概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙江大學(xué)第四版盛驟概率論部分2-

概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙江大學(xué)第四版盛驟概率論部分2-匯報人：AA2024-01-19概率論基本概念隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布隨機變量數(shù)字特征大數(shù)定律和中心極限定理參數(shù)估計與假設(shè)檢驗方差分析與回歸分析初步目錄01概率論基本概念樣本空間所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，常用大寫字母A、B、C等表示。基本事件只包含一個樣本點的事件，是構(gòu)成樣本空間的最小單元。樣本空間與事件030201在相同條件下，某一事件A出現(xiàn)的可能性大小的度量，記作P(A)。非負性、規(guī)范性（必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0）、可加性（互斥事件的概率和等于它們并的概率）。概率定義及性質(zhì)概率性質(zhì)概率定義條件概率獨立性乘法公式條件概率與獨立性在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。如果事件A和事件B相互獨立，則一個事件的發(fā)生不會影響另一個事件的發(fā)生概率，即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)。對于任意兩個事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)，若A和B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)。02隨機變量及其分布隨機變量定義及性質(zhì)隨機變量定義隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。隨機變量性質(zhì)隨機變量具有可測性、分布函數(shù)性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望和方差等性質(zhì)。其中，分布函數(shù)是描述隨機變量取值規(guī)律的重要工具。0-1分布0-1分布是二項分布的特例，它描述的是只有兩種可能結(jié)果的隨機試驗。二項分布二項分布描述的是n重伯努利試驗中成功次數(shù)X的分布，其中每次試驗成功的概率為p。泊松分布泊松分布描述的是單位時間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)X的分布，其中單位時間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)為λ。常見離散型隨機變量分布010203均勻分布均勻分布描述的是在某個區(qū)間內(nèi)隨機變量取值的概率分布情況，其中每個取值的概率密度都相等。指數(shù)分布指數(shù)分布描述的是隨機事件發(fā)生的時間間隔X的分布，其中時間間隔的平均值為1/λ。正態(tài)分布正態(tài)分布是連續(xù)型隨機變量中最為常見的一種分布，它描述的是影響某個指標(biāo)的隨機因素非常多且每個因素的影響都很小的情況下，這個指標(biāo)的取值分布情況。正態(tài)分布具有鐘型曲線的特點，其概率密度函數(shù)關(guān)于均值對稱。常見連續(xù)型隨機變量分布03多維隨機變量及其分布設(shè)$(X,Y)$是二維隨機變量，對于任意實數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{(Xleqslantx)cap(Yleqslanty)}$稱為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)如果二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$可微，則稱$f(x,y)=frac{partial^2F(x,y)}{partialxpartialy}$為$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度。聯(lián)合概率密度二維隨機變量聯(lián)合分布邊緣分布函數(shù)二維隨機變量$(X,Y)$關(guān)于$X$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_X(x)=P{Xleqslantx}$，關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_Y(y)=P{Yleqslanty}$。條件分布設(shè)$(X,Y)$是二維隨機變量，且$P{Y=y}>0$，則稱$P{Xleqslantx|Y=y}=frac{P{Xleqslantx,Y=y}}{P{Y=y}}$為在$Y=y$條件下$X$的條件分布函數(shù)。邊緣分布與條件分布VS如果二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度$f(x,y)$可以表示為兩個非負函數(shù)$g(x)$和$h(y)$的乘積，即$f(x,y)=g(x)h(y)$，則稱$X$和$Y$是相互獨立的。相關(guān)性分析通過計算相關(guān)系數(shù)$rho_{XY}$來衡量兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度。當(dāng)$rho_{XY}=0$時，稱$X$和$Y$是不相關(guān)的；當(dāng)$rho_{XY}>0$時，稱$X$和$Y$是正相關(guān)的；當(dāng)$rho_{XY}<0$時，稱$X$和$Y$是負相關(guān)的。獨立性檢驗獨立性檢驗與相關(guān)性分析04隨機變量數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望與方差01數(shù)學(xué)期望：描述隨機變量取值的“平均水平”，是隨機變量所有可能取值的概率加權(quán)和。02方差：衡量隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，即隨機變量的離散程度。常見的離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差計算：二項分布、泊松分布等。