2024北京石景山九年級（上）期末數(shù)學（教師版）

第1頁/共1頁2024北京石景山初三（上）期末數(shù)學考生須知1．本試卷共8頁，共兩部分，28道題．滿分100分．考試時間120分鐘．2．在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、姓名和準考證號．3．試卷答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．4．考試結束，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1．若，則的值是（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，，，則為（

）A． B． C． D．3．如圖，四邊形內接于，是直徑，D是的中點．若，則的大小為（

）A． B． C． D．4．將拋物線向左平移個單位長度，平移后拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．5．若拋物線與x軸只有一個交點，則m的值為（

）A．3 B． C． D．6．如圖，“矩”在古代指兩條邊成直角的曲尺，它的兩邊長分別為．中國古老的天文和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中簡明扼要地闡述了“矩”的功能：“平距以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可測物體的高度．如圖，從“矩”的一端望向樹頂端的點，使視線通過“矩”的另一端，測得，．若“矩”的邊，邊，則樹高為（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標系中，若點，在拋物線上，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，于點，給出下面三個條件：；；．添加上述條件中的一個，即可證明是直角三角形的條件序號是（

）A． B． C． D．第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9．如圖，在矩形中，是邊的中點，連接交對角線于點．若，則的長為．10．在平面直角坐標系中，若點，在反比例函數(shù)的圖象上，則（填“”“”或“”）．11．如圖，正六邊形內接于，，則的長為．12．如圖，，分別與相切于兩點，，，則的半徑為．

13．如圖，線段，分別表示甲、乙建筑物的高，兩座建筑物間的距離為．若在點處測得點的俯角為，點的仰角為，則乙建筑物的高約為（結果精確到；參考數(shù)據(jù)：，）．14．如圖，點，在上，．若為上任一點（不與點，重合），則的大小為．15．如圖，是正方形內一點，滿足，連接，若，則長的最小值為．16．在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為，且經(jīng)過點，其部分圖象如圖所示，下面四個結論中，；；若點在此拋物線上，則；若點在此拋物線上且，則．所有正確結論的序號是．三、解答題（共68分，第17-21題，每題5分，第22題6分，第23題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．計算：．18．如圖，在四邊形中，平分，．(1)求證：；(2)若，，求的長．19．已知二次函數(shù)．(1)將化成的形式，并寫出其圖象的頂點坐標；(2)求此函數(shù)圖象與軸交點的坐標；(3)在平面直角坐標系中，畫出此函數(shù)的圖象．20．如圖，是的直徑，弦于點，，．求的半徑．

21．已知二次函數(shù)的圖象過點和．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當時，結合圖象，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍．22．如圖，在四邊形中，，，，，求的長．23．已知某蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，用電器的電流（單位：）與電阻（單位：）成反比例函數(shù)關系，即，其圖象如圖所示．(1)求的值；(2)若用電器的電阻為，則電流為______；(3)如果以此蓄電池為電源的用電器的電流不得超過，那么用電器的電阻應控制的范圍是______．24．如圖，在中，，以為直徑的交于點，交于點，點在的延長線上，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．25．投擲實心球是北京市初中學業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項目之一．實心球被投擲后的運動路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標系，實心球從出手（點處）到落地的過程中，其豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足二次函數(shù)關系．小石進行了三次訓練，每次實心球的出手點的豎直高度為．記實心球運動路線的最高點為，訓練成績（實心球落地點的水平距離）為（單位：）．訓練情況如下：第一次訓練第二次訓練第三次訓練訓練成績最高點滿足的函數(shù)關系式根據(jù)以上信息，(1)求第二次訓練時滿足的函數(shù)關系式；(2)小石第二次訓練的成績?yōu)開_____；(3)直接寫出訓練成績，，的大小關系．26．在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．(1)求該拋物線的對稱軸；(2)點，在拋物線上，若，求的取值范圍．27．如圖，在中，，．是邊上一點（不與點B重合且），將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)是的中點，連接并延長，交的延長線于點，依題意補全圖形．若，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．28．在平面直角坐標系中，的半徑為1．對于的弦和點C給出如下定義：若點C在弦的垂直平分線上，且點C關于直線的對稱點在上，則稱點C是弦的“關聯(lián)點”．(1)如圖，點，．在點，，，中，弦的“關聯(lián)點”是______；(2)若點是弦的“關聯(lián)點”，直接寫出的長；(3)已知點，．對于線段上一點S，存在的弦，使得點S是弦的“關聯(lián)點”．記的長為t，當點S在線段上運動時，直接寫出t的取值范圍．

