金融數(shù)量方法課件

1《金融數(shù)量方法》

QuantitativeMethods

inFinance

2CH1金融中的微分法

主要內(nèi)容§1.1微分法基礎(chǔ)§1.2金融中的微分法3§1.1微分法基礎(chǔ)主要內(nèi)容一、極限的概念及其性質(zhì)二、一階導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義三、Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)及其近似逼近4一、極限的概念及其性質(zhì)１.函數(shù)在某一點(diǎn)的極限定義：2.重要極限之一：3.極限性質(zhì)：四則運(yùn)算5

二、一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)及其幾何意義在經(jīng)濟(jì)和金融問(wèn)題中常用到變化率的概念，而變化率又分為平均變化率與暫態(tài)變化率。平均變化率主要用於離散問(wèn)題的分析，意思就是函數(shù)增量和引數(shù)增量之間的比率。用符號(hào)表示為

△y/△x暫態(tài)變化率則是指引數(shù)連續(xù)變化的情形，也就是某一個(gè)函數(shù)關(guān)於引數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)引數(shù)增量趨於零時(shí)的平均變化率的極限。用符號(hào)表示為61.一階導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)在x0可導(dǎo)，則在範(fàn)圍（x0,x0+△x）內(nèi)的平均變化率為而在x=x0處的暫態(tài)變化率為可見(jiàn)，暫態(tài)變化率就是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。表示切線的斜率數(shù)值在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，將這兩種變化率統(tǒng)稱為y在x=x0前一個(gè)單位時(shí)y的邊際變化。區(qū)別是前者在實(shí)際應(yīng)用中常用於有函數(shù)形式下的離散情形，而後者則用於已知函數(shù)條件下的連續(xù)情形。7若導(dǎo)數(shù)值在某一區(qū)間恒大於0，則是遞增函數(shù)，即f(x)隨著x的變大（或?。┒龃螅ɑ驕p少）。一階導(dǎo)數(shù)常用來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)增減性。82.高階導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義實(shí)際上，對(duì)於任意給定的x,一階導(dǎo)數(shù)仍然是引數(shù)x的函數(shù)，故稱為導(dǎo)函數(shù)．那麼，我們稱一階導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為原來(lái)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．其符號(hào)表示曲線的彎曲方向，即凹凸性。其幾何意義為函數(shù)變化率隨x變動(dòng)的變化率，常常用來(lái)判定函數(shù)的極大值，還是極小值。如，恒小於0，則表明切線斜率函數(shù)遞減，函數(shù)有極大值。9

3.隱函數(shù)及其求導(dǎo)公式

（1）隱函數(shù)的定義：已知二元方程F(x,y)=0,滿足該方程的兩個(gè)變數(shù)x與y之間就存在一個(gè)對(duì)應(yīng)，即任意給定x的數(shù)值，就有確定的y的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，從數(shù)學(xué)角度看，該對(duì)應(yīng)就是一個(gè)函數(shù)，即任意一個(gè)xy稱該對(duì)應(yīng)確定的函數(shù)為y對(duì)x的隱函數(shù),用符號(hào)表示為y=f(x)。如，x+y=0之所以稱為隱函數(shù)就是因?yàn)樵诙鄶?shù)情況下，不能將y寫成x的顯函數(shù)形式。例如，方程確定了一個(gè)隱函數(shù)y=f(x)10上述定義僅僅說(shuō)明，由任何一個(gè)二元方程在一定條件下，就能確定一個(gè)隱函數(shù)，這屬於隱函數(shù)的確定問(wèn)題。在隱函數(shù)確定了以後，我們還需要進(jìn)一步求出該函數(shù)關(guān)於引數(shù)的變化率，即隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何計(jì)算？11（2）隱函數(shù)的求導(dǎo)公式於是，該隱函數(shù)關(guān)於引數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式為注意，這是有條件的，而且公式前面有負(fù)號(hào)。這說(shuō)明一元的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可借助於已知的二元顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)表示關(guān)於隱函數(shù)的存在和求導(dǎo)問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常常用於均衡分析（均衡的確定）及其比較靜態(tài)分析（均衡的變動(dòng)）。12三、Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)基本思想：把一個(gè)複雜的、非線性函數(shù)近似表示為簡(jiǎn)單的函數(shù)，即用簡(jiǎn)單的函數(shù)去近似一個(gè)複雜函數(shù)，其有利工具就是級(jí)數(shù)的展開(kāi)。一般公式為這表明任何一個(gè)複雜的函數(shù)可表示為無(wú)窮多項(xiàng)簡(jiǎn)單的冪函數(shù)之和。當(dāng)然，x可以選取所喜歡的任何一點(diǎn)去近似或逼近。當(dāng)h很小時(shí)，即在x附近的函數(shù)值，就可以省略掉後面的無(wú)窮多項(xiàng)，而只用前面的有限項(xiàng)的近似值來(lái)代替。如可用右邊的線性函數(shù)（可根據(jù)需要選擇一階或二階、甚至高階來(lái)近似）來(lái)近似。運(yùn)算式會(huì)寫嗎？二階近似運(yùn)算式呢？13當(dāng)x在x0附近變化很小時(shí)，可以只取一階導(dǎo)數(shù)部分來(lái)近似，即作為一階近似值，Y值的變化可以通過(guò)沿著直線，而非曲線移動(dòng)取近似值。14圖像15§1.2金融中的微分法一、貨幣時(shí)間價(jià)值及其應(yīng)用二、使用Taylor級(jí)數(shù)估計(jì)債券價(jià)格的收益率曲線三、使用微分度量債券價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)四、債券的凸性16一、貨幣時(shí)間價(jià)值及其應(yīng)用所謂貨幣的時(shí)間價(jià)值，是指一定量的貨幣在不同時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值量的差額。對(duì)其定義有以下幾種：眾所周知，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，既使不存在通貨膨脹，等量的貨幣在不同時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值量也不相等。今天的1元錢與明年的1元錢是不等值的，前者要比後者的價(jià)值大。比如，若銀行的年利率為6%，今天的1元錢存入銀行，一年以後就會(huì)是1.06元?？梢?jiàn)，經(jīng)過(guò)一年時(shí)間，這1元錢就有了0.06元的增值，也就是說(shuō)，今天的1元錢與一年後的1.06元錢等值。我們將貨幣（資金）在使用過(guò)程中隨時(shí)間推移而發(fā)生的增值現(xiàn)象，稱為貨幣具有時(shí)間價(jià)值的屬性。17Note:資金時(shí)間價(jià)值與利率不同資金時(shí)間價(jià)值：指沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)和通貨膨脹下的社會(huì)平均資金利用率。利率：不僅包含著資金時(shí)間價(jià)值，而且也有風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和通貨膨脹因素。實(shí)務(wù)上：通貨膨脹率很低情況下可以用政府債券利率來(lái)表示時(shí)間價(jià)值。18一、貨幣時(shí)間價(jià)值及其應(yīng)用

在金融學(xué)、投資學(xué)以及財(cái)務(wù)管理中，貨幣（資金）的時(shí)間價(jià)值問(wèn)題具有廣泛的應(yīng)用。其中,兩個(gè)最重要的概念是現(xiàn)值(PresentValue)與終值（FinalValue）.現(xiàn)值是指將來(lái)得到或支付的一筆資金在今天的價(jià)值。終值是指今天得到或支付的某筆資金在將來(lái)某時(shí)刻的價(jià)值。計(jì)算現(xiàn)值的過(guò)程稱作貼現(xiàn)（Discounting），計(jì)算終值的過(guò)程稱作複利(compounding)。19（一）貨幣的終值例如，你今天存入銀行1000元，存期為1年，在年利率為6%的條件下，一年後將得到本金與利息的總和，共計(jì)1000+60=1060元。也就是這筆資金在一年後時(shí)刻的終值。那麼，本息之和與哪些因素有關(guān)呢？20從中可以看出，一筆資金的終值大小取決於以下幾個(gè)因素：1.利率（rateofinterest）：rori2.存款期限(timetomaturity):n3.計(jì)息方式包括：?jiǎn)卫?simpleinterest),複利(compoundinterest)如果是複利計(jì)息的話，還要考慮計(jì)息頻率、(frequencyofthecompounding)21（一）單利

1.單利的終值（F）單利，是指每期都按照初始本金計(jì)算利息，當(dāng)期利息即使不取出也不計(jì)入下一期本金，即計(jì)息本金額始終為初始本金，保持不變。單利特點(diǎn)：只有本金計(jì)息，利息不計(jì)息。例：本金10000元，年利息率為10%，期限3年，則3年後的本息和為：

10000×（1＋10%×3）＝13000元單利終值=本金+單利利息

=P+P·i·n=P(1+i·n)222.單利現(xiàn)值：是單利終值計(jì)算的逆運(yùn)算比如，你打算5年後積蓄到10萬(wàn)元，若現(xiàn)在的年利率為4%，則現(xiàn)在應(yīng)該一次性存入銀行多少錢？（按照目前銀行的單利計(jì)算）23（二）複利的終值與現(xiàn)值

複利計(jì)息特點(diǎn)：不僅本金計(jì)息，利息也計(jì)息。俗稱“利滾利”年期初金額（本金或現(xiàn)值）利息期末金額（本息和，即終值）110000100011000211000110012100312100121013310假設(shè)年利率為10%24例：一次投資100元，利息為每年10％，各年末的終值為一年後：100×（1+10%）＝110

