1.2.1任意角的三角函數(shù)(1)課件

1.2.1任意角的三角函數(shù)(1)

xoy1.探究(1)你能回憶一下銳角的三角函數(shù)的定義嗎？(3)改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變嗎？為什么？(2)你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？說明這三個(gè)比值與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān)(x,y)rO

MPxyA2.(4)能否通過取適當(dāng)點(diǎn)而將表達(dá)式簡(jiǎn)化?引入單位圓:圓心為原點(diǎn),半徑為1的圓(x,y)rO

MPxy

13.

設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么：1、任意角三角函數(shù)的定義（1）y叫做

的正弦，記作sinα（2）x叫做的余弦，記作cosα（3）叫做

的正切，記作tanα

即sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝

(x≠0).可以看出，當(dāng)此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x等于0，所以tanα＝無意義。時(shí)，

的終邊在y軸上，

xoyP(x,y)14.探究:你能解釋一下定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎?以上定義能否適應(yīng)任意角的三角函數(shù)嗎？

sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝

(x≠0).1、任意角三角函數(shù)的定義對(duì)于確定的角

，上述三個(gè)值都是唯一的一個(gè)值與它對(duì)應(yīng)，所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。指出：由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)。這三個(gè)三角函數(shù)我們可以用x表示自變量，y表示函數(shù)值，即正弦函數(shù)：y=sinx余弦函數(shù)：y=cosx正切函數(shù)：y=tanx5.2、三角函數(shù)的定義域及符號(hào)請(qǐng)你結(jié)合三角函數(shù)定義，并指出這三個(gè)三角函數(shù)各自的定義域及這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)。（填在課本第13頁相應(yīng)表格中）正弦函數(shù)：y=sinx余弦函數(shù)：y=cosx正切函數(shù)：y=tanx

6.xyoa的終邊a的終邊P(x，y)a的終邊P(x，y)a的終邊P(x，y)P(x，y)X>0y>0X>0y<0X<0y<0X<0y>0r>07.xyor>or>or>orya=sin=rya=sin=rya=sin=rya=sin=正弦值對(duì)于第一、二象限的角是正的，對(duì)于第三、四象限的角是負(fù)的。ryy<0y>0y>0y<0r>o>0>0<0<08.xyoX>0X<0X<0r>or>or>oX>0r>orxa=cosrxa=cosrxa=cosrxa=cos====>0>0<0<0余弦值對(duì)于第一、四象限的角是正的，對(duì)于第二、三象限的角是負(fù)的。rx9.xyoX>0X<0X<0y<0y>0y>0y<0X>0xya=tanxya=tanxya=tanxya=tan正切值對(duì)于第一、三象限的角是正的，對(duì)于第二、四象限的角是負(fù)的。xy====>0<0>0<010.xyo三角函數(shù)全為正正弦為正正切為正余弦為正其余為負(fù)其余為負(fù)其余為負(fù)Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦符號(hào)口訣：11.3、定義應(yīng)用例1：求的正弦、余弦、正切值.

思路：畫終邊與單位圓，求交點(diǎn)，求值.解:在直角坐標(biāo)系中,作出,易知的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以O(shè)xyPBAP15練習(xí)112.解:如圖,設(shè)角的終邊與單位圓交于P(x,y).分別過點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則OxyP0（－3，－4）PM0M(x,y)13.思考：已知角

終邊上任一點(diǎn)P(x,y)，如何求它的三角函數(shù)值呢?

xoyP(x,y)

結(jié)論：先求；再按公式r例2、已知角α的終邊過點(diǎn)P(-3，-4)，求α的的正弦、余弦和正切值。

點(diǎn)P(-3,-4)換成(-12,5)P（3a,-4a)(a≠0)14.例3、求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組成立時(shí)，角

為第三象限角.

解：(1)由sin<0，可知

的終邊在第一、三象限內(nèi).分析：本題證明

是第三象限角再由tan>0，故

是第三象限角.(2)若

是第三象限角.則sin<0，且tan>0.由(1),(2)可得原命題得證.練習(xí):(見P15練習(xí)6)可知

的終邊在第三、四象限內(nèi)或y軸的負(fù)半軸上.15.探究：角α與2kπ＋α（k∈Z）的同名三角函數(shù)值大小有何關(guān)系？為什么?即:sinα與sin（2kπ＋α）,cosα與cos（2kπ＋α）,tanα與tan（2kπ＋α）.sin（2kπ＋α）=sinα,cos（2kπ＋α）=cosα,tan（2kπ＋α）=tanα,其中k∈Z.公式一(誘導(dǎo)公式一):提問:你能用文字語言怎樣描述公式一嗎?有何作用?終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等作用:利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值都轉(zhuǎn)化為求0～2

(或0o～360o)角的三角函數(shù)值。

公式一從代數(shù)的角度揭示了三角函數(shù)值的周期變化規(guī)律，即“角的終邊繞原點(diǎn)每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，函數(shù)值都重復(fù)出現(xiàn)”。16.例1、確定下列三角函數(shù)值的符號(hào):解:17.例2、求下列三角函數(shù)值