概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第2版 課件 1.3 等可能概型

§1.3等可能概型一、古典概型二、幾何概型第一章隨機(jī)事件與概率滿足下述兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)稱為等可能概型,也叫做古典概型

.

(1)

樣本空間的元素只有有限個(gè);

(2)

每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.一、古典概型第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

P(

1)=P(

2)=

=P(

n).

設(shè)試驗(yàn)E為古典概型,則樣本空間可表示為

={

1

,

2,

,

n}.由古典概型的等可能性,得

定義1

若隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω只包含有限個(gè)樣本點(diǎn),即有限個(gè)基本事件,且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同,則稱試驗(yàn)E為古典概型.此時(shí),事件A

的概率定義為1.

概率的古典定義第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型上式計(jì)算出的概率稱為古典概率,A中包含的基本事件數(shù)也常稱為有利事件數(shù).這種確定概率的方法稱為古典方法..例1(P15例1)將一枚均勻硬幣擲2次,試求至少出現(xiàn)一次正面的概率.第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

故P(A)=易知試驗(yàn)為古典概型,令A(yù)={至少出現(xiàn)一次正面},2.古典概型中事件概率的計(jì)算解于是樣本空間Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},A={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面)}213245623479108615

例2一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的兩種顏色的球.將球編號(hào)為1~10,把球攪勻,從中任取一球.求下列事件的概率(1)A={取到2號(hào)球};(2)B={取到紅球}.解(1)A={取到2號(hào)球}(2)B={取到紅球}第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型例3

(P15例3)設(shè)100件產(chǎn)品中有10件次品,現(xiàn)從中不放回地任取5件進(jìn)行檢驗(yàn),求所取的5件產(chǎn)品中至多有1件次品的概率.第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

故所求概率基本事件總數(shù)為解所取的5件產(chǎn)品中至多有1件次品的事件數(shù)為0.9231.例4(P16例5)從0,1,2,…,9等十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字,試求下列事件的概率：A1={三個(gè)數(shù)字中不含0和5},

A2={三個(gè)數(shù)字中不含0或5},A3={三個(gè)數(shù)字中含0但不含5}.第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型因不必考慮三個(gè)數(shù)字的順序,故按組合進(jìn)行計(jì)算,基本事件總數(shù)為解故所求概率A1包含的基本事件數(shù)為

A2包含的基本事件數(shù)為

A3包含的基本事件數(shù)為

第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型解例5(P16例6)

袋中有a個(gè)紅球,b個(gè)白球,現(xiàn)從袋中每次任取一球,取后不放回抽樣,求“第k次取到紅球”的概率(1≤k≤a+b).設(shè)

A={第k次取到紅球},

方法1排列法:設(shè)各個(gè)球是有區(qū)別的,基本事件總數(shù)為(a+b)!第k

次取到紅球的事件數(shù)為

a(a+b1)!,

所以

方法2組合法:將各個(gè)球看作沒有區(qū)別,基本事件總數(shù)為

故所求概率第k

次取到紅球的事件數(shù)為第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

例6(P17例7)

設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)在分別按不放回抽樣和有放回抽樣,從中任取n件,問其中恰有k(k

M)件次品的概率是多少?

(1)不放回抽樣:基本事件總數(shù)為解任取n件恰有k

件次品的事件數(shù)為

于是所求概率

(2)放回抽樣:基本事件總數(shù)為

N

n,

故所求概率任取n件恰有k

件次品的事件數(shù)為第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型例7

(P17例8)

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),求取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率.解則所求概率為故設(shè)A=“取到的數(shù)能被6整除”,B=“取到的整數(shù)能被8整除”,因所以=1

[P(A)+P(B)

P(AB)]第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

例8(盒子模型)(P18例9)

設(shè)有n個(gè)球和N(N≥n)個(gè)盒子,現(xiàn)將n個(gè)球隨機(jī)分配到N個(gè)盒子中,且每個(gè)盒子可容納的球數(shù)不限.試分別求事件A={某指定的n個(gè)盒子中各有1個(gè)球}和B={n個(gè)球分到n個(gè)不同的盒子中}的概率.球盒子解A包含的基本事件數(shù)為

n!,基本事件總數(shù)為

N

n,所以,B包含的基本事件數(shù)為

定義2

若隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω為空間中的一個(gè)有界區(qū)域(這個(gè)區(qū)域可以是一維、二維、三維、甚至n維的),且Ω中每個(gè)樣本點(diǎn),即基本事件出現(xiàn)的可能性相同,則稱試驗(yàn)E為幾何概型.

此時(shí),事件A

的概率定義為1.概率的幾何定義二、幾何概型:

注：幾何概型中事件A發(fā)生的概率與A的度量(長(zhǎng)度、面積、體積)成正比,而與A的位置及形狀無關(guān).第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型由幾何概型概率計(jì)算公式有樣本空間Ω={(x,

y)|0<y<(a>0)},其面積為解事件A={(x,y)|(x,y)∈Ω,x>y},其面積為例9(P19例11)

隨機(jī)地向半圓0<y<(a>0)內(nèi)擲一個(gè)點(diǎn),點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率均與該區(qū)域的面積成正比,求該點(diǎn)和原點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于

的概率.2.幾何概型中事件概率的計(jì)算第一章隨機(jī)事件與概率§1.3等可能概型

Ω={(x,

y)|0≤x,y≤60},

設(shè)

x,y分別表示兩人在7點(diǎn)之后的到達(dá)時(shí)刻(單位:分鐘),則樣