人教A版2024年高一數(shù)學(xué)寒假提高講義 第01課 集合、一元二次不等式、函數(shù)及其表示（教師版）

第第頁第01課集合、一元二次不等式、函數(shù)及其表示集合知識梳理1.集合與元素(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號∈或?表示.(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR[注意]N為自然數(shù)集(即非負整數(shù)集)，包含0，而N*和N＋的含義是一樣的，表示正整數(shù)集，不包含0.2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B(或B?A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集圖形語言符號語言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B?UA＝{x|x∈U且x?A}【例1】(1)設(shè)集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，則B中的元素有()A.5個B.4個C.3個D.無數(shù)個解析：選C.依題意有A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3個元素.(2)已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3個元素，則k的取值范圍為________.解析：因為集合A中至少有3個元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.答案：(16，＋∞)【例2】(1)已知集合A＝{x|x2﹣3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B?A，則m的取值范圍為______.【解析】(1)由題意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因為A?C?B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}.(2)當(dāng)m≤0時，B＝?，顯然B?A.當(dāng)m＞0時，因為A＝{x|﹣1＜x＜3}.當(dāng)B?A時，在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m.))所以0＜m≤1.綜上所述，m的取值范圍為(﹣∞，1].【答案】(1)D(2)(﹣∞，1]【例3】(1)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，則B∩?UA＝()A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{1，6，7}(2)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|x＋1≥0}，則?U(A∪B)＝()A.{x|x≤﹣3或x≥1}B.{x|x＜﹣1或x≥3}C.{x|x≤3}D.{x|x≤﹣3}【解析】(1)依題意得?UA＝{1，6，7}，故B∩?UA＝{6，7}.故選C.(2)因為B＝{x|x≥﹣1}，A＝{x|﹣3＜x＜1}，所以A∪B＝{x|x＞﹣3}，所以?U(A∪B)＝{x|x≤﹣3}.故選D.【答案】(1)C(2)D充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞知識梳理1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qeq\o(?,\s\up0(/))pp是q的必要不充分條件peq\o(?,\s\up0(/))q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件peq\o(?,\s\up0(/))q且qeq\o(?,\s\up0(/))p[注意]不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，則q”為真命題.2.全稱命題和特稱命題(1)全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等?存在量詞存在一個、至少有一個、有些、某些等?(2)全稱命題和特稱命題名稱形式全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，有p(x)成立存在M中的一個x0，使p(x0)成立簡記?x∈M，p(x)?x0∈M，p(x0)否定?x0∈M，﹁p(x0)?x∈M，﹁p(x)常用結(jié)論1.從集合的角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關(guān)于充分條件，必要條件又可以敘述為：(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；(6)若Aeq\o(?,\s\up0(/))B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件.2.全稱命題與特稱命題的否定(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫.(2)否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進行否定.【例4】(1)已知a，b都是實數(shù)，那么“b＞a＞0”是“eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)已知p：x＝2，q：x﹣2＝eq\r(2－x)，則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】(1)若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則eq\f(1,a)﹣eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)＞0.當(dāng)0＜a＜b時，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)成立；當(dāng)a＞0，b＜0時，滿足eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，但0＜a＜b不成立.故“b＞a＞0”是“eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)”的充分不必要條件，故選A.(2)當(dāng)x﹣2＝eq\r(2－x)時，兩邊平方可得(x﹣2)2＝2﹣x，即(x﹣2)(x﹣1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.當(dāng)x＝1時，﹣1＝eq\r(1)，不成立，故舍去，則x＝2，所以p是q的充要條件，故選C.【答案】(1)A(2)C【例5】已知條件p：集合P＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，條件q：非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1＋m}.若p是q的必要條件，求m的取值范圍.【解】由x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10，所以P＝{x|﹣2≤x≤10}，由p是q的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以當(dāng)0≤m≤3時，p是q的必要條件，即所求m的取值范圍是[0，3].