考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計講義

考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率統(tǒng)計講義第一章 隨機事件與概率一、隨機試驗與隨機事件（一）基本概念1、隨機試驗—具備如下三個條件的試驗：（3）某次試驗之前不確定具體發(fā)生的結(jié)果，這樣的試驗稱為隨機試驗，記為E。2、樣本空間—隨機試驗的所有可能的基本結(jié)果所組成的集合，稱為隨機試驗的樣本空間。3、隨機事件—樣本空間的子集稱為隨機事件。（二）事件的運算1、事件的積—事件A與事件B同時發(fā)生的事件，稱為事件B的積，記為AB。2、事件的和—事件A或者事件B發(fā)生,稱為事件B的和事件，記為AB。3、事件的差—事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,稱事件B的差事件，記為AB。（三）事件的關(guān)系1、包含—若事件A發(fā)生則事件B一定發(fā)生，稱A包含于B，記為AB。若AB且BA，稱兩事件相等，記AB。2、互斥（不相容）事件—若A與B不能同時發(fā)生，即AB，稱事件B不相容或互斥。3、對立事件—若AB且AB稱事件B為對立事件。A(AB)AB，且AB與AB互斥。（2）AB(AB)(BAB，且AB,BAB兩兩互斥。（四）事件運算的性質(zhì)ABA(或B)AB； （2）ABABBA；AAAAA；（2）A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)；A(AB)A； （2）(AB)AAB；（3）AB(AB)AB(B。AA； （2）AA。二、概率的定義與性質(zhì)（一）概率的定義—設(shè)隨機試驗的樣本空間為，滿足如下條件的隨機事件的函數(shù)P()稱為所對應(yīng)事件的概率：1、對事件A，有P(A)02、P() 3、設(shè),,L,,L為不相容的隨機事件，則有P(U)P()（二）概率的基本性質(zhì)1、P()0。

n1

n1n n2、設(shè),,L,為互不相容的有限個隨機事件列，則P(U)P()。k

k3、P(A)1P(A)。P(AB)P(A)P(AB)。（三）概率基本公式1、加法公式（1）P(AB)P(A)P(B)P(AB)。（2）P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)。2、條件概率公式：設(shè)B是兩個事件，且P(0，則P(B|A)P(AB)。P(A)3、乘法公式（1）設(shè)P(A)0，則P(AB)P(A)P(B|A)。（2）P(L)P()P(|)P(|)LP(|L)。三、事件的獨立性1、兩個事件的獨立—設(shè)B是兩個事件，若P(AB)P(A)P(B)，稱事件B相互獨立。??P(AB)P()P(B);??2、三個事的獨立—設(shè),B,C是三個事件，若?P(AC)P()PC);??P(BC)P(B)PC);?P(ABC)P()P(B)PC),

，稱事件B,C相互獨立。【注解】（1）B相互獨立的充分必要條件是B

、B、B任何一對相互獨立。（2）設(shè)P(A)0或P(A)1，則A與任何事件B獨立。（3）設(shè)P(A)P(B)0，若B獨立，則B不互斥；若B互斥，則B不獨立。四、全概率公式與Bayes公式1、完備事件組—設(shè)事件組,,L,Aj(i,jn,i

j)；n（2）U，則稱事件組,,L,為一個完備事件組。i12、全概率公式：設(shè),,L,是一個完備事件組，且P()0(in)，B為事件，則nP(B)P()P(B|)。i13、貝葉斯公式：設(shè),,L,為一個完備事件組，且P()0(in)，B為任一隨機事件，P(B)0，則P(A|B)P()P(B|)。i P(B)例題選講一、填空題1、設(shè)P(0.4,P(AB)0.7，（1）若B不相容，則P(B) B相互獨立，則P(B) 。2、設(shè)P(P(B)P(C)。

1,P(AB)P(AC)P(BC)14 6

，則事件B,C全不發(fā)生的概率為3、設(shè)兩兩相互獨立的事件B,C滿足：ABC,P(P(B)P(C)1P(ABC)9，2 16則P( 。4、設(shè)事件B滿足P(AB)P(AB)，且P(p，則P(B) 。BB都不發(fā)生的概率為1發(fā)生B不發(fā)生的概率與A不發(fā)生B9發(fā)生的概率相等，則P( 。二、選擇題：1、設(shè)B是兩個隨機事件，且0P(P(B)P(B|P(B|，則[ ](A)P(A|B)P(A|B)；

