抗震驗算時，一般可不考慮地基與結構的相互作用，但對于Ⅲ、Ⅳ類場地采用剛性較大的基礎（箱、筏基）的高層建筑時，且設防烈度為8度和9度時，可將剛性假定所得的計算結果予以折減。規(guī)范規(guī)定對于高寬比小于3的結構，各樓層的地震剪力折減系數(shù)按剛性地基假定計算時結構的基本周期計入地基與結構動力相互作用的附加周期，按下表采用39烈度場地類別Ⅲ類Ⅳ類80.080.2090.100.25表3-7高寬比大于3的結構,考慮高振型的影響,頂部的地震力不折減，底部按上式計算，中間層，用內插法確定。40

3—9結構豎向地震作用

震害表明，高烈度區(qū)煙囪出現(xiàn)掉頭破壞，頂部出現(xiàn)環(huán)形裂縫。