一元二次不等式及其解法一、知識梳理1.一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集(1)當(dāng)a＞0時，解集為{x|x＞eq\f(b,a)}.(2)當(dāng)a＜0時，解集為{x|x＜eq\f(b,a)}.2.三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2﹣4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等實根x1＝x2＝﹣eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}{x|x≠﹣eq\f(b,2a)}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??常用結(jié)論1.分式不等式的解法(1)eq\f(f（x）,g（x）)＞0(＜0)?f(x)g(x)＞0(＜0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.))2.記住兩個恒成立的充要條件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0對任意實數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0.))【例6】(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x<0，))則不等式f(x)＞3的解集為________.(2)已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是{x|﹣eq\f(1,2)＜x＜﹣eq\f(1,3)}，則不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是________.【解】(1)由題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2＋2x>3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－x2＋2x>3，))解得x＞1.故填{x|x＞1}.(2)由題意，知﹣eq\f(1,2)，﹣eq\f(1,3)是方程ax2﹣bx﹣1＝0的兩個根，且a＜0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋（－\f(1,3)）＝\f(b,a)，,－\f(1,2)×（－\f(1,3)）＝\f(－1,a)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝5.))故不等式x2﹣bx﹣a≥0為x2﹣5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.故填{x|x≥3或x≤2}.【例7】若不等式(a﹣2)x2＋2(a﹣2)x﹣4＜0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】當(dāng)a﹣2＝0，即a＝2時，不等式為﹣4＜0，對一切x∈R恒成立.當(dāng)a≠2時，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<2,－2<a<2，))解得﹣2＜a＜2.所以實數(shù)a的取值范圍是(﹣2，2].【答案】(﹣2，2]基本不等式知識梳理1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(s2,4).(簡記：和定積最大)常用結(jié)論幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(2)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(3)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.【例8】(1)已知0＜x＜1，則x(4﹣3x)取得最大值時x的值為________.(2)已知x＜eq\f(5,4)，則f(x)＝4x﹣2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________.【解析】(1)x(4﹣3x)＝eq\f(1,3)·(3x)(4﹣3x)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋（4－3x）,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,3)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4﹣3x，即x＝eq\f(2,3)時，取等號.(2)因為x＜eq\f(5,4)，所以5﹣4x＞0，則f(x)＝4x﹣2＋eq\f(1,4x－5)＝﹣(5﹣4x＋eq\f(1,5－4x))＋3≤﹣2eq\r(（5－4x）\f(1,5－4x))＋3≤﹣2＋3＝1.當(dāng)且僅當(dāng)5﹣4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時，等號成立.故f(x)＝4x﹣2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為1.【答案】(1)eq\f(2,3)(2)1函數(shù)及其表示知識梳理1.函數(shù)的概念函數(shù)兩集合A，BA，B是兩個非空數(shù)集對應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記法y＝f(x)，x∈A2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法.[注意]函數(shù)圖象的特征：與x軸垂直的直線與其最多有一個公共點.利用這個特征可以判斷一個圖形能否作為一個函數(shù)的圖象.3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).【例9】(1)函數(shù)y＝eq\f(\r(－x2＋2x＋3),lg（x＋1）)的定義域為()A.(﹣1，3]B.(﹣1，0)∪(0，3]C.[﹣1，3]D.[﹣1，0)∪(0，3](2)已知函數(shù)f(x)的定義域是[﹣1，1]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定義域是()A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1]【解析】(1)要使函數(shù)有意義，x需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得﹣1＜x＜0或0＜x≤3，所以函數(shù)的定義域為(﹣1，0)∪(0，3].故選B.(2)由函數(shù)f(x)的定義域為[﹣1，1]，得﹣1≤x≤1，令﹣1≤2x﹣1≤1，解得0≤x≤1，又由1﹣x＞0且1﹣x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函數(shù)g(x)的定義域為(0，1)，故選B.【答案】(1)B(2)B【例10】(1)若f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)﹣f(x)＝4x＋2，則f(x)的解析式為________.