套利定價(jià)模型

第十章因素模型〔書中第十一章內(nèi)容〕盡管馬克威茨模型從理論上提供了一種由投資風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇證券組合的方法，但由于計(jì)算上困難使它在實(shí)際中的應(yīng)用受到限制。1963年，夏普提出了單因素模型，為解決馬柯威茨模型應(yīng)用于大規(guī)模市場(chǎng)時(shí)的計(jì)算量問(wèn)題提供了行之有效的途徑，后來(lái)單因素模型被推廣到多因素模型。因素模型的假設(shè)根底仍然是證券之間的相關(guān)性。但它認(rèn)為證券之間的關(guān)聯(lián)性是由于市場(chǎng)上的各種證券都受到一種或多種共同因素的影響造成的。因素模型正是企圖捕捉這些共同影響因素，用一種線性結(jié)構(gòu)方程來(lái)描述這些因素對(duì)每種證券收益率的影響。在搞清楚證券收益率與各影響因素的關(guān)系后，由因素的預(yù)測(cè)值和方差，估計(jì)證券組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)，從而確定最優(yōu)投資組合。一、單因素模型1、含義：?jiǎn)我蛩啬Ｐ椭缸C券之間的關(guān)聯(lián)性是由一個(gè)因素對(duì)市場(chǎng)產(chǎn)生普遍性影響所引起的。如果市場(chǎng)中的所有證券收益受到且僅受到一種因素的影響，我們可以分析每種證券收益率對(duì)該因素變動(dòng)的敏感性。這種敏感性稱為單因素模型。2、單因素模型其中：r為證券在t期的實(shí)際收益率；b為證券對(duì)因素F的敏感性。3、分析單因素可以是某一種對(duì)所有證券影響較大的因素，如GDP、市場(chǎng)利率等等。殘差項(xiàng)中不含因素的影響，殘差項(xiàng)與因素不相關(guān)，殘差項(xiàng)之間亦不相關(guān)。4、證券的期望收益率、方差和協(xié)方差1、期望收益率2、方差3、協(xié)方差單因素模型極大地簡(jiǎn)化了證券的期望收益率、方差及證券間的協(xié)方差的計(jì)算。在完成這些計(jì)算后，可按照馬柯威茨模型確定有效邊界，然后，投資者根據(jù)個(gè)人的無(wú)差異曲線，確定最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)組合。5、市場(chǎng)模型特征線模型是一種特殊的單因素模型，其中的公共因素F就是市場(chǎng)組合收益率。實(shí)踐中，常以市場(chǎng)指數(shù)作為單一公共因素F，這時(shí)的單因素模型稱為市場(chǎng)模型。即：5、投資分散化在因素模型下，證券或證券組合的總風(fēng)險(xiǎn)可分解為因素風(fēng)險(xiǎn)和非因素風(fēng)險(xiǎn)。投資分散化的結(jié)果是因素風(fēng)險(xiǎn)趨于平均化，非因素風(fēng)險(xiǎn)將不斷減少而趨近0。根據(jù)單因素模型，證券組合的方差為：當(dāng)一個(gè)組合更加分散時(shí)，每個(gè)權(quán)數(shù)將變的更小，這使得系數(shù)b平均化、正?；沟梅且蛩仫L(fēng)險(xiǎn)不斷減少而趨近0。二、多因素模型證券價(jià)格和收益率的變化通常會(huì)受到多個(gè)因素的影響。因此，當(dāng)一個(gè)因素缺乏以解釋證券的收益率以及證券間的關(guān)聯(lián)性時(shí)，就要考慮增加多因素模型。1、多因素模型2、證券的期望收益率、方差、協(xié)方差同單因素模型一樣，一旦完成上述計(jì)算，便可以導(dǎo)出馬柯威茨模型中的有效邊界，繼而利用投資者的無(wú)差異曲線確定最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)組合。同樣，證券或證券組合的總風(fēng)險(xiǎn)可分解為因素風(fēng)險(xiǎn)和非因素風(fēng)險(xiǎn)。投資分散化的結(jié)果是因素風(fēng)險(xiǎn)趨于平均化，非因素風(fēng)險(xiǎn)將不斷減少而趨近0。三、因子模型與均衡因子模型可以看成市場(chǎng)模型的推廣。在均衡下的市場(chǎng)模型為CAPM：