二年後：5年後：...100×1.1×…×1.1＝100×1.15用複利方式計(jì)算終值251.複利計(jì)息下的終值複利終值，是指一定量的本金按照複利計(jì)算若干期後的本利和（價(jià)值）。若每年計(jì)息一次複利，某筆資金P在年利率為i的條件下,n年後的終值的計(jì)算公式為其經(jīng)濟(jì)意義是什麼？複利終值係數(shù)，記為(F/P，i，n),書(shū)後面有附錄A可查出其值26複利計(jì)息的收益變化規(guī)律是，在最初較短的時(shí)間內(nèi)，終值（收益）增速比較緩慢，但隨著時(shí)間的推移，收益就呈現(xiàn)幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，並且時(shí)間越長(zhǎng)，收益的增長(zhǎng)速度變得越高。從數(shù)學(xué)角度看，這是指數(shù)函數(shù)，它的圖形你會(huì)畫嗎？27理財(cái)學(xué)中有著名的“72法則”若存入1元錢，且年利率為1%，則大約經(jīng)過(guò)72年後，其值就會(huì)翻番至2元。若年利率為2%,則需要多少年呢？你能否給出一般性公式？28複利的魔力在金融實(shí)務(wù)和現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，人們利用複利原理進(jìn)行長(zhǎng)期投資具有神奇和巨大的威力。著名科學(xué)家阿爾伯特·愛(ài)因斯坦曾將其認(rèn)為：複利是世界上的最奇異的現(xiàn)象，它的奧秘在於既簡(jiǎn)單又不可思議，是投資理財(cái)?shù)闹匾A(chǔ)原理之一。29前面的計(jì)息方式是一年複利一次。

但在許多金融交易中，複利計(jì)算的頻率比一年1次要多，例如，利息經(jīng)常是按照季度、月度加入到本金中的，於是會(huì)更早些時(shí)候計(jì)算利息加入到本金中，且利息本身會(huì)更早的獲得新利息。一般的，若一年複利計(jì)息次數(shù)為m,那麼n年後的本息和，即複利終值則為每期利率計(jì)算複利的總次數(shù)30例如，存入1000元，年利率為6%，按照季度計(jì)算複利，則3年後的終值為可以看出，把年計(jì)息改為按照季度計(jì)息會(huì)得到更多的利息，即終值會(huì)更大一些（請(qǐng)問(wèn)按照年複利計(jì)算的終值是多少？）。31可以想像和證明，當(dāng)計(jì)息頻率m越來(lái)越頻繁時(shí)，以至於每時(shí)每刻都計(jì)息，則會(huì)導(dǎo)致終值越來(lái)越大。當(dāng)m無(wú)限增大時(shí)（計(jì)息頻率無(wú)限大）,複利終值是不會(huì)無(wú)限增加的，會(huì)收斂到某個(gè)有限的常數(shù)值。這就是極限方法的一個(gè)重要應(yīng)用，稱為連續(xù)複利(continuouscompounding)。其經(jīng)濟(jì)意義是，隨著計(jì)息頻率無(wú)窮大以至於利息被不間斷的增加到本金中，導(dǎo)致本金呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)。其中e為指數(shù)常數(shù)，近似為2.71828322.連續(xù)複利的作用很多金融學(xué)理論中都用到連續(xù)複利的假設(shè)期權(quán)定價(jià)模型中也使用了連續(xù)複利。另外，把具有不同計(jì)息頻率的利率轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的連續(xù)複利也便於利率之間的比較。因此，分期複利率與連續(xù)複利之間的轉(zhuǎn)化就成為必要333.把分期複利率轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的連續(xù)複利率條件：某筆資金投資於連續(xù)複利率(continuouscompounding)得到的終值，與投資於相應(yīng)的分期複利率(discretecompounding)下的終值相等因此容易解得：例如，與年利率6%，按季度計(jì)息的分期複利相對(duì)應(yīng)的連續(xù)複利率為顯然，比分期利率要小，Why?請(qǐng)思考如何直觀理解！344.把連續(xù)複利率轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分期複利率根據(jù)等式解得：例如，假設(shè)連續(xù)複利率每年為12.5%，那麼相應(yīng)的每年4次計(jì)息的分期複利率為顯然，比連續(xù)複利率要大，Why?請(qǐng)思考！355.複利的現(xiàn)值

例如：某人存入一筆錢，想5年後得到10萬(wàn)，若銀行存款年利率為5%，請(qǐng)問(wèn)：現(xiàn)在應(yīng)一次性存入多少？

答案：?jiǎn)卫篜=S/（1+n×i）=10/（1+5×5%）=8（萬(wàn)元）

復(fù)利：P

=S×（1+i）-n=10×（1+5%）-5

=10×0.7835=7.835（萬(wàn)元）

這就是複利的現(xiàn)值計(jì)算了！365.複利的現(xiàn)值複利現(xiàn)值，就是指未來(lái)時(shí)點(diǎn)上收到或支付的一筆款項(xiàng)，按照某個(gè)利率所計(jì)算出的現(xiàn)值。它是終值的逆運(yùn)算。其優(yōu)點(diǎn)是，通過(guò)計(jì)算現(xiàn)值，能夠使得在未來(lái)不同時(shí)點(diǎn)上發(fā)生的若干筆現(xiàn)金流可以比較，因而它們可以被加總。

複利現(xiàn)值的計(jì)算公式：複利現(xiàn)值係數(shù)，記為(P/F，i，n),可查附錄B查出值複利終值係數(shù)與複利現(xiàn)值係數(shù)互為倒數(shù)！複利現(xiàn)值係數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義是什麼？376.分期複利現(xiàn)值與連續(xù)複利現(xiàn)值為了能把未來(lái)不同時(shí)刻到期的不同現(xiàn)金流價(jià)值進(jìn)行比較，就需要把未來(lái)現(xiàn)金流貼現(xiàn)成他們的現(xiàn)值。同樣，金融實(shí)務(wù)中，也經(jīng)常遇到一年中計(jì)息頻率多於1次，其現(xiàn)值計(jì)算公式為當(dāng)複利計(jì)息次數(shù)m無(wú)限大時(shí)，就成為連續(xù)複利現(xiàn)值，或者叫做連續(xù)貼現(xiàn)：此時(shí)稱利率為貼現(xiàn)率。顯然，現(xiàn)值與貼現(xiàn)率成反比，38（二）貨幣時(shí)間價(jià)值的應(yīng)用1.抵押貸款問(wèn)題住房抵押（按揭）貸款是一種常見(jiàn)的貸款形式，其特點(diǎn)是在給定的利率下，在貸款期內(nèi)債務(wù)人週期性的進(jìn)行等額的還款支付。在抵押的初期，本金最大，每月的還款支付額主要是利息支付，其本金償付很少。但隨著本金的減少，用於償還本金的數(shù)額在增加。39例如，以等額還款的方式，償還20年期、年複利利率為10%的抵押貸款100，000元，分別求每年和每月的還款額為多少？分析：假設(shè)每年末的還款額為X，則第二年初的債務(wù)餘額為100，000×1.1-X;同理，第三年初的債務(wù)餘額為（100，000×1.1-X）×1.1-X=100，000×1.12-1.1X-X重複上述過(guò)程20次，就得到第21年初的債務(wù)運(yùn)算式，此時(shí)應(yīng)該正好還清債務(wù)，即其中，括弧內(nèi)是等比數(shù)列的前20項(xiàng)之和。40化簡(jiǎn)後得到方程為解方程，解得每年的還款額為：對(duì)於一般貸款問(wèn)題，若貸款總額為P，償還n年，年利率為r，其每年的等額還款額的公式為現(xiàn)行居民購(gòu)房按揭貸款的每年還款額是計(jì)算公式如果是月供應(yīng)該是多少？41如果進(jìn)一步計(jì)算現(xiàn)實(shí)生活中按每月的等額還款，則需要把上述的年利率轉(zhuǎn)化為等價(jià)的月利率的同時(shí)，還需要把償還次數(shù)修改為240次，仍用X表示月供額假設(shè)等價(jià)的月度複利因數(shù)是C，那麼有那麼關(guān)於X的方程為代入C值得：顯然，這種月度還款方式比年度還款方式一年下來(lái)少支付大約500元，WHY？42對(duì)於一般貸款問(wèn)題，若貸款總額為P，償還n年，年利率為r，其每月的等額還款額的公式為432.（永久）年金問(wèn)題現(xiàn)在考慮一個(gè)年金問(wèn)題。年金：是指在某一時(shí)期內(nèi)等間隔的發(fā)生的一系列等額的收入或支付款項(xiàng)。比如，希望從今後的若干年內(nèi)每年獲得一筆等額的收入流，那麼需要現(xiàn)在一次性存入或投資多少錢？這是抵押貸款的反問(wèn)題，即初期進(jìn)行一筆大的支付，以便以後在某時(shí)期內(nèi)得到一系列等額的小的現(xiàn)金流入。假設(shè)希望未來(lái)20年內(nèi)，每年能夠得到1200元的年金收入（如生活費(fèi)），年收益率為10%，那麼現(xiàn)在應(yīng)該一次性投入多少？44這屬於求年金的現(xiàn)值問(wèn)題第一年末收到的1200元的現(xiàn)值為1200/1.10，第二年末的1200元的現(xiàn)值為1200/1.102以此類推，那麼這20筆收入流的現(xiàn)值為45年金現(xiàn)值的一般公式為其中，a為每年的年金數(shù)額，其餘同上當(dāng)有限期的收付年金變?yōu)闊o(wú)限期，即收入流或支付流的次數(shù)n無(wú)限大，以至於趨於無(wú)窮時(shí)，其年金現(xiàn)值為對(duì)於此例中的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，現(xiàn)值為1200/0.1=12000元，也就是說(shuō)，只要現(xiàn)在一次性存入12000元，就可以無(wú)限期的每年永遠(yuǎn)得到1200元。這又一次體現(xiàn)了極限的應(yīng)用46如果將此例中的年度收入流改為月度收入流（比如用於養(yǎng)老年金）也就是說(shuō)，每月能得到100元的收入，一共持續(xù)240個(gè)月。那麼你知道這些年金的現(xiàn)值是多少嗎？請(qǐng)寫出公式，並計(jì)算出來(lái)數(shù)額。47二、使用Taylor級(jí)數(shù)近似估計(jì)債券價(jià)格的收益率曲線債券價(jià)格的含義：其價(jià)格就是其未來(lái)逐筆實(shí)現(xiàn)的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值總和。對(duì)於附息債券價(jià)格的公式為Y——收益率（計(jì)量單位：%）CF——現(xiàn)金流（cashflow）顯然，債券價(jià)格P是關(guān)於收益率y的函數(shù)，且是遞減的、非線性函數(shù)，稱為債券價(jià)格的收益率曲線。記作P=f(y)48債券價(jià)格收益率曲線的近似——可用直線或二次曲線近似49三、利用微分度量債券價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)知道，債券的價(jià)格受到收益率的影響，現(xiàn)在的問(wèn)題是，當(dāng)收益率y變動(dòng)1%時(shí)，價(jià)格P變動(dòng)百分之多少？該衡量指標(biāo)叫做修正久期（modifiedduration）由於收益率y本身的單位是%，所以收益率的變動(dòng)量為絕對(duì)變數(shù)△y,但需要考慮價(jià)格P的相對(duì)變動(dòng)△P/P，用公式表示為50可見(jiàn)，計(jì)算修正久期的關(guān)鍵在於計(jì)算導(dǎo)數(shù)dP/dy對(duì)債券價(jià)格公式求導(dǎo)，得到方括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算式為久期，等號(hào)右邊稱為修正久期。修正久期在債券市場(chǎng)上常常被用作衡量債券的利率風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)。其經(jīng)濟(jì)意義為，當(dāng)收益率在下一瞬間發(fā)生1%變化時(shí)，債券價(jià)格將隨之變化的近似百分比51計(jì)算債券價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)據(jù)實(shí)例：假設(shè)有一個(gè)2年期的債券，面值為100，每半年付息5，到期收益率為8%，則其現(xiàn)金流方式與價(jià)格為為了計(jì)算修正久期，首先計(jì)算公式中方括弧內(nèi)的值：誰(shuí)知道負(fù)號(hào)的含義？52再乘以1/(1+y)，再除以債券價(jià)格103.6299，得到修正久期的值為通常，債券市場(chǎng)的習(xí)慣是使用年久期，並且省略負(fù)號(hào)。由於本例中債券是每年付息2次，所以年久期還要把結(jié)果除以2，得到3.5853/2=1.7926。這說(shuō)明當(dāng)債券收益率上升1%時(shí)，債券價(jià)格將下降1.7926%多麼有力量的分析，得出了有用的結(jié)論53四、債券凸性（convex）——二階導(dǎo)數(shù)，即變化率的變化率由於債券久期表明了其價(jià)格對(duì)利率的敏感程度，為了度量這種敏感性隨利率變化的情況，需要利用債券價(jià)格對(duì)到期收益率的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)衡量，即所謂的債券凸性。

