(小白高考)新高考數(shù)學(xué)(適合藝考生)一輪復(fù)習(xí)29《基本不等式》鞏固練習(xí)（教師版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)29《基本不等式》鞏固練習(xí)一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3若x＜0，則x＋eq\f(1,x)()A.有最小值，且最小值為2B.有最大值，且最大值為2C.有最小值，且最小值為－2D.有最大值，且最大值為－2【答案解析】答案為：D.解析：因為x＜0，所以－x＞0，－x＋eq\f(1,－x)≥2eq\r(1)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時，等號成立，所以x＋eq\f(1,x)≤－2.]LISTNUMOutlineDefault\l3已知a，b是正數(shù)，且4a＋3b＝6，則a(a＋3b)的最大值是()A.eq\f(9,8)B.eq\f(9,4)C.3D.9【答案解析】答案為：C.解析：∵a＞0，b＞0，4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝eq\f(1,3)·3a(a＋3b)≤eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋a＋3b,2)))eq\s\up8(2)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝a＋3b，即a＝1，b＝eq\f(2,3)時，a(a＋3b)的最大值是3.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)的最小值為()A.eq\f(3,2)＋eq\r(2)B.eq\f(3,4)＋eq\f(\r(2),2)C.3＋2eq\r(2)D.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),3)【答案解析】答案為：A.解析：已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，又a－1＞0，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)＝[(a－1)＋b](eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b))＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(a－1,2b)＋eq\f(b,a－1)≥eq\f(3,2)＋2eq\r(\f(a－1,2b)×\f(b,a－1))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a－1,2b)＝eq\f(b,a－1)，a＋b＝2時取等號.則eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)的最小值為eq\f(3,2)＋eq\r(2).故選A.]LISTNUMOutlineDefault\l3已知0＜x＜1，則x(3﹣3x)取得最大值時x的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(2,3)【答案解析】答案為：C.解析：∵0＜x＜1，∴x(3﹣3x)＝3x(1﹣x)≤3[SKIPIF1<0]2＝eq\f(3,4).當(dāng)且僅當(dāng)x＝1﹣x，即x＝eq\f(1,2)時等號成立.LISTNUMOutlineDefault\l3已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A.2B.2eq\r(2)C.4D.2eq\r(3)【答案解析】答案為：C.解析：因為lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝(eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y))(x＋3y)＝2＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y)≥4當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3y,x)＝eq\f(x,3y)，即x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,6)時取等號.LISTNUMOutlineDefault\l3已知x＜0，則函數(shù)y＝eq\f(4,x)＋x的最大值是()A.﹣18B.18C.16D.﹣4【答案解析】答案為：D.解析：∵x＜0，∴y＝﹣[﹣eq\f(4,x)﹣x]≤﹣4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝﹣2時取等號.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a＞0，b＞0，并且eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差數(shù)列，則a＋9b的最小值為()A.16B.9C.5D.4【答案解析】答案為：A解析：∵eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差數(shù)列，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝10＋eq\f(a,b)＋eq\f(9b,a)≥10＋2eq\r(\f(a,b)·\f(9b,a))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(a,b)＝eq\f(9b,a)且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，即a＝4，b＝eq\f(4,3)時等號成立，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a＞0，b＞0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋eq\f(1,a)，n＝a＋eq\f(1,b)，則m＋n的最小值是()A.3B.4C.5D.6【答案解析】答案為：B.解析：由題意知ab＝1，∴m＝b＋eq\f(1,a)＝2b，n＝a＋eq\f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號.LISTNUMOutlineDefault\l3已知x，y都為正實數(shù)，且x＋y＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝5，則x＋y的最大值是()A.3B.3.5C.4D.4.5【答案解析】答案為：C.解析：因為x＋y＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝x＋y＋eq\f(x＋y,xy)≥x＋y＋eq\f(x＋y,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2)＝x＋y＋eq\f(4,x＋y)，所以x＋y＋eq\f(4,x＋y)≤5.令x＋y＝t.則t2﹣5t＋4≤0，解得1≤t≤4.LISTNUMOutlineDefault\l3若a＞b＞1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\f(a＋b,2)，則()A.R＜P＜QB.Q＜P＜RC.P＜Q＜RD.P＜R＜Q【答案解析】答案為：C.解析：∵a＞b＞1，∴l(xiāng)ga＞lgb＞0，eq\f(1,2)(lga＋lgb)＞eq\r(lga·lgb)，即Q＞P.∵eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，∴l(xiāng)geq\f(a＋b,2)＞lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，即R＞Q，∴P＜Q＜R.LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a＝(3，﹣2)，b＝(x，y﹣1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是()A.eq\f(5,3)B.eq\f(8,3)C.8D.24【答案解析】答案為：C.解析：因為a∥b，故3(y﹣1)＝﹣2x，整理得2x＋3y＝3，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,3)(2x＋3y)(eq\f(3,x)＋eq\f(2,y))＝eq\f(1,3)(12＋eq\f(9y,x)＋eq\f(4x,y))≥eq\f(1,3)(12＋2SKIPIF1<0)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,2)時等號成立，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值為8，故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S8﹣2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為()A.10B.15C.20D.25【答案解析】答案為：C.