對(duì)單因子模型有：它不是均衡的，但在一定條件下，它可以是均衡的。如：令：，令那么單因子模型就變?yōu)镃APM。第十一章資本資產(chǎn)套利〔APT〕模型馬克維茨的模型和資本資產(chǎn)定價(jià)模型，給出了有效組合確實(shí)定方法和證券組合平衡價(jià)格與系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系，解釋了證券之所以具有不同的期望收益是因?yàn)樗鼈兙哂胁煌南禂?shù)。但是，這些理論和模型有很多嚴(yán)格而苛刻的條件，而這些假設(shè)在實(shí)際的資本市場(chǎng)中是很難滿足的，由此得出的結(jié)論受到實(shí)際投資者的質(zhì)疑。羅斯〔1976〕，在因素模型的根底上，提出了套利定價(jià)理論，使資本資產(chǎn)定價(jià)理論有了突破性開展。與資本資產(chǎn)定價(jià)模型類似，套利定價(jià)理論討論的也是證券期望收益和風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，但所用的假設(shè)條件比資本資產(chǎn)定價(jià)模型要少的多。它的一個(gè)主要假設(shè)是，如果市場(chǎng)上存在不增加風(fēng)險(xiǎn)就能增加收益的時(shí)機(jī)，那么每個(gè)投資者都會(huì)利用這個(gè)時(shí)機(jī)增加收益。這就是所謂的套利〔Arbitrage〕。套利定價(jià)理論認(rèn)為，非均衡狀態(tài)下套利時(shí)機(jī)的存在，使投資者進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利，最終導(dǎo)致均衡狀態(tài)下套利時(shí)機(jī)的消失，使市場(chǎng)到達(dá)均衡狀態(tài)。APT的根本假設(shè)為：〔1〕市場(chǎng)處于競(jìng)爭(zhēng)均衡狀態(tài)；〔2〕投資者喜歡更多的財(cái)富而不是更少的財(cái)富；〔3〕資產(chǎn)的回報(bào)可用因素模型表示。一、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利