根據(jù)債券價(jià)格公式可以求二階導(dǎo)數(shù)：54債券凸性的數(shù)據(jù)實(shí)例仍以前面的2年期債券為例，其面值為100，每半年付息5，到期收益率為8%。在這裏凸性等於債券價(jià)格對(duì)收益率的二階導(dǎo)數(shù)除以2倍的債券價(jià)格（因?yàn)槟旮断?次）。二階導(dǎo)數(shù)為再除以2倍的價(jià)格103.6299，得到凸性為正如修正久期一樣，在債券市場(chǎng)中實(shí)際使用的是以年的平方形式使用凸性，因此還要把上述數(shù)值除以每年現(xiàn)金流數(shù)目的平方，在本例中每年有2個(gè)現(xiàn)金流，要除以22=4，債券的凸性等於2.103155內(nèi)容包括一、數(shù)據(jù)的計(jì)量尺度二、數(shù)據(jù)的類型§2.1數(shù)據(jù)計(jì)量尺度與數(shù)據(jù)類型56一、數(shù)據(jù)的計(jì)量尺度定類尺度

nominalscale定序尺度

ordinalscale定距尺度

intervalscale定比尺度

ratioscale

按照某屬性對(duì)事物進(jìn)行平行的分類。（=≠）

對(duì)事物類別間等級(jí)或順序差別的測(cè)度。（＜＞）對(duì)事物類別或次序之間差距的測(cè)度。

(+、-）對(duì)事物類別或次序之間差距及差別程度的測(cè)度。

（×、÷）57變數(shù)變數(shù)值編碼性別男女12人種白黃棕黑1234定類尺度的數(shù)據(jù)沒(méi)有順序和大小的區(qū)別。1.定類尺度的數(shù)據(jù)58變數(shù)編碼定序尺度數(shù)據(jù)不能測(cè)量差別的多少，只能優(yōu)劣排序。產(chǎn)品等級(jí)一等品二等品三等品123對(duì)事物的態(tài)度很滿意滿意中立不滿意反對(duì)12345變數(shù)值2.定序尺度的數(shù)據(jù)59定距尺度數(shù)據(jù)不能計(jì)算比值。3點(diǎn)6點(diǎn)3.定距尺度的數(shù)據(jù)例如，張三身高比李四高10釐米60定比尺度數(shù)據(jù)可以計(jì)算比值。6枚3枚例如，張三月收入是李四月收入的2倍4.定比尺度的數(shù)據(jù)61

變數(shù)類型計(jì)量尺度品質(zhì)型變數(shù)數(shù)值型變數(shù)定類變數(shù)定序變數(shù)數(shù)值型變數(shù)定類變數(shù)定序變數(shù)定距變數(shù)定比變數(shù)定類（=、≠）定序（＜、＞）定距（+、-）定比（×、÷）∨∨∨∨∨∨

∨∨

∨

∨變數(shù)類型的劃分62二、數(shù)據(jù)的類型按照取值性質(zhì)不同，數(shù)據(jù)可分為1.連續(xù)型（continuous）：可以取連續(xù)區(qū)間內(nèi)的任何值，定距尺度的數(shù)據(jù)均為連續(xù)型。比如，投資收益率、速度、時(shí)間等2.離散型(discrete)：取值是間隔的取不同的數(shù)值比如，金融工具的價(jià)格，滬市和深市交易所每天綜合指數(shù)的報(bào)價(jià)是多少點(diǎn)，上證30指數(shù)？滬深300指數(shù)？63按照與時(shí)間的關(guān)係，數(shù)據(jù)也可分為1.橫截面數(shù)據(jù)：在某一時(shí)點(diǎn)一組變數(shù)的數(shù)據(jù)。比如，我國(guó)滬深兩市在某一特定時(shí)間內(nèi)某100只股票的價(jià)格數(shù)據(jù)2.時(shí)間序列數(shù)據(jù)：某一特定變數(shù)隨時(shí)間變化的依次排列的數(shù)據(jù)。比如，2年內(nèi)每天的股票價(jià)格數(shù)據(jù)；外匯匯率在近三年內(nèi)的變動(dòng)數(shù)據(jù)64還可分為未分組數(shù)據(jù)與分組數(shù)據(jù)1.未分組數(shù)據(jù)：金融時(shí)報(bào)100指數(shù)（FTSE100）在1989年9月至1992年12月每月末的值及其月收益率數(shù)據(jù)65可歸納為頻數(shù)分佈表，又分為離散組數(shù)據(jù)與連續(xù)組數(shù)據(jù)2.分組數(shù)據(jù)：66數(shù)據(jù)的圖表描述方式分為一、頻數(shù)分佈表或分佈圖二、累積頻率分佈圖或累積曲線三、直方圖§2.2數(shù)據(jù)的圖表描述67一、頻數(shù)分佈表顯然，這是未分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分佈68一、頻率分佈圖從中可看出什麼？69二、累積頻率分佈圖或累積曲線70三、直方圖（Histogram）以分組數(shù)據(jù)為依據(jù)繪製，矩形寬度是1%，高度是百分比，表中的相對(duì)頻率的計(jì)量單位是十分之幾71通過(guò)前面的頻數(shù)分析把握了數(shù)據(jù)的總體分佈狀況之後，還需要進(jìn)一步對(duì)連續(xù)型數(shù)據(jù)的分佈特徵有更為精確的認(rèn)識(shí)，這就需要通過(guò)計(jì)算基本描述統(tǒng)計(jì)量等途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)。用統(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)的三大特徵——集中趨勢(shì)（Centraltendency）離散趨勢(shì)（Dispersion)分佈形態(tài)(Distribution)§2.3描述統(tǒng)計(jì)量（統(tǒng)計(jì)量描述）72觀測(cè)值的分佈同時(shí)具有集中與離散兩個(gè)方面的趨勢(shì)一、集中趨勢(shì)——平均值的度量集中趨勢(shì)是對(duì)數(shù)據(jù)中心值的總度量，常用平均值代表離散趨勢(shì)是衡量數(shù)據(jù)與平均值的偏離程度73集中趨勢(shì)的極端情況離散趨勢(shì)的極端情況集中趨勢(shì)一、集中趨勢(shì)74集中趨勢(shì)一、集中趨勢(shì)眾數(shù)（Mode）中位數(shù)(Median)四分位數(shù)(quartile)算數(shù)平均值(Mean)幾何平均值751.眾數(shù)(Mode)眾數(shù)就是數(shù)據(jù)集合中出現(xiàn)頻數(shù)或次數(shù)最高的那個(gè)數(shù)值。比如，在15天期間，某一只股票每天的價(jià)格數(shù)據(jù)為10，12，9，8，12，15，14，12，11，10，12，10，12，10，11其中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值12就是眾數(shù)。76軟飲料頻數(shù)頻率%可口可樂(lè)1938雪碧1326杏仁露816新騎士510醒目510總計(jì)5010001020可口可樂(lè)雪碧杏

仁露

新

騎士醒目Mo=可口可樂(lè)定義：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值。50次購(gòu)買軟飲料的頻數(shù)1.眾數(shù)(Mode)某企業(yè)工人按日產(chǎn)量分組日產(chǎn)量（件）人數(shù)比重%８１０４９３０１２１０６０２４１１７０２８１２５０２０１３２２8.8１４８3.2合計(jì)２５０100.0甲、乙兩城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)頻數(shù)分佈非常不滿意不滿意一般滿意非常