(B)P(A|B)P(A|B)；(C)P(AB)P(A)P(B)；

(D)P(AB)P(A)P(B)。2、設(shè)事件B滿足0P(P(B)1，且P(A|B)P(A|B)1，則[ ](事件B對立；

(B)事件B相互獨立；(C)事件B不相互獨立；

(D)事件B不相容。三、解答題10個正品和22次品的的概率。2、設(shè)工廠A與工廠B的次品率分別為1%和2%，現(xiàn)從由A和B生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，求該次品是A生產(chǎn)的概率。A在每次試驗中的概率為p，三次獨立重復(fù)試驗中事件A至少出現(xiàn)一次的概率為19A27發(fā)生的概率p。4、甲乙兩人獨立對同一目標(biāo)射擊一次，命中率分別為50%和60%，已知目標(biāo)被命中，求是甲命中的概率。第二章 一維隨機變量及其分布一、基本概念1、隨機變量—設(shè)為隨機試驗E的樣本空間，為定義在上的函數(shù)，對任意的，總存在唯一確定的()與之對應(yīng)，稱為隨機變量，若的可能取值為有限個或可列個，稱為離散型隨機變量，若在某可區(qū)間上連續(xù)取值，稱為連續(xù)型隨機變量。2、分布函數(shù)—設(shè)為一個隨機變量，稱函數(shù)F(x)x}(x)為隨機變量的分布函數(shù)?！咀⒔?】分布函數(shù)的四個特征為（1）0F(x)1。 （2）F(x)單調(diào)不減。（3）F(x)右連續(xù)。 （4）F()0,F()1?！咀⒔?】分布函數(shù)的性質(zhì)（1）P{XF(a0)。 （2）P{X

F(a)F(a0)。（3）xF(b)F(a)。 （4）XF(b0)F(a)。3、離散型隨機變量的分布律—稱P{Xxi}piin)稱為隨機變量X的分布律。piin)。 （2）p2Lpn1。4、連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)—設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得xF(x)ft)dt，稱f(x)為X的密度函數(shù)?！咀⒔猓ゝ(x)0。 （2）f(x)dx1。二、常見隨機變量及其分布（一）離散型n1、二項分布—若隨機變量X的分布律為P{Xk}Ckpkp)nk(0kn)，稱隨機變量X服從二項分布，記為X~B(n,p)。nk2、Poisson分布—若隨機變量X的分布律為P{Xk}k

e(k，稱隨機變量X服從泊松分k!布，記為X~()。3、幾何分布—若隨機變量X的分布律為P{Xk}p)k(k，稱隨機變量X服從幾何分布，記為X~G(p)。（二）連續(xù)型

?1,axb?1、均勻分布—若隨機變量的密度函數(shù)為f(x)?ba?,

，稱隨機變量服從均勻分布，記為?,x0??~U(a,b)，其分布函數(shù)為F(x)?xa,axb。??ba,xb2、正態(tài)分布—若隨機變量的密度函數(shù)為f(x)1e2

(x)222

(x)，稱隨機變量服從正態(tài)~N(,2)0,1，稱隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為~Nx2x為(x)1e2(x)，其分布函數(shù)為x(x)t)dt。

exx3、指數(shù)分布—若隨機變量的密度為f(x)?

, 0(0)，稱隨機變量服從指數(shù)分布，記為,x0,x0~E()，其分布函數(shù)為F(x)?1e

x

。,x0(0)1,(a)1(a)。2（2）若~N(,2)，則}}1。2（3）若~N(,2)，則~N。（4）若~N(,2)，則F(b)F(a)(b)(a)。 例題選講一、選擇題1、設(shè)X1,X2的密度為f1(x),f2(x)，分布函數(shù)為(x),(x)，下列結(jié)論正確的是[ ]((x)(x)為某隨機變量的分布函數(shù)；(B)f1(x)f2(x)為某隨機變量的密度函數(shù)；(C)F1(x)F2(x)為某隨機變量的分布函數(shù)；(D)f1(x)f2(x)為某隨機變量的密度函數(shù)。2、設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其分布函數(shù)為F(x)，則 [ ](A)F(x)為偶函數(shù)；

(B)F(a)2F(a)1；a 1 aC)F(a)10

f(x)dx；

(D)F(a) 2 0

f(x)dx。3、設(shè)X~N(,42),Y~N(,52)，令pP{Xq5}，則 [ ](對任意實數(shù)都有pq；

(B)對任意實數(shù)都有pq；(C)對個別，才有pq；

(D)對任意實數(shù)，都有pq。4、設(shè)X~N(,2)，則隨的增大，概率X} [ ](單調(diào)增大；

(B)單調(diào)減少； `(C)保持不變；

(D)增減不確定。二、填空題1、設(shè)X~N(,2),方程y24yX0無實根的概率為1,則 。22、設(shè)X~B(2,p),Y~B(3,p),若P{X5 。9三、解答題1、有3個盒子，第1個盒子有4個紅球1個黑球，第2個盒子有3個紅球2個黑球，第3個盒子有2球3個黑球，若任取一個盒子，從中任取3個求，以X表示紅球個數(shù)。（1）寫處X的分布律； （2）求紅球個數(shù)不少于2個的概率。?,x1??2、設(shè)離散隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),1x1，求X的分布律。?1x2,x2?Aex,x0??3、設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)?B0x1 ，??1Ae