解析：由題意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12﹣S8，由S8﹣2S4＝5可得S8﹣S4＝S4＋5，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比數(shù)列，則S4(S12﹣S8)＝(S8﹣S4)2，綜上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12﹣S8＝eq\f(S4＋52,S4)＝S4＋eq\f(25,S4)＋10≥2eq\r(S4×\f(25,S4))＋10＝20，當(dāng)且僅當(dāng)S4＝5時等號成立.故a9＋a10＋a11＋a12的最小值為20.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值為________.【答案解析】答案為：eq\f(8,3).解析：由a＋2b＝3得eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b＝1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b)(eq\f(2,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(4,3)＋eq\f(a,3b)＋eq\f(4b,3a)≥eq\f(4,3)＋2eq\r(\f(a,3b)·\f(4b,3a))＝eq\f(8,3).當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝eq\f(3,2)時取等號.LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數(shù)y＝x＋eq\f(m,x－2)(x＞2)的最小值為6，則正數(shù)m的值為________.【答案解析】答案為：4.解析：∵x＞2，m＞0，∴y＝x﹣2＋eq\f(m,x－2)＋2≥2SKIPIF1<0＋2＝2eq\r(m)＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2＋eq\r(m)時取等號，又函數(shù)y＝x＋eq\f(m,x－2)(x＞2)的最小值為6，∴2eq\r(m)＋2＝6，解得m＝4.LISTNUMOutlineDefault\l3若對x＞0，y＞0，x＋2y＝1，有eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥m恒成立，則m的最大值是________.【答案解析】答案為：8.解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝(x＋2y)·(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝2＋2＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)時取等號，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最小值為8，又eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)≥m恒成立，∴m≤8，即m的最大值為8.LISTNUMOutlineDefault\l3已知直線l：ax＋by﹣ab＝0(a＞0，b＞0)經(jīng)過點(2,3)，則a＋b的最小值為________.【答案解析】答案為：5＋2eq\r(6)解析：因為直線l經(jīng)過點(2,3)，所以2a＋3b﹣ab＝0，所以b＝eq\f(2a,a－3)＞0，所以a﹣3＞0，所以a＋b＝a＋eq\f(2a,a－3)＝a﹣3＋eq\f(6,a－3)＋5≥5＋2SKIPIF1<0＝5＋2eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)a﹣3＝eq\f(6,a－3)，即a＝3＋eq\r(6)，b＝2＋eq\r(6)時等號成立.三 、解答題LISTNUMOutlineDefault\l3已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy=0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.【答案解析】解：(1)由2x＋8y－xy=0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)=1，又x>0，y>0，則1=eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))=eq\f(8,\r(xy))，得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x=16，y=4時，等號成立.所以xy的最小值為64.(2)由2x＋8y－xy=0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)=1，則x＋y=(eq\f(8,x)＋eq\f(2,y))·(x＋y)=10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))=18.當(dāng)且僅當(dāng)x=12且y=6時等號成立，所以x＋y的最小值為18.LISTNUMOutlineDefault\l3已知lg(3x)＋lgy=lg(x＋y＋1).(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值.【答案解析】解：由lg(3x)＋lgy=lg(x＋y＋1)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0，,3xy＝x＋y＋1.))(1)因為x＞0，y＞0，所以3xy=x＋y＋1≥2eq\r(xy)＋1.所以3xy－2eq\r(xy)－1≥0，即3(eq\r(xy))2－2eq\r(xy)－1≥0.所以(3eq\r(xy)＋1)(eq\r(xy)－1)≥0.所以eq\r(xy)≥1.所以xy≥1.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時，等號成立.所以xy的最小值為1.(2)因為x＞0，y＞0，所以x＋y＋1=3xy≤3·(SKIPIF1<0)2.所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.所以x＋y≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時取等號.所以x＋y的最小值為2.LISTNUMOutlineDefault\l3某人準(zhǔn)備在一塊占地面積為1800平方米的矩形地塊中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)試用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，則x，y的值各為多少？【答案解析】解：(1)由題意可得xy＝1800，b＝2a，則y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)eq\f(y－3,3)＝1808－3x－eq\f(8,3)y(x＞3，y＞3).(2)S＝1808－3x－eq\f(8,3)×eq\f(1800,x)＝1808－(3x＋eq\f(4800,x))≤1808－2eq\r(3x×\f(4800,x))＝1808－240＝1568，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(4800,x)，即x＝40時等號成立，S取得最大值，此時y＝eq\f(1800,x)＝45，所以當(dāng)x＝40，y＝45時，S取得最大值.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，一個鋁合金窗分為上、下兩欄，四周框架和中間隔擋的材料為鋁合金，寬均為6cm，上欄與下欄的框內(nèi)高度(不含鋁合金部分)的比為1∶2，此鋁合金窗占用的墻面面積為28800cm2，設(shè)該鋁合金窗的寬和高分別為acm，bcm，鋁合金窗的透光部分的面積為Scm2.(1)試用a，b表示S；(2)若要使S最大，則鋁合金窗的寬和高分別為多少？【答案解析】解：(1)∵鋁合金窗寬為acm，高為bcm，a＞0，b＞0，∴ab＝28800.①設(shè)上欄框內(nèi)高度為hcm，則下欄框內(nèi)高度為2hcm，則3h＋18＝b，∴h＝eq\f(b－18,3)，∴透光部分的面積S＝(