滿意Mo=不滿意甲城市乙城市Mo=不滿意77小時(shí)數(shù)燈泡數(shù)43-48248-53153-58258-632163-682868-732873-783378-832683-882188-931993-981098-1036103-1082108-1130113-1181200只燈泡使用壽命頻數(shù)分佈表200只燈泡使用壽命頻數(shù)分佈直方圖眾數(shù)1.眾數(shù)——對(duì)於分組數(shù)據(jù)而言分組（組距式）離散數(shù)據(jù)的眾數(shù)計(jì)算公式眾數(shù)是此組中間的某個(gè)值78

回答類別頻頻累積次數(shù)

數(shù)

率%向上向下非常不滿意不滿意一般滿意非常滿意24108934530836311510241322252703003002761687530合計(jì)300100--

定義：將觀測(cè)值數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）排序後，處?kù)吨虚g位置的觀測(cè)值就是中位數(shù)。Me=一般甲、乙兩城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)頻數(shù)分佈2.中位數(shù)(Median)792.中位數(shù)(Median)對(duì)於未分組數(shù)據(jù)，首先把數(shù)據(jù)按照昇冪排列，比如，前面例子中15天股價(jià)數(shù)據(jù)排列後為8，9，10，10，10，10，11，11，12，12，12，12，12，14，15所以中間第八位的觀測(cè)值11就是中位數(shù)。80對(duì)於分組數(shù)據(jù),又細(xì)分為分組的離散數(shù)據(jù)與分組連續(xù)數(shù)據(jù)兩種，需要估計(jì)出中位數(shù)這個(gè)描述統(tǒng)計(jì)量分組離散數(shù)據(jù)：首先，要構(gòu)造累計(jì)頻率分佈。其次，再估計(jì)第（n+1）/2位置的觀測(cè)值所在區(qū)間範(fàn)圍。最後，使用插值法，求出該區(qū)間內(nèi)的具體的中位數(shù)。81比如，金融時(shí)報(bào)100指數(shù)的離散價(jià)格分組數(shù)據(jù)FTSE100觀測(cè)值數(shù)目（頻數(shù)）累計(jì)頻數(shù)≤20002000.1-21002100.1-22002200.1-23002300.1-24002400.1-25002500.1-26002600.1-27002700.1-28002800.1-29002900.1-30003000.1-31003100.1-32003200.1-3300026469751712110281218273439404748505152合計(jì)5252第（52+1）/2=26.5個(gè)位置的中位數(shù)在組（2400.1-2500）之間由於26.5的位置很接近27，故中位數(shù)應(yīng)接近2500，需要用插值法確定具體中位數(shù)的值82組距數(shù)據(jù)的中位數(shù)的計(jì)算原理——線性插值法利用兩個(gè)三角形相似原理，得到比例關(guān)係，從中求出x83對(duì)於分組的連續(xù)數(shù)據(jù)這是資產(chǎn)投資的月度收益率數(shù)據(jù)，n=51是奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)8425%分位數(shù)50%分位數(shù)75%分位數(shù)最大

觀測(cè)值最小

觀測(cè)值中位數(shù)上四分位數(shù)下四

分位數(shù)（lowquartile）（upperquartile）50%的觀測(cè)值小於中位數(shù)50%的觀測(cè)值位於上下四分位數(shù)之間50%的觀測(cè)值大於中位數(shù)四分位數(shù)3.四分位數(shù)按照位置來(lái)確定四分位數(shù)85小時(shí)數(shù)燈泡數(shù)累積43-482248-531353-582558-63212663-68285468-73288273-783311578-832614183-882116288-931918193-981019198-1036197103-1082199108-1130199113-1181200Me=75.5QU=85QL=67結(jié)論：有50%的燈泡的壽命在67-85小時(shí)之間200只燈泡使用壽命頻數(shù)分佈表四分位數(shù)3.四分位數(shù)86定義：所有觀測(cè)值相加再除以觀測(cè)值的個(gè)數(shù)為樣本均值，又稱為算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticmean）。簡(jiǎn)單算數(shù)平均值加權(quán)算數(shù)平均值均值4.平均值（Mean）例如，一星期5個(gè)工作日內(nèi)，某特定資產(chǎn)的價(jià)格觀測(cè)值為225，225，240，215，230=227，所以該資產(chǎn)在此期間內(nèi)的平均價(jià)格為22787小時(shí)數(shù)燈泡數(shù)f組中值x43-48245.548-53150.553-58255.258-632160.563-682865.568-732870.573-783375.578-832680.583-882185.588-931990.593-981095.598-1036100.5103-1082105.5108-1130110.5113-1181115.5200只燈泡使用壽命頻數(shù)分佈表均值4.平均值=76.1（小時(shí)）所以這批燈泡的平均壽命為76.1小時(shí)88平均值的性質(zhì)1.所有觀測(cè)值與其均值的離差之和等於0。2.所有觀測(cè)值與其均值的離差平方和最小。+-均值4.平均值89性質(zhì)1性質(zhì)2均值平均值的性質(zhì)證明90關(guān)於統(tǒng)計(jì)量描述的收益與損失27.023.941.633.140.618.812.728.913.214.527.034.828.93.250.16028.815.07.25.116.713.719.111.115.610.05.61.533.98.3直方圖原始數(shù)據(jù)均值=19.2

當(dāng)數(shù)據(jù)集合被圖示或計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量時(shí)，其總體水準(zhǔn)和結(jié)構(gòu)狀況就顯示出來(lái)了。但同時(shí)數(shù)據(jù)集的某些豐富詳細(xì)資訊也丟失了。102030405060501015均值4.平均值總之，均值和其他統(tǒng)計(jì)量?jī)H能反映數(shù)據(jù)整體的基本特徵91度量平均值的另一種方法：

幾何平均值（geometricmean）當(dāng)需要計(jì)算一定時(shí)期內(nèi)的平均變化率時(shí)經(jīng)常使用。比如，某股票交易所指數(shù)在5年內(nèi)按照以下年速度增長(zhǎng)：+10%、+20%、+15%、-30%、+20%；那麼算數(shù)平均比例就是+35%/5=7%但如果按年投資，每年得到的是下列定基指數(shù)：110、132、151.80、106.26、127.51,顯然，5年期的實(shí)際累計(jì)增長(zhǎng)只有27.5%，再除以5，得到每年5.5%的平均增長(zhǎng)率，對(duì)嗎？92上述計(jì)算不正確！我們想得到這樣一個(gè)增長(zhǎng)率，使得如果每年都按照該增長(zhǎng)率重複滾動(dòng)增長(zhǎng)5次，就會(huì)從110%變動(dòng)到127.51%。這種週期性增長(zhǎng)率的度量指標(biāo)是幾何平均數(shù)。對(duì)於已知的每年增長(zhǎng)率為r1,r2,…,rn來(lái)說(shuō)，先轉(zhuǎn)換成定基增長(zhǎng)率X1=1+r1，X2=1+r2，…，Xn=1+rn,再用公式計(jì)算得出年平均增長(zhǎng)率。在上面數(shù)值例子中，正確的5年內(nèi)的平均增長(zhǎng)率的幾何平均值為93眾數(shù)是觀測(cè)值的重點(diǎn)中位數(shù)是觀測(cè)值的中心均值是觀測(cè)值的重心5.眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較94左偏右偏對(duì)稱三者的近似關(guān)係眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較5.眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較95不同類型變數(shù)適用的集中趨勢(shì)測(cè)度指標(biāo)變數(shù)類型定類變數(shù)定序變數(shù)定距變數(shù)集中趨勢(shì)測(cè)度指標(biāo)※眾數(shù)---※中位數(shù)四分位數(shù)眾數(shù)-※均值中位數(shù)四分位數(shù)眾數(shù)※為該類變數(shù)最適用的測(cè)度指標(biāo)眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較5.眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較96雖然兩組數(shù)據(jù)的平均值都是，但二者的離散程度不同。離散趨勢(shì)二、離散趨勢(shì)數(shù)據(jù)除了具有集中趨勢(shì)特徵外，還有分散趨勢(shì)的特徵97四分位差極差平均差方差與標(biāo)準(zhǔn)差離散係數(shù)離散趨勢(shì)二、離散趨勢(shì)9825%分位數(shù)50%分位數(shù)75%分位數(shù)最大

觀測(cè)值最小

觀測(cè)值中位數(shù)上四分位數(shù)下四

分位數(shù)（lowquartile）（upperquartile）50%的觀測(cè)值小於中位數(shù)50%的觀測(cè)值位於上下四分位數(shù)之間50%的觀測(cè)值大於中位數(shù)四分位數(shù)1.四分位數(shù)差按照位置來(lái)確定四分位數(shù)99與中位數(shù)一樣，處?kù)稊?shù)據(jù)量的25%和75%位置的數(shù)據(jù)分別稱為低四分位數(shù)（LowQuartile）Q1和高四分位數(shù)（UpperQuartile）Q3四分位差：將高低兩個(gè)四分位數(shù)之間的範(fàn)圍（Q3-Q1）被稱為四分位數(shù)偏差或半四分位數(shù)，是衡量數(shù)據(jù)圍繞中位數(shù)離散程度的度量指標(biāo)。（1）未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)所在位置的計(jì)算公式：1.四分位差100例如，對(duì)於前面使用的某股票價(jià)格數(shù)據(jù)：8，9，10，10，10，10，11，11，12，12，12，12，12，14，15Q1的位置=(n+1)/4=3.75,也就是近似為4；Q3的位置=3(n+1)/4=11.25,也就是近似為11;所以，Q1的數(shù)值是10，Q3的數(shù)值是12所以，Q3-Q1=12-10=2表示四分位數(shù)的範(fàn)圍再除以２後等於１，表示整個(gè)數(shù)據(jù)與中位數(shù)的偏差程度．101（2）分組數(shù)據(jù)的四分位差的計(jì)算與分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的計(jì)算方法類似102四分位數(shù)（偏差）的計(jì)算103QU=85QL=6718小時(shí)數(shù)燈泡數(shù)累積43-482248-531353-582558-63212663-68285468-73288273-783311578-832614183-882116288-931918193-981019198-1036197103-1082199108-1130199113-1181200200只燈泡使用壽命頻數(shù)分佈表四分位差與盒形圖說(shuō)明有50%的觀測(cè)值集中於盒子之內(nèi)。盒子越窄，表明集中程度越高，即離散程度越低。QU=85QL=67四分位差1.四分位差104某地一星期中申請(qǐng)結(jié)婚女性年齡30275640303631242325293329223329462534192323442930252360252737242231242627一般情況下，極差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，但其值易受極端值影響，且大部分?jǐn)?shù)據(jù)資訊沒(méi)有利用極差2.極差（全距Range）105在這兩個(gè)例子中，雖然極差及四分位差均相等，但離散程度不同。所以前兩個(gè)指標(biāo)失效，需要用新的指標(biāo)3.平均差(AverageDeviation)10650名工人日產(chǎn)零件數(shù)的平均差計(jì)算表按零件分組組中值x頻數(shù)f105-110110-115115-120120-125125-130130-135135-140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2

