西藏昌都市第四高級(jí)中學(xué)2022屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試卷（含解析）

2022年西藏昌都第四高級(jí)中學(xué)高考

數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1,若集合A={H2d+I5<0},—0,2,4},則43=（）

A.{-2,0,2,4}B.{-2,0,2）

C.{0,2}D.{0,2,4）

2.z（l+2i）=3-4i,則目=（）

A.2B.V6C.75D.3

3.2021年某省高考體育百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?2秒與18秒之間，抽取其中100個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果

按如下方式分成六組：第一組［12,13）,第二組［13,14）,?一，第六組［17,18］,得到如下頻率分布直方圖.則

該10（）名考生的成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（保留一位小數(shù)）分別是（）

D.15.215.3

4.已知ae（O,乃），且sin2a=g,則sin（a+（］的值為（）

V6

cD.

TTv3

5.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，樹人中學(xué)舉行“唱紅歌"比賽.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁共4人進(jìn)入決賽，則

甲必須在第一或第二個(gè)出場(chǎng)，且丁不能最后一個(gè)出場(chǎng)的方法有（）

A.6種B.8種C.20種D.24種

已知實(shí)數(shù)匕=則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系正確的是（）

6.a=log23,aC=10g32,

A.a>b>cB.h>a>cC.h>c>aD.a>c>b

22

7.雙曲線E與橢圓C：菅+]=1焦點(diǎn)相同且離心率是橢圓C離心率的G倍，則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()

2222

A.%2_21=1B./-2x2=1c.-二=1D.--—丁=1

37223

8.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知￡=0,4=6，則()

〃？一

A.an=12-HB.a｝(｝=16C.S“=210〃D.S10=50

9.已知函數(shù)/。)=閑11,?-有8$。%(。>0)的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)8(X)的圖象關(guān)于)/軸

6

對(duì)稱，則①的最小值為()

2

AlB.2C.-D.5

3

10.已知函數(shù)y=24的圖象上一點(diǎn)尸，A(LO),5(2,1),則|PA|+|冏的最小值為()

A.2B.V2C.3D.272

11.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)6=1,%>0,前八項(xiàng)和S“滿足S；-S,+S：-S“S,i=0,則數(shù)列｛4｝的

前n項(xiàng)和5,為()

A.2B.2c.2n2-lD.2"-1

12.已知函數(shù)/(x)是定義在(-卜,0)(0，+?)奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，xfr(x)<f(x),則不等式

7(2-#+(%-2)〃5)<0的解集為()

A.(-<x>,—3)u(3,+8)B.(―3,0)D(0,3)

C.(-3,0)o(0,7)D.(^O,-3)0(2,7)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量&=(-4,/n),/?=(1,-2),且則機(jī)=.

14.函數(shù)/(x)=ev+e在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為.

15.二項(xiàng)式(x+下》展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

2y2

16.已知尸為雙曲線E:三=1（。＞0力＞0）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)/向雙曲線￡的一條漸近線引垂線，垂

a-

足為A,且交另一條漸近線于點(diǎn)8,若IOFHEBI,則雙曲線E的離心率是.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且ccos8+bcosC=3?8sB.

（1）求cos3的值；

（2）若c=2,的面積為2及，求邊長(zhǎng)a的值.

18.已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為（—1,0）和（1,0）,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0,61

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）橢圓上是否存在一點(diǎn)P使得?石，「心？若存在求△「百鳥的面積，若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.致敬百年，讀書筑夢(mèng)，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng).并對(duì)某年

級(jí)的100位學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.規(guī)定：成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)，為成績(jī)優(yōu)秀.