03相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差，用于消除量綱影響，更準(zhǔn)確地反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度。性質(zhì)若兩個隨機變量相互獨立，則它們的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)均為0；反之則不成立。協(xié)方差衡量兩個隨機變量的總體誤差，反映兩個隨機變量變化的趨勢。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)ABCD矩、峰度和偏度矩描述隨機變量分布形態(tài)的特征數(shù)，包括原點矩和中心矩。偏度衡量隨機變量分布偏斜程度的特征數(shù)，正偏度表示分布右偏，負偏度表示分布左偏。峰度衡量隨機變量分布尖峭或扁平程度的特征數(shù)，正峰度表示分布尖峭，負峰度表示分布扁平。應(yīng)用在金融、經(jīng)濟等領(lǐng)域中，峰度和偏度常用于描述和檢驗數(shù)據(jù)的分布形態(tài)。05大數(shù)定律和中心極限定理種類包括伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律等。應(yīng)用在統(tǒng)計學(xué)中，大數(shù)定律為抽樣調(diào)查提供了理論依據(jù)，即當(dāng)樣本容量足夠大時，樣本均值將趨近于總體均值。含義大數(shù)定律是概率論中的基本定理之一，它表明當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，隨機事件的頻率將趨近于該事件的概率。大數(shù)定律中心極限定理是概率論中的另一個基本定理，它表明當(dāng)隨機變量滿足一定條件時，這些隨機變量的和或均值將趨近于正態(tài)分布。含義包括獨立同分布的中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理等。種類在統(tǒng)計學(xué)中，中心極限定理為參數(shù)估計和假設(shè)檢驗提供了重要的理論依據(jù)，使得我們可以利用正態(tài)分布的性質(zhì)對復(fù)雜的數(shù)據(jù)進行分析和處理。應(yīng)用中心極限定理概率論與統(tǒng)計學(xué)的關(guān)系概率論是統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，為統(tǒng)計學(xué)提供了理論支持和方法論指導(dǎo)；而統(tǒng)計學(xué)則是概率論的應(yīng)用，通過收集、整理、分析數(shù)據(jù)來推斷總體特征。概率論在統(tǒng)計學(xué)中的應(yīng)用舉例在參數(shù)估計中，利用大數(shù)定律和中心極限定理可以得到樣本均值的分布性質(zhì)，從而構(gòu)造出合適的統(tǒng)計量進行參數(shù)估計；在假設(shè)檢驗中，利用小概率原理可以判斷原假設(shè)是否成立；在回歸分析中，利用最小二乘法可以得到回歸系數(shù)的最優(yōu)估計等。概率論在統(tǒng)計學(xué)中應(yīng)用06參數(shù)估計與假設(shè)檢驗矩估計法用樣本矩作為總體矩的估計量，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。最大似然估計法根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則來估計總體參數(shù)，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。貝葉斯估計法在已知先驗概率的情況下，利用貝葉斯公式對總體參數(shù)進行估計，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知且存在先驗信息的情況。點估計方法區(qū)間估計方法通過對樣本數(shù)據(jù)進行重復(fù)抽樣，構(gòu)造出多個樣本，進而得到總體參數(shù)的多個估計值，并給出這些估計值的分布區(qū)間。自助法利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個包含總體參數(shù)的置信區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)的可信程度。置信區(qū)間法在給定顯著性水平下，構(gòu)造一個包含總體參數(shù)的區(qū)間，使得在該區(qū)間內(nèi)總體參數(shù)的真實值以一定的概率落入該區(qū)間。容忍區(qū)間法假設(shè)檢驗原理及步驟假設(shè)檢驗原理及步驟010203提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；選擇適當(dāng)?shù)臋z驗統(tǒng)計量；假設(shè)檢驗步驟010203確定顯著性水平；計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值和對應(yīng)的P值；根據(jù)P值的大小做出判斷：若P值小于或等于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)。假設(shè)檢驗原理及步驟07方差分析與回歸分析初步方差分析原理及應(yīng)用方差分析是一種通過比較不同組別數(shù)據(jù)的方差來推斷總體均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計方法。方差分析原理方差分析的原理基于總體均值相等的假設(shè)，通過計算組間方差和組內(nèi)方差，構(gòu)造F統(tǒng)計量，進行假設(shè)檢驗。方差分析應(yīng)用方差分析在醫(yī)學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如比較不同治療方法的效果、評估不同因素對實驗結(jié)果的影響等。方差分析定義回歸分析定義回歸分析是一種研究自變量與因變量之間關(guān)系的統(tǒng)計方法，通過建立回歸模型來預(yù)測或解釋因變量的變化?；貧w分析原理回歸分析的原理是基于最小二乘法，通過最小化預(yù)測值與實際值之間的殘差平方和來估計回歸系數(shù)，建立回歸方程?；貧w分析應(yīng)用回歸分析在金融、經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如股票價格預(yù)測、銷售額預(yù)測、疾病風(fēng)險預(yù)測等。010203回歸分析原理及應(yīng)用多元線性回歸模型簡介多元線性回歸模型定義多元線性回歸模型是一種研究多個自變量與一個因變量之間線性關(guān)系的