合計(jì)-50-312

定義：所有觀測(cè)值與其平均值的離差絕對(duì)值的均值。平均差3.平均差107

用於統(tǒng)計(jì)描述，n為樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

用於統(tǒng)計(jì)推斷，因?yàn)閟2為總體方差δ2的無(wú)偏估計(jì)量。n-1稱為自由度。方差是所有觀測(cè)值與其均值離差的平方的均值。標(biāo)準(zhǔn)差是所有觀測(cè)值與其均值離差的平方的均值的平方根。方差公式1方差公式2方差與標(biāo)準(zhǔn)差

此處，自由度是指樣本數(shù)據(jù)中可以自由取值的個(gè)數(shù)。譬如：

樣本容量為n，均值確定後，觀測(cè)數(shù)據(jù)中只有n-1個(gè)可以自由取值，其中必有一個(gè)不能自由取值，因此自由度為樣本容量減掉1。均方差公式1均方差公式2

方差的含義不易理解，且它的計(jì)量單位是觀測(cè)值計(jì)量單位的平方。而標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)量單位與觀測(cè)值計(jì)量單位是一致的。用於統(tǒng)計(jì)描述用於統(tǒng)計(jì)推斷4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差108按生產(chǎn)的零件數(shù)分組組中值x頻數(shù)f105-110110-115115-120120-125125-130130-135135-140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96

合計(jì)——50——3100.550名工人日產(chǎn)零件數(shù)的方差計(jì)算表方差與標(biāo)準(zhǔn)差4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差109S=3.00S=2.71S=0.82S=0.00理解標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差雖然均值都是6.0，但標(biāo)準(zhǔn)差不同，則數(shù)據(jù)分散程度有很大差異11068%95%約100%經(jīng)驗(yàn)法則

如果數(shù)據(jù)近似於鐘形分佈，則有：約有68%的數(shù)據(jù)量與均值的距離在1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；約有95%的數(shù)據(jù)量與均值的距離在2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；幾乎所有的數(shù)據(jù)與均值的偏差在3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。方差與標(biāo)準(zhǔn)差4.方差與標(biāo)準(zhǔn)差111企業(yè)編號(hào)產(chǎn)品銷售額銷售利潤(rùn)1234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.08個(gè)企業(yè)的有關(guān)產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)離散係數(shù)離散係數(shù)（可用於統(tǒng)計(jì)推斷）5.離散係數(shù)（方差係數(shù)）112再比如，英國(guó)的FTSE100指數(shù)水準(zhǔn)的變化離散性與美國(guó)的標(biāo)準(zhǔn)普爾S&P500指數(shù)變化的離散性前者在觀測(cè)期的指數(shù)水準(zhǔn)的平均值大約是3700，而後者的平均值大約是650，這時(shí)應(yīng)使用離散係數(shù)來(lái)比較二個(gè)指數(shù)的離散性。如果僅僅衡量這兩個(gè)指數(shù)的收益情況的離散性，則可使用標(biāo)準(zhǔn)差就行了，因?yàn)閿?shù)據(jù)的基礎(chǔ)水準(zhǔn)已經(jīng)剔除掉了。113關(guān)於離散性度量指標(biāo)的選擇這是由所使用的集中趨勢(shì)的度量指標(biāo)所決定的。如果採(cǎi)用中位數(shù)來(lái)衡量集中趨勢(shì)，就可用四分位數(shù)偏差作為離散程度的度量；如果採(cǎi)用平均值度量集中趨勢(shì)，就選用方差或標(biāo)準(zhǔn)差作為離散度量指標(biāo)1141.偏度2.峰度三、分佈形態(tài)115頻數(shù)分佈的對(duì)稱程度對(duì)稱左偏右偏1.偏度考慮數(shù)據(jù)離散狀況時(shí)是否有偏差也十分重要116頻數(shù)直方圖表現(xiàn)的偏度的三種形式

右偏：有一個(gè)向右的長(zhǎng)尾，平均值被少數(shù)很大的觀測(cè)值提高了左偏：有一個(gè)向左的長(zhǎng)尾。平均值被少數(shù)很小的觀測(cè)值降低了117三階矩偏度1.偏度——矩偏度係數(shù)偏度係數(shù)等於三階矩除以標(biāo)準(zhǔn)差的三次方α3＞0，正偏（右偏）；α3＜0，負(fù)偏（左偏）；α3=0，對(duì)稱；α3越大，說(shuō)明偏態(tài)程度越大。補(bǔ)充：矩（Moment）的概念118偏度1.偏度偏度係數(shù)為正，說(shuō)明數(shù)據(jù)呈現(xiàn)正偏態(tài)。股票指數(shù)數(shù)據(jù)先算收益率與其均值偏差的三次方的第四列，再相加總後除以11，得到163.56，再除以標(biāo)準(zhǔn)差的3次方，得到偏度係數(shù)0.87119頻數(shù)分佈的陡峭程度尖頂峰正態(tài)峰平頂峰峰度計(jì)算公式峰度2.峰度比正態(tài)分佈更尖端的分佈是尖（高）峰態(tài)比正態(tài)分佈更扁平的分佈是平（低）峰態(tài)120直方圖顯示的峰度的三種形式121峰度2.峰度峰度（矩）係數(shù)的計(jì)算公式：四階矩除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方。也可用n,而不用n-1α4＞3，尖頂峰（高峰態(tài)）；α4=3，正態(tài)峰（常峰態(tài)）；α4＜3，平頂峰（低峰態(tài)）。122§2.4變數(shù)相關(guān)性的度量主要問(wèn)題：一、協(xié)方差二、相關(guān)係數(shù)三、協(xié)方差和相關(guān)性的應(yīng)用四、投資多元化的風(fēng)險(xiǎn)減少效應(yīng)123一、協(xié)方差(Covariance)在金融學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常常需要知道兩個(gè)隨機(jī)變數(shù)之間如何相互影響。例如，在投資組合管理中，為了度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，就需要知道組合中證券X的價(jià)格如何影響證券Y的價(jià)格，即欲知道兩個(gè)資產(chǎn)收益間的協(xié)方差或相關(guān)性。124（樣本）協(xié)方差的計(jì)算公式可見(jiàn)，（樣本）協(xié)方差依賴於X與Y的觀測(cè)值，因此較大的協(xié)方差有可能是由於較高的觀測(cè)值引起的，而不一定真正說(shuō)明變數(shù)間的關(guān)係更密切，即協(xié)方差並不是反映變數(shù)間相關(guān)關(guān)係的最好指標(biāo)換言之，由於協(xié)方差是個(gè)絕對(duì)指標(biāo)，其數(shù)值有量綱，因而存在局限性，不便於兩個(gè)不同的協(xié)方差間的比較。125如果協(xié)方差為正，說(shuō)明X與Y正相關(guān)，當(dāng)X取較大的數(shù)值時(shí)，Y也取較大的數(shù)值。反之，則反是。若協(xié)方差為0，表示X與Y不相關(guān)。左邊的散點(diǎn)圖說(shuō)明X與Y間有較強(qiáng)負(fù)相關(guān)性；右圖說(shuō)明基本無(wú)相關(guān)性，協(xié)方差近似為0126二、相關(guān)係數(shù)（Correlation）相關(guān)係數(shù)是度量?jī)勺償?shù)之間（線性）相關(guān)性程度的指標(biāo)，是一個(gè)無(wú)量綱的度量，不受觀測(cè)值大小的影響，從而克服了協(xié)方差的局限性。相關(guān)係數(shù)的計(jì)算公式：其數(shù)值大小在-1與+1之間127數(shù)值舉例現(xiàn)有兩項(xiàng)資產(chǎn)：標(biāo)準(zhǔn)普爾(S&P)500指數(shù)的收益率X與金融時(shí)報(bào)100指數(shù)收益率Y，欲計(jì)算二者的相關(guān)係數(shù)：相關(guān)係數(shù)=21.499/（4.73×5.74）=0.793注意：相關(guān)係數(shù)僅僅是一種統(tǒng)計(jì)意義上相互聯(lián)系的度量，並不說(shuō)明有因果關(guān)係。需要進(jìn)行回歸分析以反映因果關(guān)係128三、協(xié)方差與相關(guān)係數(shù)的應(yīng)用——