(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(﹣x)＋2f(x)＝2x，則f(x)的解析式為________.【解析】(1)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)﹣f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3﹣(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))所以所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x2﹣x＋3.(2)(解方程組法)因為2f(x)＋f(﹣x)＝2x，①將x換成﹣x得2f(﹣x)＋f(x)＝﹣2x，②由①②消去f(﹣x)，得3f(x)＝6x，所以f(x)＝2x.【答案】(1)f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x＞1)(2)f(x)＝x2﹣x＋3(3)f(x)＝2x【例11】(1)已知二次函數(shù)f(2x＋1)＝4x2﹣6x＋5，則f(x)＝________.解析：法一(換元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝eq\f(t－1,2)，所以f(t)＝4(eq\f(t－1,2))2﹣6·eq\f(t－1,2)＋5＝t2﹣5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2﹣5x＋9(x∈R).法二(配湊法)：因為f(2x＋1)＝4x2﹣6x＋5＝(2x＋1)2﹣10x＋4＝(2x＋1)2﹣5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2﹣5x＋9(x∈R).法三(待定系數(shù)法)：因為f(x)是二次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因為f(2x＋1)＝4x2﹣6x＋5，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝－6，,a＋b＋c＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－5，,c＝9，))所以f(x)＝x2﹣5x＋9(x∈R).答案：x2﹣5x＋9(x∈R)(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x).若當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x(1﹣x)，則當(dāng)﹣1≤x≤0時，f(x)＝________.解析：因為﹣1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,2)(x＋1)[1﹣(x＋1)]＝﹣eq\f(1,2)x(x＋1).故當(dāng)﹣1≤x≤0時，f(x)＝﹣eq\f(1,2)x(x＋1).答案：﹣eq\f(1,2)x(x＋1)【例12】(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))則f(f(1))＝()A.﹣eq\f(1,2)B.2C.4D.11(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1（x≥2），,log2x（0<x<2），))若f(m)＝3，則f(eq\f(5,2)﹣m)＝________.【解析】(1)因為f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋eq\f(1,3－2)＝4.故選C.(2)當(dāng)m≥2時，m2﹣1＝3，所以m＝2或m＝﹣2(舍)；當(dāng)0＜m＜2時，log2m＝3，所以m＝8(舍).所以m＝2.所以f(eq\f(5,2)﹣m)＝f(eq\f(1,2))＝log2eq\f(1,2)＝﹣1.【答案】(1)C(2)﹣1集合、一元二次不等式、函數(shù)及其表示課時跟蹤練習(xí)1.已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈N*}，則集合A的真子集的個數(shù)為()A.7B.8C.15D.16解析：選A.法一：A＝{x|﹣1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7個.法二：因為集合A中有3個元素，所以其真子集的個數(shù)為23﹣1＝7(個).2.設(shè)集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，則a的取值范圍是()A.{a|a≤2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≥2}解析：選D.由A∩B＝A，可得A?B，又A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，所以a≥2.故選D.3.已知集合A＝{x|x2﹣4x＋3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(﹣∞，1)D.(﹣∞，1]解析：選D.A＝{x|x2﹣4x＋3＞0}＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|x﹣a＜0}＝{x|x＜a}.因為B?A，所以a≤1.故選D.4.(多選)若集合A＝{x|x(x﹣2)≤0}，且A∪B＝A，則集合B可能是()A.{﹣1}B.{0}C.{1}D.{2}解析：選BCD.因為A＝{x|x(x﹣2)≤0}，所以A＝[0，2].因為A∪B＝A，所以B?A.由選項知有{0}A，{1}A，{2}A.故選BCD.5.已知全集U＝R，函數(shù)y＝ln(1﹣x)的定義域為M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}，則下列結(jié)論正確的是()A.M∩N＝NB.M∩(?UN)＝?C.M∪N＝UD.M?(?UN)解析：選A.由題意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又?UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(?UN)＝{x|x≤0}≠?，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M?(?UN)，故選A.6.已知命題“?x0∈R，使2xeq\o\al(2,0)＋(a﹣1)x0＋eq\f(1,2)≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣∞，﹣1)B.(﹣1，3)C.(﹣3，＋∞)D.(﹣3，1)解析：選B.原命題的否定為?x∈R，2x2＋(a﹣1)x＋eq\f(1,2)＞0，由題意知，其為真命題，則Δ＝(a﹣1)2﹣4×2×eq\f(1,2)＜0，則﹣2＜a﹣1＜2，則﹣1＜a＜3.7.若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A.[0，2]B.[﹣2，0]C.[﹣2，＋∞)D.(﹣∞，﹣2]解析：選D.