1、APT研究的問(wèn)題：如果所以的投資者對(duì)各種證券的期望收益和因素敏感性均有相同的估計(jì)，那么，在均衡狀態(tài)下，各種證券取得不同收益的原因是什么？要答復(fù)以下幾個(gè)問(wèn)題：①一個(gè)市場(chǎng)是否以到達(dá)了均衡狀態(tài)；②如果市場(chǎng)沒(méi)有以到達(dá)了均衡狀態(tài)，投資者會(huì)如何行動(dòng)；③投資者的行動(dòng)會(huì)如何影響市場(chǎng)，最終使市場(chǎng)到達(dá)均衡；④在均衡狀態(tài)下，證券的收益率是由什么決定的。2、套利套利是指投資者利用同一種資產(chǎn)在不同市場(chǎng)上的不合理價(jià)格關(guān)系，或不同資產(chǎn)在同一市場(chǎng)上的不合理價(jià)格關(guān)系獲取一定數(shù)量無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的行為。對(duì)于整個(gè)證券市場(chǎng)，這種套利時(shí)機(jī)還包括“相似〞證券組合構(gòu)成的“近似套利時(shí)機(jī)〞，這種近似性可通過(guò)因素模型來(lái)描述。因素模型說(shuō)明，具有相同因素敏感性的證券或證券組合，應(yīng)具有相同的期望收益率，否那么將存在“近似套利時(shí)機(jī)〞，投資者將利用此時(shí)機(jī)獲取一定數(shù)量無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，他們的行為最終將使套利時(shí)機(jī)消失。而投資者實(shí)現(xiàn)上述套利時(shí)機(jī)的手段是建立套利組合。3、套利組合〔1〕所謂套利組合就是“零投資組合〞。“零投資組合〞是指投資者不需要為這一投資組合投入任何額外的資金，它可以通過(guò)證券的買賣交易對(duì)證券結(jié)構(gòu)的調(diào)整來(lái)實(shí)現(xiàn)?！?〕一個(gè)套利組合應(yīng)該滿足的條件：不需要額外的資金，即組合中各證券的投資權(quán)數(shù)滿足：不承擔(dān)因素風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)任何因素的敏感性為0：組合具有正的期望收益率：注意：組合中各證券的投資權(quán)數(shù)之和為0，是指從舊的組合構(gòu)造新的組合時(shí)投資資金的變動(dòng)之和為0，并非指原來(lái)意義上的組合。4、建立套利組合后投資者的位置由于投資者建立的套利組合中各證券的投資權(quán)數(shù)實(shí)際上是投資者原來(lái)組合中相應(yīng)證券權(quán)數(shù)的改變量。投資者建立的套利組合后，其位置是重新建立了一個(gè)組合，新組合中各證券權(quán)數(shù)是就組合中權(quán)數(shù)與套利組合權(quán)數(shù)之和。5、實(shí)例有三種股票組成的套利證券組合，假設(shè)它們的回報(bào)由單因素模型確定。各證券的期望收益及對(duì)單因素的敏感系數(shù)如下：股票120%4股票215%2.5股票310%3僅考慮單因素模型，建立的套利組合為：

設(shè)，那么，這個(gè)組合是否為套利組合，還要看該組合的期望回報(bào)是否為正：因此，該組合為套利組合。實(shí)例分析設(shè)投資者原來(lái)?yè)碛腥N證券的總價(jià)值為300萬(wàn)元，且每種證券為100萬(wàn)元，即原有證券組合的權(quán)數(shù)為1/3，那么套利組合為：出售證券3：萬(wàn)元；購(gòu)置證券1：萬(wàn)元；購(gòu)置證券2：萬(wàn)元；構(gòu)造套利組合后的總贏利為：3萬(wàn)元；套利組合后，投資者的地位為：證券1：，證券2：，證券3：

二、套利定價(jià)方程〔1〕如果所有投資者對(duì)因素模型都有相同的估計(jì)，當(dāng)市場(chǎng)存在套利時(shí)機(jī)時(shí)，每個(gè)投資者都會(huì)利用這一時(shí)機(jī)，這時(shí)套利組合中權(quán)數(shù)為正的證券，每個(gè)投資者都要買進(jìn)，買壓使其價(jià)格上升，進(jìn)而導(dǎo)致其收益率下降；相反，套利組合中權(quán)數(shù)為負(fù)的證券，每個(gè)投資者都要賣出，賣壓使其價(jià)格下降，進(jìn)而導(dǎo)致其收益率上升；這一過(guò)程逐漸使套利時(shí)機(jī)消失。當(dāng)不再存在套利時(shí)機(jī)時(shí)，市場(chǎng)到達(dá)均衡，這時(shí)套利組合的期望收益率將為0。這樣，以下線性方程組的解不存在：根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)，最后一個(gè)方程是多余的，它可以用其他方程線性表達(dá)。二、套利定價(jià)方程〔2〕記系數(shù)分別為，那么資本資產(chǎn)套利定價(jià)方程為可見(jiàn)，在均衡狀態(tài)下各證券的期望收益率完全由它所承擔(dān)的因素風(fēng)險(xiǎn)所確定。承擔(dān)相同因素風(fēng)險(xiǎn)的證券或組合應(yīng)該具有相同的期望收益率。假設(shè)市場(chǎng)中存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其收益率為，那么有；對(duì)于確實(shí)定，可以考慮一種證券組合，它只對(duì)因素有單位敏感性，即，而對(duì)其他因素不敏感，即。根據(jù)上式知，該證券組合的期望收益率為，這樣有：這說(shuō)明實(shí)際上是對(duì)因素有單位敏感性的證券組合期望溢出收益率，稱為風(fēng)險(xiǎn)因素的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格。記該證券組合的期望收益率為，那么有：二、套利定價(jià)方程〔3〕資本資產(chǎn)套利定價(jià)方程為：上式也叫做APT資產(chǎn)定價(jià)線。如果只有一個(gè)因子，上式為一條直線。根據(jù)套利定價(jià)理論，任何具有一個(gè)因子的載荷和預(yù)期回報(bào)的資產(chǎn)，如果不在套利定價(jià)線上，那么投資者就存在構(gòu)造套利證券組合的時(shí)機(jī)。套利定價(jià)線