參考答案1．B【分析】此題考查了比例的性質，根據(jù)比例性質即可求解，解題的關鍵是正確理解比例的性質．【詳解】∵，∴設，（），∴，故選：．2．C【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，設，則，根據(jù)勾股定理求出斜邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義即可求出，準確計算是解題的關鍵．【詳解】解：設，則，∵，∴，∴，故選：．3．C【分析】本題主要考查了圓周角定理，連接，由是直徑，得到，再根據(jù)題意得到，則，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵是直徑，∴，∵D是的中點，∴，∴，∴，故選：C．4．A【分析】本題考查了拋物線的平移，根據(jù)平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即可求解，掌握拋物線的平移規(guī)律是解題的關鍵．【詳解】解：∵拋物線向左平移個單位長度，∴平移后拋物線的解析式為，故選：．5．D【分析】本題考查二次函數(shù)與軸的交點問題．二次函數(shù)與軸有兩個交點，則；與軸有一個交點，則；與軸沒有交點，則．據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：．解得：，故選：D6．C【分析】本題考查了相似三角形的應用，由已知易證明，得到，代入已知數(shù)據(jù)即可求解，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，，，，∵，∴，∴，即，∴，∴，故選：．7．A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質，根據(jù)所給的函數(shù)解析式確定函數(shù)的開口方向，對稱軸和最小值，再結合函數(shù)圖象的特點進行判定即可，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，函數(shù)有最小值，∵點到對稱軸的距離為，點到對稱軸的距離為，∴，故選：．8．B【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質，由相似三角形的判定方法依次判斷即可，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．【詳解】若，∵，∴，∴，∴是直角三角形，故添加可以；若，∵，∴，則無法證明是直角三角形，故添加不一定可以；若，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，故添加可以；綜上可知，添加可證明是直角三角形，故選：．9．【分析】此題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，根據(jù)矩形可得，從而有，再根據(jù)性質即可求解，解題的關鍵是熟練掌握以上知識的應用．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵是邊的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．10．【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質，根據(jù)反比例函數(shù)的性質：當，在每個象限內，隨的增大而減小，進行判斷即可，掌握反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，在每個象限內，隨的增大而減小，又∵，∴，故答案為：．11．【分析】本題考查了正六邊形的性質，弧長的計算，等邊三角形的判定和性質，由正六邊形的性質得到，得到為等邊三角形，進而得到，代入弧長公式即可求解，作出輔助線，判斷出為等邊三角形是解題的關鍵．【詳解】解：連接，∵是正六邊形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴的長，故答案為：．12．【分析】本題考查了切線長定理，切線的性質，三角形全等的判定和性質，特殊角的三角函數(shù)，連接，證明，得到，利用三角函數(shù)即可求解，由三角形全等得到是解題的關鍵．【詳解】解：連接，

∵，分別與相切于兩點，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．13．【分析】此題主要考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題，先證明四邊形是矩形，再根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形即可，解題的關鍵是借助仰角俯角，并結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．【詳解】解：由題意得：，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：．14．或【分析】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，根據(jù)為上優(yōu)弧或劣弧時，分情況即可求解，解題的關鍵是掌握圓內接四邊形的對角互補．【詳解】如圖，∵，∴，∵，∴，故答案為：或．15．##【分析】此題考查了正方形的性質，勾股定理和圓周角定理，根據(jù)題意得到點的運動軌跡，結合圓的性質得到最小時的情形，再利用正方形的性質和勾股定理求解，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質，勾股定理和圓周角定理的應用．【詳解】如圖，∵，∴點在以中點為圓心，為直徑的圓上，則長的最小時，點三點共線，∵四邊形是正方形，∴，，在中，，由勾股定理得：，∴，故答案為：．16．【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，由拋物線開口方向判斷；由對稱軸可判斷；由函數(shù)的性質判斷；由拋物線的對稱性即可判斷；解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，利用數(shù)形結合方法分析問題．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，故正確；∵拋物線的頂點為，∴對稱軸為直線，∴，∴，故錯誤；∵對稱軸為直線，經(jīng)過點，∴拋物線經(jīng)過另一個點∵拋物線開口向下，當時，隨的增大而減小，又∵，∴，故正確；∵拋物線與軸的交點為，拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴點關于對稱軸的對稱點為，∴若點在此拋物線上且，則或，故錯誤；綜上，正確，故答案為：．17．【分析】此題考查了特殊角三角函數(shù)和實數(shù)的混合運算，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的化簡和有理數(shù)的乘方分別計算，然后合并即可得到結果，熟練運用運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式，，．18．(1)見解析；(2)【分析】本題考查相似三角形的判定與性質：（1）先根據(jù)角平分線得出，進而可得出結論；（2）根據(jù)相似三角形的性質得出，代入即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，即，∴（負值舍去）．19．(1)，；(2)，；(3)畫圖見解析．【分析】（）用配方法把二次函數(shù)化為頂點式，從而可得出答案；（）令轉化成一元二次方程，解出方程即可；（）根據(jù)畫函數(shù)圖象的步驟，畫出圖象即可；本題考查二次函數(shù)的性質，拋物線與軸的交點，配方法，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）由，∴頂點坐標為；（2）令，即，解得：，，∴函數(shù)圖象與軸交點的坐標為，；（3）列表：描點、連線，如圖，20．【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，連接，設的半徑為，由垂徑定理可得，由勾股定理可得方程，解方程即可求解，由勾股定理得到方程是解題的關鍵．【詳解】解：連接，設的半徑為，