資產(chǎn)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)度量協(xié)方差與相關(guān)係數(shù)在金融理論和實(shí)踐中有很多應(yīng)用。在這裏，僅僅說(shuō)明其在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合中風(fēng)險(xiǎn)方面的應(yīng)用。至於套期保值風(fēng)險(xiǎn)的回歸分析有關(guān)的相關(guān)性在後面介紹。1291.投資組合的風(fēng)險(xiǎn)度量單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)可以用該資產(chǎn)收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)度量。類似地，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)可以用該投資組合收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量。原理：資產(chǎn)收益是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)，故對(duì)其取值波動(dòng)的衡量（方差）用以表示風(fēng)險(xiǎn)大小。投資組合的方差，等於投資組合中每對(duì)資產(chǎn)間協(xié)方差的加權(quán)之和。其中每個(gè)協(xié)方差的權(quán)重是這兩個(gè)資產(chǎn)各自權(quán)重的乘積，特定資產(chǎn)自己的方差就是一種自己與本身的協(xié)方差。1302.舉例：兩項(xiàng)資產(chǎn)A與B的投資組合風(fēng)險(xiǎn)假設(shè)每項(xiàng)資產(chǎn)的收益分別是a、b,（它們均是隨機(jī)變數(shù)，常用相對(duì)數(shù)表示），組合中每項(xiàng)資產(chǎn)投資額的權(quán)重分別為wA，wB

，可記為權(quán)重列向量為W=（wA，wB

）T我們視該投資組合為一項(xiàng)抽象的資產(chǎn)，則該投資組合的收益的協(xié)方差矩陣可表示：131該投資組合的風(fēng)險(xiǎn)（用方差衡量）可以表示為這裏實(shí)際上是矩陣代數(shù)中的二次型W’ΣW的展開(kāi)式132四、投資多元化的風(fēng)險(xiǎn)減少效應(yīng)我們已經(jīng)知道，通過(guò)多元化的投資組合方式能夠有效降低或減少風(fēng)險(xiǎn)。下麵，我們將討論這一主題。假設(shè)，資產(chǎn)A和B的投資收益率的標(biāo)準(zhǔn)差分別為15%和14%，且組合中資產(chǎn)的投資額權(quán)重相等。首先，考慮資產(chǎn)的收益完全正相關(guān)，即ρ=+1.0的特殊情況。則投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差為這說(shuō)明在兩資產(chǎn)收益率完全正相關(guān)的特殊情況下，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)是各個(gè)單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)的加權(quán)平均。133其次，當(dāng)相關(guān)係數(shù)為0.6時(shí)，投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差為注意：這時(shí)組合後的風(fēng)險(xiǎn)低於其中任何單項(xiàng)資產(chǎn)的投資風(fēng)險(xiǎn)。再次，當(dāng)二資產(chǎn)收益呈完全負(fù)相關(guān)（即ρ=－1.0

）時(shí)，組合投資的風(fēng)險(xiǎn)為可見(jiàn)，組合投資的風(fēng)險(xiǎn)大大降低以至於接近0。因?yàn)楫?dāng)一項(xiàng)資產(chǎn)收益增長(zhǎng)時(shí)，另一項(xiàng)資產(chǎn)收益將下降同樣幅度，則組合資產(chǎn)收益不變，這就是套期保值交易的基礎(chǔ)。134重要啟示由上可見(jiàn)，進(jìn)行投資組合能減少風(fēng)險(xiǎn)的程度取決於風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的相關(guān)性狀況。只有當(dāng)資產(chǎn)間有更強(qiáng)的負(fù)相關(guān)性時(shí)才能更有效的降低風(fēng)險(xiǎn)。因此，所謂投資組合的多元化能有效降低（非系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)的含義，不僅僅是指單純?cè)黾映钟匈Y產(chǎn)的數(shù)目，而關(guān)鍵在於增加那些與現(xiàn)有資產(chǎn)收益呈負(fù)相關(guān)或不相關(guān)的資產(chǎn)數(shù)量。135推廣到一般情形：組合投資資產(chǎn)數(shù)目有N項(xiàng)資產(chǎn)組合的方差運(yùn)算式：只有當(dāng)各投資資產(chǎn)彼此相互獨(dú)立時(shí)，且投資權(quán)重也相同時(shí)候，則可以依靠單純?cè)黾淤Y產(chǎn)數(shù)目N而減少投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。136投資組合能有效降低風(fēng)險(xiǎn)的原理結(jié)論：當(dāng)資產(chǎn)組合數(shù)目N很大時(shí)，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)趨近於單個(gè)資產(chǎn)間的平均協(xié)方差。因?yàn)榈谝豁?xiàng)趨近於0，只剩下第二項(xiàng)這一常數(shù)。因此，一個(gè)單項(xiàng)資產(chǎn)的總風(fēng)險(xiǎn)會(huì)比在投資組合中的風(fēng)險(xiǎn)要大。所以更多的選擇不太相關(guān)的資產(chǎn)納入到組合中能有效降低風(fēng)險(xiǎn)。重要結(jié)論：投資組合的總風(fēng)險(xiǎn)包括兩部分：一部分可以通過(guò)多樣化分散掉的部分，另一部分是不能通過(guò)多樣化分散掉的部分137§2.5指數(shù)(Index)指數(shù)與人們的日常生活密切相關(guān)。例如，居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)CPI、零售物價(jià)指數(shù)、股票價(jià)格指數(shù)，等等。指數(shù)：是指某一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在某一時(shí)期內(nèi)的數(shù)值與同一現(xiàn)象在另一個(gè)時(shí)期內(nèi)的數(shù)值的比值，它是個(gè)相對(duì)數(shù)，是一個(gè)描述統(tǒng)計(jì)量。指數(shù)之所以有用，就是概括了一組變數(shù)的綜合變化。如零售價(jià)格指數(shù)概括了“典型”家庭購(gòu)買的一籃子商品或服務(wù)價(jià)格的變化。FTSE100指數(shù)概括了紐約股票交易所中列出的100種股票的價(jià)格變化。性質(zhì)：相對(duì)性、綜合性、平均性。138一、比較指標(biāo)指數(shù)價(jià)格指數(shù)的最簡(jiǎn)單形式可以設(shè)計(jì)成單一商品的價(jià)格比值。如某一商品今天價(jià)格為P1,而昨天價(jià)格為P0，則此商品的相對(duì)價(jià)格就是價(jià)格比值，即P1/P0。如果價(jià)格比值>１,則說(shuō)明價(jià)格上漲了。例如，如果第０天價(jià)格為12，第１天價(jià)格為14，則價(jià)格比值就是14/12＝1.1667,即價(jià)格上漲了？；若第１天價(jià)格下降為11,則比值11/12=0.9167,說(shuō)明價(jià)格下降了？所以，指數(shù)的特點(diǎn)是要有一個(gè)可供比較的基期。指數(shù)的另一個(gè)特點(diǎn)是基礎(chǔ)價(jià)格（或基礎(chǔ)數(shù)量）被按照比例調(diào)整成100,或1000,則我們僅需要將價(jià)格比值乘以100或1000,如前例中，價(jià)格比值為116.67

(或91.67)139對(duì)於能概括出許多基礎(chǔ)變數(shù)的變化的指數(shù)而言，就必須面臨如何將眾多單一變數(shù)的變化“綜合”成一個(gè)指數(shù)問(wèn)題。其中，包括兩個(gè)重要問(wèn)題：一是如何“平均”這許許多多的變數(shù)的變化以便得到某一種單一的指數(shù)？二是怎樣看待其中的每個(gè)變數(shù)的相對(duì)重要性？140二、平均化方法的選擇如何把大量變數(shù)進(jìn)行綜合和平均，常用的平均化方法有算數(shù)平均與幾何平均。以四種股價(jià)為例來(lái)加以說(shuō)明：1.算數(shù)平均方法：通過(guò)簡(jiǎn)單算術(shù)平均法得到的指數(shù)計(jì)算公式為：2.幾何平均法：公式但是幾何平均法有固有的偏差，其指數(shù)低估上升的幅度或高估下降的幅度，且一旦有一個(gè)成分股票下降到0，整個(gè)指數(shù)將下降到零，此外，指數(shù)表示的收益與成分股票構(gòu)成的投資組合的實(shí)際收益不盡一致。因此，我們選擇算數(shù)平均方法進(jìn)行綜合141三、加權(quán)方法的選擇對(duì)指數(shù)中組成成分的股票賦予權(quán)重用來(lái)反映它們的相對(duì)重要性。通常有四種加權(quán)形式：對(duì)各成分同等加權(quán)；容易誇大小公司股價(jià)的變化，而低估大公司價(jià)格變化對(duì)各成分根據(jù)基期價(jià)格或數(shù)量加權(quán)；對(duì)各成分根據(jù)現(xiàn)期價(jià)格或數(shù)量加權(quán)；對(duì)各成分根據(jù)現(xiàn)期價(jià)值加權(quán)，即價(jià)格×數(shù)量為權(quán)重142其中，第四種加權(quán)法構(gòu)成的指數(shù)