圖中，資產(chǎn)U表示資產(chǎn)價(jià)格被低估，此時(shí)預(yù)期回報(bào)比資產(chǎn)A高，投資者可購(gòu)置而出售構(gòu)成一個(gè)套利組合；同樣資產(chǎn)O表示資產(chǎn)價(jià)格被高估，此時(shí)預(yù)期回報(bào)比資產(chǎn)B高，投資者可購(gòu)置而出售構(gòu)成一個(gè)套利組合。UABO三、APT與CAPM的一致性在一定的條件下，APT與CAPM是一致的。1、只有一個(gè)因子的情況當(dāng)只有一個(gè)因子時(shí)，根據(jù)套利定價(jià)模型，有：根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型，有：如果，，那么APT與CAPM是一致的。這種情況發(fā)生在因素模型正好是市場(chǎng)模型的時(shí)候。一般情況下，這樣，代入CAPM中，得：1、只有一個(gè)因子的情況〔2〕記如果CAPM成立，那么必然滿足上式，的符號(hào)與相同，越大，市場(chǎng)回報(bào)就越大。2、多因素的情況如果CAPM成立，同時(shí)APT的多因素模型成立，類似地有：一般假設(shè)，那么：

這樣，記，即為CAPM成立下的APT多因素模型。四、因素確實(shí)定在APT中，沒(méi)有答復(fù)的問(wèn)題是因素的個(gè)數(shù)以及何種因素應(yīng)包括在模型中。Ross在一篇文章中提出了以下幾個(gè)因素：〔1〕工業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率〔2〕通貨膨脹率〔3〕長(zhǎng)期與短期利率的差額〔4〕低級(jí)與高級(jí)債券的差異；另外，伯雷等的另一篇文章中提出5個(gè)因素，其中前三個(gè)因素與Ross的后三個(gè)雷同，另外兩個(gè)因素為社會(huì)總銷售增長(zhǎng)率和S&P500指數(shù)收益率。所羅門公司所用的5個(gè)因素為：〔1〕國(guó)民生產(chǎn)總值〔2〕通貨膨脹率〔3〕利率〔4〕石油價(jià)格變化率〔5〕國(guó)防開支增長(zhǎng)率。這些因素的共同特征：〔1〕包含一些總體活動(dòng)指標(biāo)〔國(guó)民生產(chǎn)總值、總銷售等〕〔2〕通貨膨脹率〔3〕利率因素〔差額或利率本身〕四、套利定價(jià)模型的應(yīng)用及其評(píng)價(jià)1、套利定價(jià)模型的應(yīng)用套利定價(jià)模型應(yīng)用的核心是尋找價(jià)格誤定的證券。具體表現(xiàn)為尋找套利時(shí)機(jī)并實(shí)施套利組合來(lái)獲取超額收益。因此，首先確定哪些因素會(huì)對(duì)市場(chǎng)產(chǎn)生顯著影響，估計(jì)出證券對(duì)各種因素的敏感性。在此根底上來(lái)判斷是否存在套利時(shí)機(jī)，如果存在就