∵是的直徑，，∴，在中，，

由勾股定理，得，即，解得，∴的半徑為．21．(1)(2)【分析】本題考查二次函數(shù)的知識，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質．（1）把點和代入二次函數(shù)，求出，，即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的的性質，可以求出時，函數(shù)值的取值范圍．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象過點和，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：．（2）如下圖：由（1）得，二次函數(shù)的解析式為：，∴對稱軸為：，當時，二次函數(shù)有最大值，；∴當時，；當時，；∴當時，函數(shù)值的取值范圍為：．22．．【分析】本題考查了矩形的判定與性質，勾股定理和通過余弦值求邊長，過作于點，證明四邊形是矩形，根據(jù)性質得出，由求出，最后通過勾股定理即可求解，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用及正確添加輔助線．【詳解】過作于點，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，由勾股定理得：，∴．23．(1)；(2)；(3)．【分析】此題考查了反比例函數(shù)的實際應用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質是解題的關鍵．（）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（）代入函數(shù)求值即可；（）當時，代入求出，再根據(jù)圖象即可求解．【詳解】（1）∵圖象經(jīng)過點，∴，解得：；（2）由（）得：，∴，當時，，故答案為：；（3）當電流，，解得：，根據(jù)圖象電流不得超過，則，故答案為：．24．(1)證明見解析；(2)．【分析】（）連接，由為的直徑得到，又由，，得到，進而得到，即可求證；（）連接，由，得到，設，，由，得到，證明，即可求解；本題考查了切線的判定，圓的性質，相似三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，又∵為的直徑，∴是的切線；（2）解：連接，∵，，∴在中，，設，，則，∴，∴，，∵四邊形內接于，∴，又∵，∴，∴，即，∴．25．(1)；(2)；(3)．【分析】（）利用待定系數(shù)法求解即可；（）令，求出的值即可；（）根據(jù)函數(shù)解析式分別求出三個距離，根據(jù)大小即可比較；此題考查了二次函數(shù)的圖象及性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質的應用．【詳解】（1）由題意得：，∵當時，，∴，解得：，∴第二次訓練時滿足的函數(shù)關系式為；（2）當時，，解得：，（不符合題意，舍去），小石第二次訓練的成績?yōu)?，故答案為：；?）根據(jù)表格可知：，由（）得：，當時，，解得：，（不符合題意，舍去）∴，∴．26．(1)，(2)．【分析】（）把代入解析式，則有，利用對稱軸即可求解；（）根據(jù)，中橫坐標與對稱軸的距離結合即可求解；此題考查了二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵經(jīng)過點，∴，整理得：，∴拋物線的對稱軸為直線；（2）由（）得：拋物線的對稱軸為直線，∵，∴在對稱軸的左側且距離為，在對稱軸的右側且距離為，當時，，∵，∴根據(jù)圖象可知，點到對稱軸的距離比到對稱軸距離大，∴，解得：，∴的取值范圍為．27．(1)(2)圖形見解析；；證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、直角三角形的性質；（1）取的中點，連接，構造即可解決問題；（2）過點作交于點，構造即可解決問題；正確添加輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，在中，是等邊三角形線段繞點逆時針旋轉得到線段即是等邊三角形，即（2）如圖，過點作交于點，由（1）可知：，是的中點，28．(1)，(2)或(3)【分析】（1）由點坐標可知弦的垂直平分線為軸，根據(jù)新定義求出各點關于弦對稱的點坐標，然后根據(jù)是否在上，進行判斷作答即可；（2）由