(x1)

,x1（1）求B； （2）求密度函數(shù)f(x)； （3）求P{X1}。34、設(shè)X~U(0,2)，求隨機變量YX2的概率密度。5、設(shè)X~N，且YX2，求隨機變量Y的概率密度。第三章 二維隨機變量及其分布一、基本概念1、聯(lián)合分布函數(shù)—設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，稱F(x,y)P{Xx,Yy}為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。2、二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律—設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機變量，稱P{Xxi,Yyj}pij(im,jn)為(X,Y)的聯(lián)合分布律，稱n mP{Xxi}pijpi(im),yj}pijpj(jn)j

i1分別為隨機變量X,Y的邊際分布律。3、連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)—設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，若存在f(x,y)0，使得xduF(x,y){Xx,Y}du

yfu,v)dv，稱f(x,y)為隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，稱 fX(x)f(x,y)dy,fY(y)f(x,y)dx分別為隨機變量X,Y的邊際密度函數(shù)?！咀⒔狻柯?lián)合分布函數(shù)的特征有（1）0F(x,y)1。（2）F(x,y)關(guān)于x,y為單調(diào)不減函數(shù)。（3）F(x,y)關(guān)于x或者y都是右連續(xù)。（4）F(,)0,F(,)0,F(,)0,F(,)1。二、常見的二維連續(xù)型隨機變量1、均勻分布—設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y)

?1,(x,y)D??A?

，其中A為區(qū)域D的面積，稱(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布。,(x,y)D2、正態(tài)分布—設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為1f(x,y) 1 1 [(x)22(x)(y2)(y2)2]}則稱(X,Y)服1212

122)

12 2從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)~N(,

,2,2,)，其中

0,

0。1 2 1 2 1 2【注解】若(X,Y)~N(,

,2,2,)，則X~N(,2),Y~N(

,2)。1 2 1 2

1 1 2 2二、隨機變量的條件分布與隨機變量的獨立性（一）二維離散型隨機變量的條件分布1、設(shè)yj}0，在事件{Yyj}發(fā)生的情況下，事件{Xxi}發(fā)生的條件概率為P{Xxi|Yyj}

pijpj

(i；2、設(shè)P{Xxi}0，在事件{Xxi}發(fā)生的情況下，事件{Yyj}發(fā)生的條件概率為yj|Xxi}（二）二維連續(xù)型隨機變量的條件密度

pijpi

(j。

f(x,y)1、設(shè)fY(y)0，則在“Yy”的條件下，X的條件概率密度為fX(x|y) 。fY(y)f(x,y)2、設(shè)fX(x)0，則在“Xx”的條件下，Y的條件概率密度為fY|X(y|x) 。fX(x)（三）隨機變量的獨立性1、定義—設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，若對任意的x,y都有F(x,y)FX(x)FY(y)，稱隨機變量X,Y相互獨立。2、獨立的充分必要條件（1）離散型隨機變量—設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機變量，則X,Y相互獨立的充要條件是pijpi.p.j(ij。（2）連續(xù)型隨機變量—設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，則X,Y相互獨立的充要條件是f(x,y)

fX(x)fY(y)【注解】若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，求(X,Y)的分布或數(shù)字特征時常需要使用聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)，一般有如下三種情況：（1）題中直接給出f(x,y)（2）X,Y服從的分布已知且X,Y獨立，則f(x,y)

fX(x)fY(y)。（3）X的邊緣分布已知，且Y的條件密度已知，則f(x,y)

fX(x)fY|X(y|x)。三、隨機變量函數(shù)的分布已知(X,Y)的分布，Z(X,Y)，關(guān)于Z的分布有以下幾種情形：情形一：設(shè)(X,Y)為離散型隨機變量，Z(X,Y)，則Z為離散型隨機變量，求出其可能取值及對應(yīng)的概率即可。情形二：(X,Y)為連續(xù)型隨機變量，Z(X,Y)，其中為連續(xù)函數(shù)，則Z為連續(xù)型隨機變量，可用分布函數(shù)定義求Z的分布。情形三：X,Y中一個為連續(xù)型隨機變量，一個為離散型隨機變量，求Z(X,Y)的分布例題選講一、選擇題1、設(shè)相互獨立的隨機變量X,Y分別服從N及N，則[ ](A)P{XY1；2

(B)P{XY1；2(C)P{XY1；2

(D)P{XY1。2二、填空題1、設(shè)

X,Y

為兩個隨機變量，且

P{X0,Y3,P{X4，則7 7P{max(X,Y) 。三、解答題10個大小相同的球，其中6個紅球421個，定義如下兩個隨機,次抽到紅球

,次抽到紅球變量：X?