稱為資本加權(quán)指數(shù)大多數(shù)股票交易所，是根據(jù)市場(chǎng)組成成分的現(xiàn)期市場(chǎng)資本進(jìn)行加權(quán)，即通過(guò)已發(fā)行證券的現(xiàn)期價(jià)格乘以現(xiàn)期數(shù)量來(lái)計(jì)算。該指數(shù)隨著每個(gè)證券相對(duì)價(jià)值的變化而變化，該變化也可能是單純由於價(jià)格、或單純數(shù)量、或二者同時(shí)變化引起的。如果某證券的相對(duì)價(jià)值上升，則其重要性會(huì)隨著權(quán)重（價(jià)格×數(shù)量）的增加而增加。當(dāng)然，若一個(gè)公司發(fā)行了更多股票，只要P不下降，則P×Q就會(huì)增加，則該證券在指數(shù)中的權(quán)重就增加。所以，資本加權(quán)指數(shù)偏向於比較成功的公司，因?yàn)檫@些公司有不斷上升的股價(jià)和增發(fā)股票，他們的權(quán)重就增加。另外，不成功的公司由於股價(jià)下降而最終會(huì)被擠出指數(shù)，為那些最初不是指數(shù)成分的其他更成功的公司的進(jìn)入讓路。143目前，大部分的股票市場(chǎng)指數(shù)是市場(chǎng)資本加權(quán)法計(jì)算的，只有一小部分採(cǎi)用的是價(jià)格比值的算數(shù)平均值法，或者是幾何平均值法。比如，道·瓊斯工業(yè)平均指數(shù)、美國(guó)交易所的主要市場(chǎng)指數(shù)MMI都是採(cǎi)用算數(shù)平均形式計(jì)算。金融時(shí)報(bào)Ordinary指數(shù)就是30種股票同等加權(quán)的價(jià)格比值的幾何平均值。倫敦FTSE100和250指數(shù)、美國(guó)S$P100和500指數(shù)則是市場(chǎng)資本加權(quán)的價(jià)格比值的算數(shù)平均值。144舉例說(shuō)明，市場(chǎng)資本加權(quán)的價(jià)格比值的算數(shù)平均法現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)由四只股票構(gòu)成一個(gè)指數(shù)。已知：公司A發(fā)行1000股股票，每股股價(jià)100；公司B發(fā)行10000股股票，每股股價(jià)25；公司A發(fā)行5000股股票，每股股價(jià)50；公司A發(fā)行8000股股票，每股股價(jià)50；則每一個(gè)公司的市場(chǎng)資本為A：1000×100=100000；B：10000×25=250000；C：5000×50=250000；D：8000×50=400000市場(chǎng)資本的總價(jià)值就是1000，000，這就是指數(shù)的基本價(jià)值，比如它可抽象為1000點(diǎn)；145為了編制表示成分股票價(jià)格變化情況的指數(shù)，假如一天後股票價(jià)格分別為，PA=105；PB=260；PC=45；PD=55；此時(shí)的市場(chǎng)資本為1030000。則指數(shù)為1030000/1000=1030點(diǎn)；也就是說(shuō)，雖然其中有的股價(jià)下降了，但指數(shù)的總價(jià)值比最初時(shí)候還是上升了。146四.股票價(jià)格指數(shù)的含義是指能夠反映某一股票市場(chǎng)上多種股票價(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)的相對(duì)數(shù)，或者說(shuō)，是一種反映股市總體價(jià)格變動(dòng)和走勢(shì)的指標(biāo)，簡(jiǎn)稱股價(jià)指數(shù)。其單位一般用“點(diǎn)(point)”表示．一般將基期指數(shù)作為100，每上升或下降一個(gè)單位稱為“1點(diǎn)”。也有的成分指數(shù)的基期指數(shù)作為1000點(diǎn)。目前，世界各國(guó)主要交易所都有自己的股票價(jià)格指數(shù)，如美國(guó)的道·瓊斯股票價(jià)格指數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)普爾股票價(jià)格指數(shù)、日本的日京指數(shù)、香港的恒生指數(shù)、等。我國(guó)，上海證券交易所和深圳證券交易所發(fā)佈的綜合指數(shù)基準(zhǔn)日指數(shù)均為100點(diǎn)；而兩所發(fā)佈的成分指數(shù)基準(zhǔn)日指數(shù)均為1000點(diǎn)。1471.股價(jià)指數(shù)的分類（1）根據(jù)股價(jià)指數(shù)反映的價(jià)格走勢(shì)所涵蓋的範(fàn)圍不同，可以分為綜合指數(shù)：反映整個(gè)股市價(jià)格走勢(shì)。如，上證綜合指數(shù)、深證綜合指數(shù)分類指數(shù)：反映某一行業(yè)或某一類股票價(jià)格走勢(shì)。如，工業(yè)指數(shù)、農(nóng)林牧漁業(yè)指數(shù)（2）根據(jù)納入的股票樣本數(shù)量不同，可分為全上市股票價(jià)格指數(shù)：成分指數(shù)：如上證30指數(shù)、滬深300指數(shù)1482.股票價(jià)格指數(shù)的常用計(jì)算一般公式一般多採(cǎi)用以報(bào)告期的發(fā)行數(shù)量為權(quán)重的加權(quán)平均方法計(jì)算，其公式為其中，pi為第i種股票價(jià)格，qi為第i種股票的發(fā)行量，一般以報(bào)告期為權(quán)數(shù)。1493.舉例說(shuō)明假設(shè)有三種股票的價(jià)格和發(fā)行量數(shù)據(jù)如下表所示。試計(jì)算股票價(jià)格指數(shù)。這說(shuō)明股價(jià)指數(shù)上漲了24.68點(diǎn).股票名稱基期價(jià)格p0某日收盤價(jià)pi報(bào)告期發(fā)行量qiABC102518152125250010001500150編制股票指數(shù)要考慮的因素基準(zhǔn)期的選擇：可以是過(guò)去的某一天，或某個(gè)時(shí)期，也可以是特定一段時(shí)間的平均值；同時(shí)基期不能是太遙遠(yuǎn)的過(guò)去。指數(shù)成分的選擇：在金融市場(chǎng)，指數(shù)成分是由要反映的部門決定的，一般應(yīng)該是由大公司的股票構(gòu)成，但由於公司電話i便哈u的主題，股票指數(shù)的構(gòu)成成分也不斷變化，有些公司由於不再符合指數(shù)進(jìn)入準(zhǔn)則而離開(kāi)指數(shù)成分公司，也有些公司因符合進(jìn)入準(zhǔn)則而進(jìn)入指數(shù)，151舉例說(shuō)明，股票價(jià)格指數(shù)FTSE100指數(shù)是由倫敦股票交易所根據(jù)資本價(jià)值確定的100家最大公司組成的。因而該指數(shù)是資本加權(quán)指數(shù)（按照市場(chǎng)資本劃分組成成分），指數(shù)成分隨相對(duì)資本變化而變化，基準(zhǔn)值是1000點(diǎn)，基準(zhǔn)日是1984年12月31日，在交易日內(nèi)分鐘計(jì)算一次股價(jià)指數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)普爾100指數(shù)，也是資本加權(quán)指數(shù)，包括美國(guó)前100只交易最活躍的股票；S%P500包括紐約股票交易所最大的456只股票，ＮＡＳＤＡＱ交易的３６只股票以及交易所其他８支股票；152本章作業(yè)由第三和第四小組分別各自尋找一個(gè)應(yīng)用實(shí)例來(lái)說(shuō)明描述統(tǒng)計(jì)學(xué)方法在你們已學(xué)過(guò)的許多金融知識(shí)中的應(yīng)用，並撰寫一個(gè)應(yīng)用分析小論文。請(qǐng)通過(guò)查閱相關(guān)資料來(lái)分別舉例說(shuō)明我國(guó)上海證券交易所和深圳證券交易所發(fā)佈的一些綜合指數(shù)的基準(zhǔn)日是哪一天？其基礎(chǔ)價(jià)值又是多少？並舉出其中具體的一種股價(jià)指數(shù)的計(jì)算方法。153§3.1概率論基礎(chǔ)及常用的金融概率分佈一、概率論基礎(chǔ)二、幾個(gè)常用的金融概率分佈154一、概率論基礎(chǔ)1.隨機(jī)事件及其概率計(jì)算2.隨機(jī)變數(shù)及其概率分佈3.隨機(jī)變數(shù)的數(shù)字特徵1551.隨機(jī)事件及其概率計(jì)算（1）隨機(jī)事件：A、B（2）事件的加法法則：P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)（3）事件的乘法法則：P(AB)=P(A)·P(B/A）=P(B)·P(A/B）156例如，假定金融時(shí)報(bào)100指數(shù)以0.55的概率上升，以0.45的概率下跌；還假定同一時(shí)間內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)以0.35的概率上升，以0.65概率下跌；再假定兩個(gè)指數(shù)可能以0.3的概率同時(shí)上升。那麼，（1）金融時(shí)報(bào)100指數(shù)，或者標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)上升的概率是多少？（2）若兩指數(shù)相互獨(dú)立，二者同時(shí)上漲的概率多大？（3）在給定金融時(shí)報(bào)100指數(shù)已經(jīng)上漲的條件下，標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)上漲的概率多大？1572.隨機(jī)變數(shù)及其概率分佈（1）隨機(jī)變數(shù)的定義將隨機(jī)變數(shù)X（ω）視為定義在樣本空間Ω上的函數(shù)。簡(jiǎn)言之，隨機(jī)變數(shù)是依賴於隨機(jī)結(jié)果的特殊變數(shù)。這是R.V.的本質(zhì)。（2）概率分佈的定義一種描述概率分佈的方法是，分別就離散型與連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)分別討論：對(duì)應(yīng)地用分佈列與密度函數(shù)來(lái)刻畫其概率分佈；另一種刻畫概率分佈的方法是，二者統(tǒng)一用分佈函數(shù)來(lái)刻畫其概率分佈狀況?！?583.隨機(jī)變數(shù)的數(shù)字特徵：期望與方差1.數(shù)學(xué)期望2.方差注意其經(jīng)濟(jì)意義159二、幾個(gè)常用的金融概率分佈1.離散型R.V.的分佈：二項(xiàng)式分佈、泊松（Poisson）分佈2.連續(xù)型R.V.的分佈：正態(tài)分佈、對(duì)數(shù)正態(tài)分佈1601.二項(xiàng)(式)分佈金融中最重要的離散分佈之一就是二項(xiàng)式分佈,也稱為貝努利(Bernoulli)分佈。某隨機(jī)變數(shù)X必須滿足下列條件：第一，每一次觀測(cè)或試驗(yàn)中，變數(shù)只能出現(xiàn)兩個(gè)可能的取值或結(jié)果：“成功”或“失敗”第二，對(duì)於連續(xù)進(jìn)行的n次觀測(cè)或試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)，每個(gè)可能結(jié)果的概率是常數(shù)；第三，每次試驗(yàn)是獨(dú)立的記每一次試驗(yàn)中”成功”的概率為p,且連續(xù)進(jìn)行的n次獨(dú)立試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)記作隨機(jī)變數(shù)X。則稱為X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)式分佈，記為其中，X可能取值為0，1，2，…，n161二項(xiàng)概率公式、期望值與標(biāo)準(zhǔn)差：假設(shè)用X表示連續(xù)獨(dú)立的n次試驗(yàn)中，“成功”這一結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)，則X是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)，其所有可能的取值為0，1，2，…，n;且某一隨機(jī)結(jié)果（即”成功”出現(xiàn)j次）發(fā)生的概率為服從二項(xiàng)分佈的隨機(jī)變數(shù)X的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為162特別的，當(dāng)n=1時(shí),X就成為極其特殊的０—１分佈Ｐ(Ｘ＝j(luò))=pj(1-p)1-j,(j=0,1)163比如，資產(chǎn)價(jià)格在下一分鐘內(nèi)上升或下降的概率均為0.5，那麼，下兩分鐘內(nèi)，價(jià)格上升2次、1次和0次的概率分別為164當(dāng)二項(xiàng)分佈的n很大時(shí)，即隨機(jī)結(jié)果有大量觀測(cè)值時(shí)，而且其均值既不接近於0，也不接近於n時(shí)，此時(shí)，二項(xiàng)分佈接近於正態(tài)分佈。二項(xiàng)分佈是模擬資產(chǎn)價(jià)格的行為的有利工具。特別是在模擬衍生證券的定價(jià)，構(gòu)造數(shù)值近似的價(jià)格時(shí)非常有用，應(yīng)該深刻理解其概率分佈的特點(diǎn)。1652.泊松（Poisson）分佈我們假定，引起市場(chǎng)價(jià)格發(fā)生顯著變化的資訊是以一種離散的、獨(dú)立、隨機(jī)和均勻速度運(yùn)動(dòng)的。比如，平均每分鐘有10條資訊到達(dá)交易所，那麼請(qǐng)問(wèn)：“在下一分鐘內(nèi)僅有8條資訊到達(dá)的概率為多少？”比如，我們嘗試用n=60,概率為p=1/6的二項(xiàng)公式分佈來(lái)模擬它，那麼，60秒(即一分鐘內(nèi)的間隔為一秒)內(nèi)資訊到達(dá)的數(shù)量可能分別為0，1，2，…,60條，共計(jì)61種可能結(jié)果，對(duì)於可能的結(jié)果j=8而言，其概率為166二項(xiàng)分佈模型的局限性：在資訊高速發(fā)展的資訊時(shí)代，每秒鐘內(nèi)甚至每個(gè)瞬間內(nèi)都有資訊運(yùn)動(dòng)更細(xì)化為n=120（每半秒間隔）,p=1/12,其對(duì)應(yīng)的概率為類似地，隨著逐漸減少時(shí)間間隔，模型的數(shù)據(jù)量越來(lái)越多，隨機(jī)變數(shù)的可能取值越來(lái)越多，但最後的概率值並沒(méi)有多大改變：對(duì)於n=240,p=1/24,概率為0.113534；對(duì)於n=480,p=1/48,概率為0.113067；這就是該模型的局限性。即隨著觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，概率值不再敏感了167Poisson分佈是二項(xiàng)式分佈的極端情形當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n趨於無(wú)窮大，成功的概率p趨於0，而均值λ=np為常數(shù)的情形。概率公式為記作P(λ)。Poisson分佈有一個(gè)參數(shù)λ，代表事件發(fā)生的平均速度（數(shù)學(xué)期望），在上例中為10，即1分鐘內(nèi)平均有10條資訊到達(dá)，且其具體的可能取值有無(wú)窮多。對(duì)於均值為10的Poisson分佈，發(fā)生8次事件的概率為168Poisson分佈的期望與方差相等，均為λ如果λ足夠大，我們就可用正態(tài)分佈N（λ，λ）來(lái)近似估計(jì)Poisson分佈169Poisson分佈的應(yīng)用以金融時(shí)報(bào)100指數(shù)的日收益率大幅度波動(dòng)的概率模型為例來(lái)說(shuō)明Poisson分佈的應(yīng)用。我們感興趣的是模擬該指數(shù)的日變化（即日收益率）超過(guò)1%的過(guò)程。首先，需要估計(jì)出來(lái)λ的數(shù)值才能已知Poisson分佈。根據(jù)該指數(shù)自1984年1月3日到1992年4月3日期間的日數(shù)據(jù)的分析表明：在這8.25年中，每6個(gè)月內(nèi)該指數(shù)日變化超過(guò)1%的平均次數(shù)為5次，則λ=5。170那麼，欲求在接下來(lái)的6個(gè)月內(nèi)，至少發(fā)生3次這種變化的概率多大？採(cǎi)用逆事件的概率求解。需要首先分別求出發(fā)生0、1、2次的概率，之後再用1減去這幾種可能的概率即可。設(shè)X表示發(fā)生的次數(shù)：則有概率如下171因此，有所以，在接下來(lái)的6個(gè)月內(nèi)該指數(shù)的日收盤價(jià)的變化至少有3次超過(guò)1%的可能性是95.1%，也就是說(shuō)，該股價(jià)指數(shù)日收益率超過(guò)１％至少有三次的概率高達(dá)95.1％1723.正態(tài)分佈(Normaldistribution)因?yàn)榇蠖鄶?shù)據(jù)的頻數(shù)分佈都是正態(tài)或高斯（Gauss）分佈，因而正態(tài)分佈應(yīng)用最廣泛。它是連續(xù)分佈，可用於模擬離散型的隨機(jī)變數(shù)。173正態(tài)分佈的密度函數(shù)曲線其密度曲線是對(duì)稱的鐘形曲線。其統(tǒng)計(jì)特性主要由分佈的均值與標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)確定。因?yàn)榫抵赋隽嗣芏惹€的中心位置，標(biāo)準(zhǔn)差指出了鐘形是怎樣的陡峭程度。可以證明：174正態(tài)分佈的基本定理：中心極限定理為何假定很多隨機(jī)變數(shù)都服從正態(tài)分佈的合理性依據(jù)就是中心極限定理。該定理告訴我們：不論一個(gè)隨機(jī)變數(shù)數(shù)據(jù)的原始分佈是什麼樣的，只要分佈具有有限方差，則該隨機(jī)變數(shù)的大量獨(dú)立樣本的均值將服從正態(tài)分佈。即，大樣本數(shù)據(jù)的均值的分佈近似為正態(tài)分佈175舉例說(shuō)明：考慮某股價(jià)指數(shù)的每分鐘變化情況假設(shè)，在接下來(lái)的一分鐘內(nèi)，指數(shù)X會(huì)以相等的概率上升或下跌一個(gè)點(diǎn)，即分佈為０—１分佈：可能的結(jié)果：-1+1

