(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)7.3《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》(原卷版)

§7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求1．借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2．了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問題．知識(shí)梳理1．平面基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．“三個(gè)”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線，,平行直線，)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有,

公共點(diǎn).))4．空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．5．空間中平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．6．等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．7．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線．()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合．()(4)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．()教材改編題1．(多選)如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法正確的是()A．AB與CD是異面直線B．GH與CD相交C．EF∥CDD．EF與AB異面2．如果直線a?平面α，直線b?平面β．且α∥β，則a與b()A．共面B．平行C．是異面直線D．可能平行，也可能是異面直線3．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．題型一基本事實(shí)應(yīng)用例1如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，連接D1F，CE．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．教師備選如圖所示，已知在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線．思維升華共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)共面的圖是()(2)在三棱錐A﹣BCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上題型二空間線面位置關(guān)系命題點(diǎn)1空間位置關(guān)系的判斷例2(1)下列推斷中，錯(cuò)誤的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合(2)已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是長方形A1B1C1D1與長方形BCC1B1的中心，則下列說法正確的是()A．直線MN與直線A1B是異面直線B．直線MN與直線DD1相交C．直線MN與直線AC1是異面直線D．直線MN與直線A1C平行命題點(diǎn)2異面直線所成角例3(1)(2021·全國乙卷)在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)(2)如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝eq\f(1,4)SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為()A．eq\f(\r(22),2)B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(13,16)D．eq\f(\r(11),3)教師備選1．(多選)設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是()A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面2．在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(2),2)思維升華(1)點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型．(2)求異面直線所成的角的三個(gè)步驟一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．二證：證明作出的角是異面直線所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有________．(填序號(hào))(2)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列結(jié)論正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交題型三空間幾何體的切割(截面)問題例4(1)在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方體中過M，N，C1的截面圖形是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形(2)已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2．以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為______．延伸探究將本例(2)中正方體改為直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°．以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．教師備選如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________．思維升華(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是()A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六邊形D．截面面積最大值為3eq\r(3)(2)如圖，正方體A1C的棱長為1，點(diǎn)M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為________．課時(shí)精練1．下列敘述錯(cuò)誤的是()A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，則P∈lB．若直線a∩b＝A，則直線a與b能確定一個(gè)平面C．三點(diǎn)A，B，C確定一個(gè)平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是()A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n可能相交或異面B．若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n一定平行3．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F(xiàn)分別是B1C1，CC1，AB的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面5．(多選)如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．C1，M，O三點(diǎn)共線B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，B1，B四點(diǎn)共面D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面6．(多選)下列說法不正確的是()A．兩組對邊分別相等的四邊形確定一個(gè)平面B．和同一條直線異面的兩直線一定共面C．與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交7．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________．8．在空間中，給出下面四個(gè)命題，其中假命題為________．(填序號(hào))①過平面α外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面α垂直；②若平面β內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面α的距離都相等，則α∥β；③若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線．9．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CC1的中點(diǎn)．(1)求異面直線A1E與D1F所成的角的余弦值；(2)求三棱錐A1﹣D1EF的體積．10．如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，M為AB上一點(diǎn)．(1)若D1E與CM相交于點(diǎn)K，求證D1E，CM，DA三條直線相交于同一點(diǎn)；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝eq\f(π,3)，求點(diǎn)D1到平面FBD的距離．11．(多選)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，下列結(jié)論正確的是()A．GH與EF平行B．BD與MN為異面直線C．GH與MN成60°角D．DE與MN垂直12．(多選)如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()A．AP與CM是異面直線B．AP，CM，DD1相交于一點(diǎn)C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D13．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點(diǎn)，則直線EF與PQ所成角的大小是________．14．在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分別為棱A1D1，CC1的中點(diǎn)，過P，Q，A作正方體的截面，則截面多邊形的周長是________．15．如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，AA1＝3，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D1，E，F(xiàn)的平面記為α，則下列說法中錯(cuò)誤的是()A．點(diǎn)B到平面α的距離與點(diǎn)A1到平面α的距離