【復(fù)習(xí)】第02講 一元二次函數(shù)、方程和不等式（原卷版）-【寒假銜接講義】高一數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專(zhuān)用）

第第頁(yè)第02講一元二次函數(shù)、方程和不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、梳理等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)類(lèi)比，研究不等式的性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)研究一類(lèi)重要的不等式—基本不等式.2、體會(huì)函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學(xué)思想.【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值考點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式考點(diǎn)四：恒成立問(wèn)題考點(diǎn)五：二次函數(shù)根的分布問(wèn)題考點(diǎn)六：不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、符號(hào)法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號(hào)：任意，則(為正數(shù))、或(為負(fù)數(shù))三種情況有且只有一種成立.兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變符號(hào)語(yǔ)言：；②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號(hào)語(yǔ)言：； ③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號(hào)語(yǔ)言：④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號(hào)語(yǔ)言：，.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、①；②；③.對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立.知識(shí)點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：(1)對(duì)稱(chēng)性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)翰坏仁降男再|(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).知識(shí)點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則(實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性).一般選擇0或1為中間量.知識(shí)點(diǎn)四、基本不等式1、對(duì)公式及的理解.(1)成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；(2)取等號(hào)“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”.2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①(同號(hào))；②(異號(hào))；③或知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)嚎梢宰冃螢椋?，可以變形為?知識(shí)點(diǎn)五、用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等.①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、兩個(gè)不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù).2、兩個(gè)不等式：與都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取“=”號(hào)這句話(huà)的含義要有正確的理解.3、基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對(duì)于所給的“和式”中的各項(xiàng)的“積”為定值，則“和”有最小值，對(duì)于給出的“積式”中的各項(xiàng)的“和”為定值，則“積”有最大值.4、利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和(或積)為定值；③各項(xiàng)能取得相等的值.5、基本不等式在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)一般按以下步驟進(jìn)行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫(xiě)出正確答案.知識(shí)點(diǎn)六、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來(lái)討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)()的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根知識(shí)點(diǎn)七、一元二次不等式恒成立問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立(2)分離參數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)例1.已知，則(

)A. B. C. D.例2.已知.則的取值范圍是(

)A. B. C. D.例3.對(duì)任意實(shí)數(shù)，命題：①若，則；②若，則；③若，則.④若，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值例4.函數(shù)的最小值是(

)A.7 B.9 C.12 D.例5.若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為(

).A.4 B.3 C.2 D.1例6.已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足，當(dāng)取最小值時(shí)，下列說(shuō)法正確的是(

)A.a＝4b B.C.的最大值為 D.的最大值為例7.已知，且，則的最小值為(

)A.2 B.3 C.4 D.5例8.負(fù)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值為(

)A. B. C. D.考點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式例9.已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論中正確的是(

)A. B. C. D.例10.不等式的解集是(

)A. B.C. D.例11.關(guān)于的不等式的解集為，且，則(

)A.3 B. C.2 D.例12.已知函數(shù).(1)若，求a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式.例13.已知不等式的解集為或.(1)求的值；(2)解不等式.考點(diǎn)四：恒成立問(wèn)題例14.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.例15.對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為(

)A. B. C. D.例16.不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B.C. D.例17.對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.例18.若，，且，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A. B.或C.或 D.考點(diǎn)五：二次函數(shù)根的分布問(wèn)題例19.關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A. B. C. D.例20.若關(guān)于的方程有一正根和一負(fù)根，則的取值范圍為_(kāi)_________.例21.已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.考點(diǎn)六：不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例22.某火車(chē)站正在不斷建設(shè)，目前車(chē)站準(zhǔn)備在某倉(cāng)庫(kù)外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為12平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的保管員室.由于此保管員室的后背靠墻，無(wú)須建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元.設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度均為x米().(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無(wú)論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求a的取值范圍.例23.用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻(靠墻的一面不用籬笆)的矩形菜園,墻長(zhǎng),問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積時(shí)多少?例24.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水背山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹(shù)的單株產(chǎn)量W(單位：千克)與施用肥料x(chóng)(單位：千克)滿(mǎn)足如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元.己知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為10元/千克，且銷(xiāo)路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)為(單位：元).(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【真題演練】1.不等式的解集是(

)A. B.C. D.1.已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為(

)A.2 B.4 C.6 D.82.若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.63.若，則的最小值為_(kāi)___________.4.設(shè)，則的最小值為_(kāi)_____.5.已知函數(shù)(為常數(shù))，且方程有兩個(gè)實(shí)根為.(1)求函數(shù)的解析式：(2)設(shè)，解關(guān)于的不等式：.6.解不等式：.7.若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________；若關(guān)于x的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1.函數(shù)的最小值是(

)A.7 B. C.9 D.2.不等式的解集為,則函數(shù)的圖像大致為(

)A. B.C. D.3.設(shè)(、為互不相等的正實(shí)數(shù))，，則與的大小關(guān)系是(

)A. B.C. D.4.不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.5.下列結(jié)論正確的是(

)A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6.已知，且，則的最小值為(

)A.2 B.3 C.4 D.57.若關(guān)于x的不等式的解集是R，則m的取值范圍是(

)A.(1，+∞) B.(0，1) C.(1，1) D.[1，+∞)8.某班計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長(zhǎng)買(mǎi)回來(lái)8米長(zhǎng)的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻(墻足夠長(zhǎng))的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形?三角形?弓形這三種方案，最佳方案是(

)A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2二、多選題9.若，，且，則下列不等式成立的是(

)A. B. C. D.10.當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)中最小值不是2的有(

)A. B.C. D.11.下列說(shuō)法正確的有(

)A.若，則的最大值是B.若x，y，z都是正數(shù)，且，則的最小值是3C.若，，，則的最小值是2D.若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值是12.已知關(guān)于x的不等式的解集為，且，若，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則(

)A. B. C. D.三、填空題13.已知關(guān)于的方程的兩根為、.若，則實(shí)數(shù)的值是______.14.已知關(guān)于x的不等式的解集為R，則b的取值范圍是__________.15.已知，則__________.(填“＞”“＜”或“＝”)16.已知，且，則的最小值是________四、解答題17.某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入元，已知總收益滿(mǎn)足函數(shù)，其中是儀器的月產(chǎn)量.(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益