中考數(shù)學(xué)全程演練第46課時(shí) 二次函數(shù)綜合型問題

第46課時(shí)二次函數(shù)綜合型問題(50分)一、選擇題(每題10分，共10分)圖46－11．[2015·嘉興]如圖46－1，拋物線y＝－x2＋2x＋m＋1交x軸于點(diǎn)A(a，0)和B(b，0)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D.下列四個(gè)判斷：①當(dāng)x>0時(shí)，y>0；②若a＝－1，則b＝4；③拋物線上有兩點(diǎn)P(x1，y1)和Q(x2，y2)若x1<1<x2且x1＋x2>2，則y1>y2；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)最小值為6eq\r(2).其中正確判斷的序號(hào)是(C)圖46－1A．① B．② C．③ D．④【解析】①根據(jù)二次函數(shù)所作象限，判斷出y的符號(hào)；②根據(jù)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求出b的值；③根據(jù)eq\f(x1＋x2,2)＞1，得到x1＜1＜x2，從而得到Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出y1＞y2；④作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連結(jié)D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值．求出D，E，D′，E′的坐標(biāo)即可解答．二、填空題(每題10分，共10分)圖46－22．[2015·衢州]如圖46－2，已知直線y＝－eq\f(3,4)x＋3分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，P是拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋5上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是a，過點(diǎn)P且平行y軸的直線交直線y＝－eq\f(3,4)x＋3于點(diǎn)Q，則PQ＝BQ時(shí)，a的值是__4，－1，4＋2eq\r(5)或4－2eq\r(5)__.圖46－2【解析】P點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，因?yàn)镻點(diǎn)在拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋5上，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(1,2)a2＋2a＋5))，又PQ∥y軸，且Q點(diǎn)在函數(shù)y＝－eq\f(3,4)x＋3上，所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(3,4)a＋3))，B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，可得PQ＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a2＋\f(11,4)a＋2))\s\up12(2))，BQ＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a))\s\up12(2))，根據(jù)題意，PQ＝BQ，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a2＋\f(11,4)a＋2))\s\up12(2))＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a))\s\up12(2))，解得a的值分別為－1，4，4＋2eq\r(5)或4－2eq\r(5).三、解答題(共30分)3．(15分)[2014·內(nèi)江改編]如圖46－3，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(－3，0)，C(0，4)，點(diǎn)B在拋物線上，CB∥x軸．且AB平分∠CAO.(1)求拋物線的解析式；(2)線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值．圖46－3解：(1)A(－3，0)，C(0，4)，圖46－3∴AC＝5，∵AB平分∠CAO，∴∠CAB＝∠BAO，∵CB∥x軸，∴∠CBA＝∠BAO，∴∠CAB＝∠CBA，∴AC＝BC＝5，∴B(5，4)，A(－3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入y＝ax2＋bx＋c得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝9a－3b＋c，,4＝c，,4＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,6)，,b＝\f(5,6)，,c＝4.))所以y＝－eq\f(1,6)x2＋eq\f(5,6)x＋4；第3題答圖(2)設(shè)AB的解析式為y＝kx＋b，把A(－3，0)，B(5，4)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝－3k＋b，,4＝5k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，))第3題答圖∴直線AB的解析式為y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)；可設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x＋\f(3,2)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－\f(1,6)x2＋\f(5,6)x＋4))，則PQ＝－eq\f(1,6)x2＋eq\f(5,6)x＋4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(3,2)))＝－eq\f(1,6)(x－1)2＋eq\f(8,3)，當(dāng)x＝1時(shí)，PQ最大，且最大值為eq\f(8,3).4．(15分)[2015·福州改編]如圖46－4，拋物線y＝x2－4x與x軸交于O，A兩點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y＝x＋m與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q.(1)這條拋物線的對(duì)稱軸是__x＝2__；直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是__45°__；(2)若兩個(gè)三角形面積滿足S△POQ＝eq\f(1,3)S△PAQ，求m的值．解：(2)設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)O，A作PQ的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).當(dāng)點(diǎn)B在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，顯然S△POQ＝eq\f(1,3)S△PAQ不成立．①如答圖①所示，當(dāng)點(diǎn)B落在線段OA上時(shí)，eq\f(S△POQ,S△PAQ)＝eq\f(OE,AF)＝eq\f(1,3)，圖46－4由△OBE∽△ABF，得eq\f(OB,AB)＝eq\f(OE,AF)＝eq\f(1,3)，圖46－4∴AB＝3OB.∴OB＝eq\f(1,4)OA.由y＝x2－4x得點(diǎn)A(4，0)，∴OB＝1，∴B(1，0)．第4題答圖①∴1＋m＝0，∴m第4題答圖①②如答圖②所示，當(dāng)點(diǎn)B落在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，eq\f(S△POQ,S△PAQ)＝eq\f(OE,AF)＝eq\f(1,3)，由△OBE∽△ABF，得eq\f(OB,AB)＝eq\f(OE,AF)＝eq\f(1,3)，∴AB＝3OB.∴OB＝eq\f(1,2)OA.第4題答圖②由y＝x2－4x得點(diǎn)A(4，0)第4題答圖②∴OB＝2，∴B(－2，0)．∴－2＋m＝0，∴m＝2.