概率：0.50.5同理，指數(shù)在2分鐘內(nèi)的可能結(jié)果的分佈為可能的結(jié)果：-20+2

概率：0.250.50.253分鐘內(nèi)可能結(jié)果分佈為可能的結(jié)果：-3-1+1+3

概率：1/83/83/81/84分鐘內(nèi)可能結(jié)果分佈為可能的結(jié)果：-4-20+2+4

概率：1/161/43/81/41/16可見(jiàn)，繼續(xù)這一過(guò)程，當(dāng)數(shù)據(jù)增多時(shí)呈現(xiàn)出來(lái)明顯的集中趨勢(shì)，而取值兩端的概率越來(lái)越小。176標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈的概率密度及其圖形我們把均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分佈稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈，記號(hào)為N（0，1）；其概率密度函數(shù)運(yùn)算式為對(duì)於服從普通正態(tài)分佈N（μ，σ2）的隨機(jī)變數(shù)X而言，則實(shí)行下列的標(biāo)準(zhǔn)化變換就可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變數(shù)：177正態(tài)分佈如何轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分佈，並查表查出概率的數(shù)值比如，我們希望得到一個(gè)給定資產(chǎn)的收益率介於4.9%和5%之間的概率，並且已知該資產(chǎn)的收益率服從均值為4%，標(biāo)準(zhǔn)差為1%的正態(tài)分佈，即X～

N（4,12）。首先求出，收益率4.9%和5.0%對(duì)應(yīng)的z值分別為z=(4.9-4)/1.0=0.9z=(5.0-4)/1.0=1.0其次，查表查出介於0與0.9之間的面積為P1=0.3159以及介於0與1.0之間的概率P2=0.3413最後，二者概率之差即為所求面積或概率圖中的數(shù)值均為如下三個(gè)概率（面積）P（0<X<0.9）=0.3159;P（0<X<1.0）=0.3416資產(chǎn)的收益率介於4.9%和5%之間的概率為2.54%1784.對(duì)數(shù)正態(tài)分佈

中心極限定理表明，若干獨(dú)立同分佈的隨機(jī)變數(shù)相加的加法過(guò)程能夠產(chǎn)生正態(tài)分佈的隨機(jī)變數(shù)，那麼乘法過(guò)程呢？例如，考慮某一證券在時(shí)間間隔△t內(nèi)的相對(duì)價(jià)格，我們用S(t)和S(t+△t)分別表示在t和t+△t時(shí)刻的證券價(jià)格。那麼，在該時(shí)間間隔內(nèi)的價(jià)格比為179對(duì)數(shù)正態(tài)分佈的推導(dǎo)過(guò)程180對(duì)數(shù)正態(tài)分佈的定義：如果一個(gè)隨機(jī)變數(shù)的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分佈，則稱該隨機(jī)變數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分佈的。換言之，如果LnX～N(μ,σ２),則稱X為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分佈。由上面可知，一系列隨機(jī)變數(shù)的乘法過(guò)程將產(chǎn)生一個(gè)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分佈的隨機(jī)變數(shù)181對(duì)數(shù)正態(tài)分佈的概率密度曲線特點(diǎn)：該隨機(jī)變數(shù)不可能取負(fù)值，且取極端最高值的概率接近於0，這與我們觀察到的證券價(jià)比變化規(guī)律是類似的，克服了正態(tài)分佈的局限性，因而特別適合於描述資產(chǎn)價(jià)格的行為規(guī)律。因此，證券價(jià)格比的乘法過(guò)程會(huì)產(chǎn)生這類變數(shù)，即證券價(jià)格比常