,Y?,

，,第2次抽到白球0 0就下列兩種情況，求(X,Y)的聯(lián)合分布律：?Ae(x2y),x,y02、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y)? ，求,（1）常數(shù)A； （2）(X,Y)的分布函數(shù)； （3）ZX的分布函數(shù)；（4）P{XY}。3、設(shè)隨機變量X~E()，求隨機變量Ymin{X的分布函數(shù)。4、設(shè)X

~E(1),Y~E(2)且X,Y獨立。（1）設(shè)Zmax{X,Y}，求Z的密度函數(shù)。（2）Zmin{X,Y}，求Z的密度函數(shù)。第四章 隨機變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)（一）數(shù)學(xué)期望的定義1、離散型數(shù)學(xué)期望—設(shè)X的分布律為P{Xxk}pk(k，則EXxkpk。k2、連續(xù)型數(shù)學(xué)期望—設(shè)X的概率密度為f(x)，則其數(shù)學(xué)期望為

EXxf(x)dx。3、二維離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望—設(shè)離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為P{Xxi,Yyj}pij(ij，Z(X,Y)，則EZxi,yj)pij。i1

j4、二維連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望—設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的密度為f(x,y)，Z(X,Y)，則 EZdx(x,y)f(x,y)dy。（二）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1、E(C)C。 2、E(kX)kEX。 3、E(XY)EXEY。4、E(aXbY)aEXbEY。5、若隨機變量X,Y相互獨立，則E(XY)EXEY。二、方差的定義及性質(zhì)（一）方差的定義—DXE(XEX)2。（二）方差的計算公式—DXEX2(EX)2。（三）方差的性質(zhì)1、D(C)0。 2、D(kX)k2DX。3、設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，則D(XY)DXDY，D(aXbY)a2DXb2DY。三、常見隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差1、二項分布：X~B(n,p),EXnp,DXnpq。2、泊松分布：X~(),EXDX。3、均勻分布：X~U(a,b),EX

ab2

,DX

(ba)2。124、正態(tài)分布：X~N(,2),EX,DX2。四、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)（一）定義1、協(xié)方差—Cov(X,Y)E(XEXEY)。 DX DY2、相關(guān)系數(shù)— DX DY

cov(X,Y)

，若XY

0，稱隨機變量X,Y不相關(guān)。（二）協(xié)方差的計算公式：Cov(X,Y)E(XY)EXEY（二）性質(zhì)1、Cov(X,X)DX。 2、若X,Y獨立，則Cov(X,Y)0。3、Cov(X,Y)Cov(Y,X)， 4、Cov(aX,bY)abCov(X,Y)。5、Cov(aXbY,Z)aCov(X,Z)bCov(Y,Z)。6、D(XY)DXDY2Cov(X,Y)。例題選講一、填空題1、設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且DXDY2，則D(3X) 。2、隨機變量X~E()，則P{X DX} 。3、設(shè)X,Y獨立同分布，且都服從N(0,1)，則E|XY| ,D|XY| 。24、設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射擊命中概率為0.4，則EX2 。1 25、設(shè)隨機變量X的密度為f(x) ex2x1，則EX

,DX 。6、設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且E[(X1)(X2)]1，則 。二、解答題

,Yk1、設(shè)Y~，Xk?,Yk

(k，（1）求(X1,X2)的聯(lián)合分布律； （2）E(X1X2)。?1 0 1?