成績(jī)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)510152520205

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為此次競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān);

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男10

女35

合計(jì)

（2）某班級(jí)實(shí)行學(xué)分制，為鼓勵(lì)學(xué)生多讀書，推出“讀書抽獎(jiǎng)?lì)~外賺學(xué)分”趣味活動(dòng)方案：規(guī)定成績(jī)達(dá)到

優(yōu)秀的同學(xué)，可抽獎(jiǎng)2次，每次中獎(jiǎng)概率為。（每次抽獎(jiǎng)互不影響，且，的值等于成績(jī)分布表中不低于80

分的人數(shù)頻率），中獎(jiǎng)1次學(xué)分加5分，中獎(jiǎng)2次學(xué)分加10分.若學(xué)生甲成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)，請(qǐng)列出其本

次讀書活動(dòng)額外獲得學(xué)分?jǐn)?shù)X的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.

參考公式：K2'——“("/”)------n^a+b+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[h+d)

附表：

尸(犬"))0.1500.1000.0500.0100005

402.0722.7063.8416.6357879

20.如圖，在四棱錐P—ABCZ)中，底面ABCO是矩形，M是P。的中點(diǎn)，PD工BM,PA=3,4?=4,

AC=5,尸。=3萬(wàn)

(1)證明：F>AJ_平面ABCD；

(2)求點(diǎn)A到平面的距離.

21.已知函數(shù)/(x)=O￥-lnx(aeR).

(1)當(dāng)4=2時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若對(duì)Vxe(O,+s),/(x)>0恒成立，求。的取值范圍.

[A但

X=6H----1

2

22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為《廠(其中t為參數(shù)).現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x

-2

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=6cos6.

(I)寫出直線/普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：

(II)過點(diǎn)M(-1,0)且與直線/平行的直線/i交C于A,8兩點(diǎn)，求|AB|.

23.己知函數(shù)/(x)=|2x—4|+|x+2].

(1)解關(guān)于取的不等式/(x)>10；

(2)求滿足f(x)hx-2|M的實(shí)數(shù)x的取值范圍.

1.B

x|-3<x<a

因?yàn)?={-4,一2,0,2,4},所以AB={-2,0,2).

故選：B

2.C

z(l+2i)=3-4i,

3-4i_(3-4i)(l-2i)_

,*l+2i-(l+2i)(l-2i)-，

忖=J(T)2+(-2)2=y/5?

故選：c.

3.C

100名考生成績(jī)的平均數(shù)

x=12.5x0.10+13.5x0.15+14.5x0.15+15.5x0.30+16.5x0.25+17.5x0.05=15.1,

因?yàn)榍叭M頻率直方圖面積和為0.10+0.15+0.15=0.4,前四組頻率直方圖面積和為

0.10+0.15+0.15+0.30=0.7,

所以中位數(shù)位于第四組內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為。，則(a—15)x0.30=0.1,

解得：QB15.3,

故選：C.

4.D

114

解：由sin2a=-,得2sinacosa=一，則(sina+cosa)2=l+2sinacosa=一,

333

2h

又aw(0,；r),2sinacosa>0,所以sina>0,cosa>0,所以sina+costz>(),則sina+cosa=----，

▽<inJ+叫--n、.兀近「」、近2坦娓

乂sin|oc+--sinacos—?ncosasin—=——(sina+cosa)=——x----=——.

V4；442233

故選：D.

5.B

解：由題意知:

當(dāng)甲第一個(gè)出場(chǎng)時(shí)，不同演講的方法有C；A；=4（種）；

當(dāng)甲第二個(gè)出場(chǎng)時(shí)，不同演講方法有C；A；=4（種）.

所以所求的不同演講方法有4+4=8（種）

故選：B

6.A

Vy=bg?x在定義域上單調(diào)遞增，

a23

Alog23>log2V8=log22=.1

3

2

Vy=iog3》在定義域上單調(diào)遞增,

0=log3l<log32<log33=l,

.：0<c<l,

又8=25=0e（l,|）,

/.a>b>c,

故選：A.

7.C

22

雙曲線E與橢圓C:±+工=1焦點(diǎn)相同，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（？20）,

62

42雙曲線的離心率為島京=五,

橢圓的離心率為1T忑

設(shè)雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為。，虛半軸長(zhǎng)為匕，焦距為2c,則c=2,

—=V2=>a=5/2,:.b=V2>

a

22

...所求雙曲線方程為：工一二=1.