綜上所述，當(dāng)m＝－1或2時(shí)，S△POQ＝eq\f(1,3)S△PAQ.(30分)圖46－55．(15分)[2015·株洲]如圖46－5，已知拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋6x＋c.圖46－5(1)若拋物線與x軸有交點(diǎn)，求c的取值范圍；(2)設(shè)拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，若xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝26，求c的值；(3)若P，Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點(diǎn)，PA，QB都垂直于x軸，垂足分別為A，B，且△OPA與△OQB全等，求證：c>－eq\f(21,4).解：(1)∵y＝－x2＋6x＋c與x軸有交點(diǎn)，∴－x2＋6x＋c＝0有實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac≥0，即62－4×(－1)×c≥0，解得c≥－9；(2)∵－x2＋6x＋c＝0有解，且xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝26，∴c≥－9，(x1＋x2)2－2x1x2＝26，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,－1)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(c,－1)＝26，解得c＝－5；(3)設(shè)P的坐標(biāo)為(m，n)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(n，m)，且m>0，n>0，m≠n，將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m2＋6m＋c＝n，①,－n2＋6n＋c＝m，②))①－②得n2－m2＋7(m－n)＝0，(m－n)(m＋n－7)＝0，∴m＋n＝7，∴n＝7－m，代入方程①得，－m2＋7m＋(c－7)＝0，∵存在這樣的點(diǎn)，∴以上方程有解，∴72－4×(－1)×(c－7)≥0，解得c≥－eq\f(21,4)，而當(dāng)c＝－eq\f(21,4)時(shí)，m＝eq\f(7,2)，此時(shí)n＝eq\f(7,2)，故c>－eq\f(21,4).圖46－66．(15分)[2015·溫州]如圖46－6拋物線y＝－x2＋6x交x軸正半軸于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸MB交x軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)C(2，0)作射線CD交MB于點(diǎn)D(D在x軸上方)，OE∥CD交MB于點(diǎn)E，EF∥x軸交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作直線MF.圖46－6(1)求點(diǎn)A，M的坐標(biāo)；(2)當(dāng)BD為何值時(shí)，點(diǎn)F恰好落在該拋物線上？(3)當(dāng)BD＝1時(shí)，①求直線MF的解析式，并判斷點(diǎn)A是否落在該直線上；②延長(zhǎng)OE交FM于點(diǎn)G，取CF中點(diǎn)P，連結(jié)PG，△FPG，四邊形DEGP，四邊形OCDE的面積分別記為S1，S2，S3，則S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.解：(1)令y＝0，則－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴對(duì)稱軸是直線x＝3，∴M(3，9)；(2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)，∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5，∵點(diǎn)F落在拋物線y＝－x2＋6x上，∴F(5，5)，BE＝5.∵eq\f(BD,DE)＝eq\f(CB,OC)＝eq\f(1,2)，∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝eq\f(5,3)；(3)①當(dāng)BD＝1時(shí)，BE＝3，∴F(5，3)．第6題答圖設(shè)MF的解析式為y＝kx＋b，將M(3，9)，F(xiàn)(5，3)代入，第6題答圖得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＝3k＋b，,3＝5k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝18，))∴y＝－3x＋18.∵當(dāng)x＝6時(shí)，y＝－3×6＋18＝0，∴點(diǎn)A落在直線MF上；②∵BD＝1，BC＝1，∴△BDC為等腰直角三角形，∴△OBE為等腰直角三角形，∴CD＝eq\r(2)，CF＝OE＝3eq\r(2)，∴DP＝eq\f(1,2)eq\r(2)，PF＝eq\f(3,2)eq\r(2)，根據(jù)MF及OE的解析式求得點(diǎn)G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，\f(9,2)))，作GN⊥EF交EF于點(diǎn)N，則EN＝GN＝eq\f(3,2)，所以EG＝eq\f(3,2)eq\r(2)，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面積比等于底之比，故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE)＝eq\f(3,2)eq\r(2)∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)))eq\r(2)∶(3＋1)eq\r(2)＝eq\f(3,2)∶2∶4＝3∶4∶8.(20分)7．(20分)[2015·成都]如圖46－7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC.圖46－7備用圖(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式(其中k，b用含a的式子表示)；(2)點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為eq\f(5,4)，求a的值；(3)設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．解：(1)令ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)；∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A，∴0＝－k＋b，b＝k，∴y＝kx＋k，令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0，∵CD＝4AC，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，∴－3－eq\f(k,a)＝－1×4，∴k＝a，∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋a；(2)如答圖①，過點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)E(x，ax2－2ax－3a)，則F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a，第7題答圖①S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝eq\f(1,2)(ax2－3ax－4a)(x＋1)－eq\f(1,2)(ax2－3ax－4a)x＝eq\f(1,2)(ax2－3ax－4a)＝eq\f(1,2)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(25,8)a，第7題答圖①∴△ACE的面積的最大值為－eq\f(25,8)a.∵△ACE的面積的最大值為eq\f(5,4)，∴－eq\f(25,8)a＝eq\f(5,4)，解得a＝－eq\f(2,5)；(3)令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