因為1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)，(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y＝eq\f(1,2)，即x＝y(tǒng)＝﹣1時等號成立)所以eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，所以2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤﹣2.8.若實數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，則ab的最小值為()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.4解析：選C.因為eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以a＞0，b＞0，由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)×\f(2,b))＝2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時取等號)，所以ab的最小值為2eq\r(2).9.函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,\r(x－1))＋ln(2x﹣x2)的定義域為()A.(2，＋∞)B.(1，2)C.(0，2)D.[1，2]解析：選B.要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,2x－x2>0，))解得1＜x＜2.所以函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,\r(x－1))＋ln(2x﹣x2)的定義域為(1，2).10已知f(eq\f(1,2)x﹣1)＝2x﹣5，且f(a)＝6，則a等于()A.﹣eq\f(7,4)B.eq\f(7,4)C.eq\f(4,3)D.﹣eq\f(4,3)解析：選B.令t＝eq\f(1,2)x﹣1，則x＝2t＋2，所以f(t)＝2(2t＋2)﹣5＝4t﹣1，所以f(a)＝4a﹣1＝6，即a＝eq\f(7,4).11.若不等式ax2＋bx＋2＜0的解集為{x|x＜﹣eq\f(1,2)，或x＞eq\f(1,3)}，則eq\f(a－b,a)的值為()A.eq\f(5,6)B.eq\f(1,6)C.﹣eq\f(1,6)D.﹣eq\f(5,6)解析：選A.由題意得方程ax2＋bx＋2＝0的兩根為﹣eq\f(1,2)與eq\f(1,3)，所以﹣eq\f(b,a)＝﹣eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝﹣eq\f(1,6)，則eq\f(a－b,a)＝1﹣eq\f(b,a)＝1﹣eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).12.知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，則x＋y的最小值為()A.3B.5C.7D.9解析：選C.因為x＞0，y＞0.且eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)，所以x＋1＋y＝2(eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,y))(x＋1＋y)＝2(1＋1＋eq\f(y,x＋1)＋eq\f(x＋1,y))≥2(2＋2eq\r(\f(y,x＋1)·\f(x＋1,y)))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x＋1)＝eq\f(x＋1,y)，即x＝3，y＝4時取等號，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值為7，故選C.13.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________.解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝﹣eq\f(3,2).當(dāng)m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m＝﹣eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，符合題意，故m＝﹣eq\f(3,2).答案：﹣eq\f(3,2)14.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝________.解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，結(jié)合數(shù)軸，?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}.答案：{x|0＜x＜1}15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1﹣m}，若A∩B＝?，則實數(shù)m的取值范圍是________.解析：因為A∩B＝?，①若當(dāng)2m≥1﹣m，即m≥eq\f(1,3)時，B＝?，符合題意；②若當(dāng)2m＜1﹣m，即m＜eq\f(1,3)時，需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜\f(1,3)，,1－m≤1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜\f(1,3)，,2m≥3，))解得0≤m＜eq\f(1,3)或?，即0≤m＜eq\f(1,3).綜上，實數(shù)m的取值范圍是[0，＋∞).答案：[0，＋∞)16.不等式|x(x﹣2)|＞x(x﹣2)的解集是________.解析：不等式|x(x﹣2)|＞x(x﹣2)的解集即x(x﹣2)＜0的解集，解得0＜x＜2.答案：{x|0＜x＜2}17.函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋1)(x＞﹣1)的最小值為________.解析：因為y＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x﹣1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)﹣2(x＞﹣1)，所以y≥2eq\r(1)﹣2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，等號成立.答案：018.若a＞0，b＞0，且a＋2b﹣4＝0，則ab的最大值為________，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為________.解析：因為a＞0，b＞0，且a＋2b﹣4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝eq\f(1,2)a·2b≤eq\f(1,2)×()2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝2，b＝1時等號成立，所以ab的最大值為2，因為eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))·eq\f(a＋2b,4)＝eq\f(1,4)(5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b))≥eq\f(1,4)(5+)＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為eq\f(9,4).