22

故選：C.

8.D

r、S=5〃[+1Od=0\a,=—4

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由題知《s一，，解得4,

<，&=4+5"=6[d=2

所以，a”=T+2（"-l）=2〃-6,S“=〃（4；〃~-=n2-5n,

2

則Go=2x10—6=14,SIO=10-5X10=50.

故選：D.

9.D

/(x)=sina)x—coscox-2sin(ct)x-^),

因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，

6

TTIT7T

所以g(x)=/(x+—)=2sin(d9X+—69——),

663

因?yàn)間。)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以g。)是偶函數(shù)，

TT7T7T

因此有一0——=Ai+—(AeZ)=>a>=6k+5(keZ),

632

因?yàn)?y>0,所以當(dāng)人=0時(shí)，。有最小值，最小值為5,

故選：D

10.c

函數(shù)y=2&轉(zhuǎn)化為丁=以，(y>0),又A(l,0),S(2,l),如圖所示,

A(l,0)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)，過B作8C上準(zhǔn)線m—1,交準(zhǔn)線x=-l于點(diǎn)C,交拋物線y2=4x

于點(diǎn)尸，

此時(shí)由拋物線的定義可得|。4|+歸即=pC+|P@=忸。卜2—(—1)=3,

當(dāng)點(diǎn)p不在此位置時(shí)，由三角形兩邊之和大于第三邊可得|Pq+|P3上忸C|,BP|E4|+|PJ3|>3,

所以|P4|+|PB|的最小值為3.

故選：C.

11.A

由s：-S"+s；T-Si-2ssl=0得2S?=晨-2S?5?_,+s,3+s”-s,-，

即25“=⑸一S“_J2+⑸_5-J,

所以所以

2S.=a；+a,,2sM=W+i+?n+i-

兩式作差，得2a“+]=a“+]+”"+i—（a”+a"）,即"3—""+i=""+，

所以（4+i-4一1）（4M+%）=0，

所以％+i=1或％+a“=0,又%＞0,

故?+「4=1，

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S,,=〃+=〃竽）.

故選：A.

12.D

令g（x）=^^,

X

,「當(dāng)X￡（0,+8）時(shí)，xff[x）＜/（X）,

.?.當(dāng)xw（0,+8）時(shí)，g＜x）=

.?.g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減；

又“X）為（-卜,0）（0，+?）的奇函數(shù)，

g（r）=""=/（x）=/（x）=g（x）,即g（x）為偶函數(shù)，

-x-xX

???g（x）在（f,o）上單調(diào)遞增；

又由不等式T（2-x）+（x-2）〃5）＜0得V（2-x）＜（2-x）/（5）,

＜與1,即g（2-x）＜g⑸,

當(dāng)2-x>0，即尤<2時(shí)，不等式可化為,°一”

2-x

由g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減得2-x>5,解得x<—3,故x<—3；

當(dāng)2—x<0,即x>2時(shí)，不等式可化為'(2—*>/包

即g（2—x）>g（5）=g（—5）,

由g(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞增得2-心＞-5,解得了＜7,故2＜x＜7；

綜上所述，不等式T(2-x)+(x-2)/(5)＜0的解集為：(3,-3)以2,7).

故選：D.

13.-7

,向量方=(-4,m),6=(1,—2),且(4-2山」,

(a—2Z?)2-a-b-2b2=(-4-2租)-2x5=0,

則m=-7,

故答案為：-7.

14.y=ex+e

???/(x)=e'+e,/(l)=2e,/,(x)=ev,左=/?'⑴=e,

.?.切線的方程為：y-2e=e(x-l),即丁=叱+6,

故答案為：y=ex+e.

15.15

展開式的通項(xiàng)為卻=C"6-(9)=晨1號(hào)，

3

令6——廠=0得r=4，

2

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為C：=15,

故答案為：15

v~b

解：雙曲線E:4-與=1的漸近線方程為y=±-x,

若IOR1=1KBI,可得在直角三角形。鉆中,

由AAOF=NBOF=ZABO=30°，

可得2=tan30=>

a3

?￡=W=1+4=1+L9

礦a2a233

2G

故答案為：2回

3

17.(1)cosB=-；(2)a=3.

