中考數(shù)學(xué)全程演練第35課時(shí) 解直角三角形

第35課時(shí)解直角三角形(60分)圖35－1一、選擇題(每題6分，共24分)圖35－11．[2015·長沙]如圖35－1，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30m的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為 (C)A.eq\f(30,tanα)m B．30sinαmC．30tanαm D．30cosαm圖35－22．[2015·南充]如圖35－2，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔為2海里的點(diǎn)A處．如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長是 (C)圖35－2A．2海里 B．2sin55°海里C．2cos55°海里 D．2tan55°海里【解析】根據(jù)余弦函數(shù)定義“cosA＝eq\f(AB,PA)”得AB＝PA×cosA＝2cos55°.故選C.圖35－33．[2015·濟(jì)寧]如圖35－3，斜面AC的坡度(CD與AD的比)為1∶2，AC＝3eq\r(5)m，坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連，若AB＝10m，則旗桿BC的高度為 (A)圖35－3A．5m B．6m C．8mD．(3＋eq\r(5))m【解析】設(shè)CD＝x，則AD＝2x，由勾股定理可得，AC＝eq\r(5)x，∵AC＝3eq\r(5)m，∴eq\r(5)x＝3eq\r(5)，∴x＝3m，∴CD＝3m，∴AD＝2×3＝6m，在Rt△ABD中，BD＝8m，∴BC＝8－3＝5m.圖35－44．[2015·衡陽]如圖35－4，為了測得電視塔的高度AB，在D處用高為1m的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進(jìn)100m到達(dá)F處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個(gè)電視塔的高度AB(單位：m)為 (C)圖35－4A．50eq\r(3) B．51C．50eq\r(3)＋1 D．101【解析】由矩形CDFE，得DF＝CE＝100m，由矩形EFBG，得CD＝GB＝1m，因?yàn)椤螦CE＝30°，∠AEG＝60°，所以∠CAE＝30°，所以CE＝AE＝100m．在Rt△AEG中，AG＝sin60°·AE＝eq\f(\r(3),2)×100＝50eq\r(3)m，所以AB＝50eq\r(3)＋1.故選C.二、填空題(每題6分，共18分)圖35－5SEQ圖表\*ARABIC15．[2015·邵陽]如圖35－5，某登山運(yùn)動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達(dá)山頂B，如果AB＝2000m，則他實(shí)際上升了__1__圖35－5SEQ圖表\*ARABIC1第5題答圖【解析】圖35－5過點(diǎn)B作BC⊥水平面于點(diǎn)C，第5題答圖在Rt△ABC中，∵AB＝2000m，∠A＝30°，∴BC＝AB·sin30°＝2000×eq\f(1,2)＝1000(m)．圖35－66．[2015·寧波]如圖35－6，在數(shù)學(xué)活動課中，小敏為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，站在教學(xué)樓的C處測得旗桿底端B的俯角為45°，測得旗桿頂端A的仰角為30°，若旗桿與教學(xué)樓的距離為9m，則旗桿AB的高度是__9＋3eq\r(3)__m．(結(jié)果保留根號)圖35－6【解析】在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，∴tan30°＝eq\f(AD,9)，∴AD＝3eq\r(3)m，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝9m，∴AB＝AD＋BD＝3eq\r(3)＋9(m)．圖35－77．[2015·濰坊]觀光塔是濰坊市區(qū)的標(biāo)志性建筑，為測量其高度，如圖35－7，一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°.已知樓房高AB約是45m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)可求觀光塔的高CD是__135__m.圖35－7【解析】∵爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，tan30°＝eq\f(AB,AD)，∴eq\f(45,AD)＝eq\f(\r(3),3)，∴AD＝45eq\r(3)，∵在樓房的底端A點(diǎn)處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，∴在Rt△ACD中，CD＝AD·tan60°＝45eq\r(3)×eq\r(3)＝135(m)．三、解答題(共20分)8．(10分)[2015·臺州]如圖35－8，這是一把可調(diào)節(jié)座椅的側(cè)面示意圖，已知枕頭上的點(diǎn)A到調(diào)節(jié)器點(diǎn)O處的距離為80cm，AO與地面垂直．現(xiàn)調(diào)節(jié)靠背，把OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)35°到OA′處．