答案：2，eq\f(9,4).19.已知正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，①則x2＋y2的最小值為________；②若eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析：因為x＋y＝1，所以xy≤()2＝eq\f(1,4)，所以x2＋y2＝(x＋y)2﹣2xy≥1﹣eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2)，所以x2＋y2的最小值為eq\f(1,2).若a≤eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)恒成立，則a小于等于(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))的最小值，因為eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))(x＋y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥5＋2eq\r(\f(y,x)×\f(4x,y))＝9，所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值為9，所以a≤9，故實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞，9].答案：eq\f(1,2)(﹣∞，9].20.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x≥1，,1－x，x<1，))則f(f(0))＝________，若f(m)＞1，則實數(shù)m的取值范圍是________.解析：f(f(0))＝f(1)＝ln1＝0；如圖所示，可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x≥1，,1－x，x<1))的圖象與直線y＝1的交點分別為(0，1)，(e，1).若f(m)＞1，則實數(shù)m的取值范圍是(﹣∞，0)∪(e，＋∞).答案：0(﹣∞，0)∪(e，＋∞)21.若不等式ax2＋5x﹣2＞0的解集是{x|eq\f(1,2)＜x＜2}.(1)求實數(shù)a的值；(2)求不等式ax2﹣5x＋a2﹣1＞0的解集.解：(1)由題意知a＜0，且方程ax2＋5x﹣2＝0的兩個根為eq\f(1,2)，2，代入方程解得a＝﹣2.(2)由(1)知不等式ax2﹣5x＋a2﹣1＞0，即為﹣2x2﹣5x＋3＞0，即2x2＋5x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜eq\f(1,2)，即不等式ax2﹣5x＋a2﹣1＞0的解集為(﹣3，eq\f(1,2)).22.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R).(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(﹣1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x＞0，,－f（x），x＜0，))求F(2)＋F(﹣2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍.解：(1)因為f(x)最小值是f(﹣1)＝0，且c＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝－1,f（－1）＝a－b＋1＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝2))，所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因為F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x>0，,－f（x），x<0))，所以F(2)＋F(﹣2)＝8.(2)由題知f(x)＝x2＋bx，原命題等價于﹣1≤x2＋bx≤1在x∈(0，1]恒成立，即b≤eq\f(1,x)﹣x且b≥﹣eq\f(1,x)﹣x在x∈(0，1]恒成立，根據(jù)單調(diào)性可得eq\f(1,x)﹣x的最小值為0，﹣eq\f(1,x)﹣x的最大值為﹣2，所以﹣2≤b≤0.集合、一元二次不等式、函數(shù)及其表示隨堂檢測1.設(shè)集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，則(A∩C)∪B＝()A.{2}B.{2，3}C.{﹣1，2，3}D.{1，2，3，4}解析：選D.因為A∩C＝{1，2}，B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}.故選D.2.已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，則如圖所示的陰影部分表示的集合是()A.(﹣2，1)B.[﹣1，0]∪[1，2)C.(﹣2，﹣1)∪[0，1]D.[0，1]解析：選C.因為集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∪B＝(﹣2，1]，A∩B＝[﹣1，0)，所以陰影部分表示的集合為?A∪B(A∩B)＝(﹣2，﹣1)∪[0，1]，故選C.3.已知f(x)＝sinx﹣x，命題p：?x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)＜0，則()A.p是假命題，﹁p：?x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)≥0B.p是假命題，﹁p：?x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)≥0C.p是真命題，﹁p：?x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)≥0D.p是真命題，﹁p：?x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)≥0解析：選C.易知f′(x)＝cosx﹣1＜0，所以f(x)在(0，eq\f(π,2))上是減函數(shù)，因為f(0)＝0，所以f(x)＜0，所以命題p：?x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)＜0是真命題，﹁p：?x∈(0，eq\f(π,2))，f(x)≥0，故選C.4.不等式(x﹣2)(2x﹣3)＜0的解集是()A.(﹣∞，eq\f(3,2))∪(2，＋∞)B.RC.(eq\f(3,2)，2)D.?解析：選C.因為不等式(x﹣2)(2x﹣3)＜0，解得eq\f(3,2)＜x＜2，所以不等式的解集是(eq\f(3,2)，2).5.不等式eq\f(2,x＋1)＜1的解集是()A.(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)B.(1，＋∞)C.(﹣∞，﹣1)D.(﹣1，1)解析：選A.因為eq\f(2,x＋1)＜1，所以eq\f(2,x＋1)﹣1＜0，即eq\f(1－x,x＋1)＜0，該不等式可化為(x＋1)(x﹣1)＞0，所以x＜﹣1或x＞1.6.函數(shù)y＝eq\f(1,ln（x－1）)的定義域為()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(1，2)∪(2，＋∞)D.(1，2)∪[3，＋∞)解析：選C.由ln(x﹣1