?0 1?2、設(shè)X與Y的概率分布為X~?1

1 1?,Y~?1

1?，且P{XY1，4

2 42

2（1）求X,Y的聯(lián)合分布律； （2）問X,Y是否相互獨立？為什么？?,U1

?,U13、設(shè)U~U[2,2],X?,U1

,Y? ，求,U1（1）X,Y的聯(lián)合分布律； （2）D(XY)。

3，失敗的概率為1，獨立重復(fù)試驗直到成功2X表示所需要進(jìn)行的試4 4驗次數(shù)，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望。?1cosx0x ?X的密度函數(shù)為f(x)?2 2?X獨立重復(fù)觀察4表示觀察值大于

的次數(shù)，, 3求EY2。第五章 大數(shù)定律與中心極限定理一、車比雪夫不等式設(shè)隨機變量X的方差存在，則對任意的0，有XEX}DX，或者XEX}1DX。2 2二、大數(shù)定律X1,X2,L,Xn,L相互獨立，DXi存在且DXiM0(i，則1n對任意的0，有l(wèi)imXin

n1EXi1}1。 ni1

ni1X1,X2,L,XnEXi,DXi

2(i0，1n有l(wèi)imXin

}1。 ni13、（貝努利大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,L,Xn,L獨立同分布于參數(shù)為p的01分布，則對任意的0，有1nlimXin

p}1。 ni1X1,X2,L,Xn,L獨立同分布，且EXi，則對任意的0，有1nlimXin

}1。三、中心極限定理

ni11Levy-Lindberg中心極限定理）設(shè)隨機變量序列X1,X2,L,Xn,L

獨立同分布，且EXi

,DXi

2(i，則對任意實數(shù)x，有nXinlimi1

1

t2xe2dt。n

Xn~B(n,p)(0p，則對任意實數(shù)x，有l(wèi)imn

Xnnpnp(1p)

1

t2xe2dt。例題選講1、設(shè)隨機變量X~E(5)，用車比雪夫不等式估計P|X5 。X~N(0,42),Y~(2,52)X,YXY2 。第六章 數(shù)理統(tǒng)計基本概念一、基本概念1、總體—被研究對象某指標(biāo)的所有可能結(jié)果稱為總體。2、簡單樣本及樣本觀察值—設(shè)總體為X，則來自總體X的n個相互獨立且與總體X同分布的隨機變量X1,X2,L,Xn稱為簡單隨機樣本，樣本X1,X2,L,Xn的觀察值,x2,L,xn稱為樣本觀察值。3、統(tǒng)計量—樣本的無參函數(shù)稱為統(tǒng)計量。二、樣本常用數(shù)字特征設(shè)X1,X2,L,Xn為來自總體X的簡單樣本，則1n1、樣本均值—X Xi。ni12、樣本方差—S2

n 11n2 (XiX)11n2i11n k3、樣本的k階原點矩— Xi,k。ni11n 24、樣本的k階中心矩—Bk (XiX)ni1

,k。三、常用的抽樣分布1、2—分布（1）定義—設(shè)隨機變量X1,X2,L,Xn相互獨立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則稱隨機變量2 2 2 2

2 2 2X1

X2LXn為服從自由度為n的分布，記為

~(n)。（2）性質(zhì)：1）設(shè)X~2(n)，則EXn,DX2n；2）設(shè)X~2(m),Y~2(n)，且X,Y相互獨立，則XY~2(mn)。2、t—分布設(shè)隨機變量X~N~2(n)，且X,Y相互獨立，則稱隨機變量tX為服從自由度為n的t分Y/n布，記為t~t(n)。3、F—分布（1）定義—設(shè)隨機變量X~2(m),Y~2(n)，且X,Y相互獨立，則稱隨機變量FX/m為服從自由Y/n度為m,n的F分布，記為F~F(m,n)。（2）性質(zhì)設(shè)F~F(m,n)，則1F

~F(n,m)。四、一個正態(tài)總體下幾個常用的統(tǒng)計分布設(shè)總體X~N(,2)，X

1,X

2,L,Xn

是來自正態(tài)總體X的簡單樣本，則2 X

X1、X~N(,

), ~N。 2、

~t(n1)。n / n

s/ nn 2 n1 3、

(XX)2(n1)S~2(n1)。 4、1

(X)2~2(n)。2 i 2i1

2 ii15、ES22。 6、X與S2獨立。例題選講1、設(shè)X1,X2,L,Xn是來自正態(tài)總體N(,

2)的簡單樣本，記1 n

1n 2S2221 (XiX)2S222n1i1

,S2

(XiX)，ni11 n 1nS2422S2423 n

(Xi)1i11

,S2

(Xi)，ni1則服從自由度為n1的t分布的統(tǒng)計量是(X；

(B)X；

(C)X；

(D)X。2S1/2

n1

S2/

n1

S3/ n

S4/ n22、設(shè)X1,X2,X3,X4是來自正態(tài)總體X~N(0,4)的簡單樣本，且Ua(X12X2)2

b(3X34X4)服從2分布，求a,b及自由度。X,Y獨立同分布且都服從正態(tài)分布N(0,9)，X1,L,X9與,L,Y9是分別來自總體X