求調(diào)整后點(diǎn)A′比調(diào)整前點(diǎn)A的高度降低了多少厘米？(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)圖35－8第8題答圖解：如答圖，過點(diǎn)A′作A′B⊥AO，交AO于B點(diǎn)，在Rt△A′BO中第8題答圖cos35°＝eq\f(OB,OA′)，OB＝OA′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66，∴AB＝80－66＝14cm，答：降低了14cm.9．(10分)[2015·遂寧]如圖35－9，一數(shù)學(xué)興趣小組為測量河對岸樹AB的高，在河岸邊選擇一點(diǎn)C，從C處測得樹梢A的仰角為45°，沿BC方向后退10m到點(diǎn)D，再次測得點(diǎn)A的仰角為30°，求樹高．(結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)圖35－9解：由題意，∠B＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，DC＝10m，設(shè)CB＝x，則AB＝x，DB＝eq\r(3)x，∵DC＝10m，∴eq\r(3)x＝x＋10，∴(eq\r(3)－1)x＝10，解得x＝eq\f(10,\r(3)－1)＝5eq\r(3)＋5≈5×1.732＋5≈13.7.答：樹高為13.7m.(24分)10．(12分)[2015·成都]如圖35－10，登山纜車從點(diǎn)A出發(fā)，途經(jīng)點(diǎn)B后到達(dá)終點(diǎn)C，其中AB段與BC段的運(yùn)行路程均為200m，且AB段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為30°，BC段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為42°，求纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升的距離．(參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)圖35－10解：在直角△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200m，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝100m，在直角△CEB中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200m，∴CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134m，∴BD＋CE≈100＋134＝234m.答：纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升的距離約為234m.11．(12分)[2015·泰州]如圖35－11，某倉儲中心有一斜坡AB，其坡度為i＝1∶2，頂部A處的高AC為4m，B，C在同一水平地面上．(1)求斜坡AB的水平寬度BC；(2)矩形DEFG為長方體貨柜的側(cè)面圖，其中DE＝2.5m，EF＝2m，將該貨柜沿斜坡向上運(yùn)送，當(dāng)BF＝3.5m時(shí)，求點(diǎn)D離地面的高．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(5)≈2.236，結(jié)果精確到0.1m)圖35－11第11題答圖解：(1)∵坡度為i＝1∶2，AC＝4m，第11題答圖∴BC＝4×2＝8m；(2)作DS⊥BC，垂足為S，且與AB相交于H.∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，∴∠GDH＝∠SBH，∴eq\f(GH,GD)＝eq\f(1,2)，∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，∴DH＝eq\r(5)m，BH＝BF＋FH＝3.5＋(2.5－1)＝5m，設(shè)HS＝xm，則BS＝2xm，∴x2＋(2x)2＝52，∴x＝eq\r(5)m，∴DS＝eq\r(5)＋eq\r(5)＝2eq\r(5)≈4.5m.∴點(diǎn)D離地面的高為4.5m.(14分)圖35－1212．(14分)[2014·瀘州]如圖35－12，海中有兩個(gè)燈塔A，B，其中B位于A的正東方向上，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)C處測得燈塔A在西北方向上，燈塔B在北偏東30°方向上，漁船不改變航向繼圖35－12續(xù)向東航行30海里到達(dá)點(diǎn)D，這時(shí)測得燈塔A在北偏西60°方向上，求燈塔A，B間的距離．(計(jì)算結(jié)果用根號表示，不取近似值)第12題答圖解：如答圖，作CE⊥AB于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，第12題答圖∴∠AFC＝∠AEC＝90°.∵∠FCE＝90°，∠ACE＝45°，∴四邊形AFCE是正方形．設(shè)AF＝FC＝CE＝AE＝x，則FD＝x＋30，∵tanD＝eq\f(AF,FD)，∠AFD＝90°，∠D＝30°，∴eq\f(\r(3),3)＝eq\f(x,x＋30)，解得x＝15eq\r(3)＋