3

（1）在乙ABC中，由正弦定理三=々7=$，設(shè)二=4，

smAsinBsinCsinA

則。=公由4,b=ksinB,c=ZsinC,

代入ccosB+6cosC=3<7cosB,

可得Z(sinCcosB+sinBcosC)=3ksinAcosB,

所以sin(C+B)=3sinAcosB,sin(C+8)=sinA,

化簡(jiǎn)得sinA=3sinAcos3,

因?yàn)锳5￡(0,%),sinA>0,sinB>0,

所以cos8=1

3

(2)由(1)可知，sinB>0,sinB=Vl-cos2B=

3

又S^BCMgacsinB，

所以,分2?逑=2應(yīng)，解得a=3.

23

22

18.(1)—+^-=1

43

（2）橢圓上不存在點(diǎn)尸，使得P石，「工，理由見解析

【小問1詳解】

橢圓的兩焦點(diǎn)分別為（一1。）和（1,0）,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為（0,百卜

c=l,b=“，

a=y/b2+c2=2，

22

.:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^-=1:

43

【小問2詳解】

假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)。（與，y0）,使得

則P/PK=(-1—知一%)?一%一%)=0,

即X；+y；=1,

￡+y：=1

聯(lián)立yl,得：*=-8,此方程無解.

---1---——I

143

?:橢圓上不存在點(diǎn)P,使得「耳工Pg.

19.（1）列聯(lián)表見解析，沒有90%的把握認(rèn)為此次競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān)

（2）分布列見解析，期望值為2.5分

【小問1詳解】

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男104050

女153550

合計(jì)2575100

假設(shè)玲：此次競(jìng)賽成績(jī)與性別無關(guān).

2_100(10*35-40x15)2

4

=—<2.706,

'25x75x50x503

所以沒有90%的把握認(rèn)為此次競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān);

【小問2詳解】

251

P------——,

1004

p(x=o)y-=—

⑷16

k133

P(X=5)=C'---=一,

2448

Z1\2]

P[X=10)=C^\-=一，

-⑷16

X的分布列為:

311

期望值E(X)=5x-+10x—=-=2.5(分)

8162

20.(1)證明見解析

⑵逑

2

【小問1詳解】

證明：在矩形A8C0中，A8=4，AC=5,可得8C=AD=3,

所以？42+402=尸02,即R4J_A￡)，

連接5。，

又點(diǎn)M是的中點(diǎn)，PDA.BM，可得PB=BD=5,

所以=依2，即

又A3cAD=A，所以B4_L平面ABCD.

小問2詳解】

因?yàn)?4,AB,A5，AZ),FAAD=A,所以AB,平面PA￡).

又CD/1AB,所以CDJ_平面PA￡),

因?yàn)镸Du平面PAD，所以CDLMD,

設(shè)點(diǎn)A到平面MCD的距離為h,

13

又M是PD的中點(diǎn)，所以M到平面ACD的距離為一PA=—

22

因?yàn)樨?MCO=Vw-ACD9

113>/21133>/2

片rr「r以1一x—x4x---xh=-x—x4x3x一,解得力=-----，

3223222

即點(diǎn)A到平面MCD的距離為運(yùn).

2

21.(1)極小值為l+ln2,無極大值；(2)

(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)4=2時(shí)，f(x)=2一一=上二?(x>0).由f(x)=0,得8=一.

xx2

當(dāng)x變化時(shí)，f\x),/")的變化情況如下表

X

26T

f\x)-0+

f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以/(X)在(o,g)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)fa)的極小值為/(g)=1+m2,無極大值.

(2)對(duì)Vxe(O,+s),/(x)>0恒成立，即對(duì)Vxe(O,+8),a>5土恒成立.

X

人，/、Inxe,/、1-lnx,,-”口

令人(?=---,則力(1)=———.由/2(工zx)=0得x=e,

X