概率論及數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)資料

概率論及數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)資料匯報人：AA2024-01-19CATALOGUE目錄概率論基本概念隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念和方法方差分析和回歸分析初步了解典型例題解析與練習(xí)題選講01概率論基本概念不可能事件空集?，不包含任何樣本點。必然事件包含樣本空間中所有樣本點的事件，即S本身?；臼录话粋€樣本點的事件。樣本空間所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，常用大寫字母A、B等表示。樣本空間與事件概率定義事件A發(fā)生的可能性大小，記為P(A)。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1）、可加性（互斥事件的概率和）。等可能概型每個基本事件發(fā)生的可能性相同，概率等于事件包含的基本事件數(shù)除以樣本空間的基本事件總數(shù)。概率定義及性質(zhì)條件概率在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)。乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)，用于計算兩個事件的交事件的概率。獨立性如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。條件概率與獨立性030201全概率公式與貝葉斯公式全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個完備事件組，且都有正概率，則對任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以計算事件Bi已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，即P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。02隨機變量及其分布隨機變量定義及分類隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。隨機變量定義根據(jù)隨機變量可能取值的性質(zhì)，可以將其分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量兩類。隨機變量分類離散型隨機變量的分布律是指它在各個可能取值上的概率分布，通常用分布列或分布函數(shù)表示。分布律定義常見的離散型隨機變量分布有0-1分布、二項分布、泊松分布等。常見離散型隨機變量分布離散型隨機變量分布律概率密度函數(shù)定義連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)是一個非負(fù)可積函數(shù)，它在某個區(qū)間內(nèi)的積分值等于該區(qū)間內(nèi)隨機變量取值的概率。常見連續(xù)型隨機變量分布常見的連續(xù)型隨機變量分布有均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)VS隨機變量函數(shù)是指通過一定的函數(shù)關(guān)系將一個隨機變量映射為另一個隨機變量的過程。隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布可以通過原隨機變量的分布和函數(shù)關(guān)系求得，常見的求法有公式法和變換法。隨機變量函數(shù)的定義隨機變量函數(shù)分布03多維隨機變量及其分布對于二維離散型隨機變量(X,Y)，其所有可能取值的概率分布稱為聯(lián)合分布律。對于二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)，如果存在一個非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得對任意x,y，二維隨機變量(X,Y)落在區(qū)域D內(nèi)的概率可表示為?Df(x,y)dxdy，則稱f(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)。聯(lián)合分布律定義聯(lián)合密度函數(shù)定義二維隨機變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)邊緣分布律定義二維離散型隨機變量(X,Y)中，隨機變量X（或Y）自身的概率分布稱為邊緣分布律。邊緣密度函數(shù)定義二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)中，隨機變量X（或Y）自身的概率密度函數(shù)稱為邊緣密度函數(shù)。邊緣分布律/密度函數(shù)條件分布律定義在二維離散型隨機變量(X,Y)中，當(dāng)已知X=x的條件下，Y取各個值的條件概率分布稱為條件分布律。要點一要點二條件密度函數(shù)定義在二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)中，當(dāng)已知X=x的條件下，Y的條件概率密度函數(shù)稱為條件密度函數(shù)。條件分布律/密度函數(shù)定義如果對于所有的x和y，都有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，則稱二維隨機變量(X,Y)是相互獨立的。性質(zhì)相互獨立的隨機變量意味著一個隨機變量的取值不會影響另一個隨機變量的取值。在實際應(yīng)用中，這個性質(zhì)可以大大簡化概率計算的過程。相互獨立隨機變量04數(shù)理統(tǒng)計基本概念和方法總體研究對象的全體個體組成的集合，具有共同的性質(zhì)。樣本從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體性質(zhì)。統(tǒng)計量根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的用于描述樣本特征的量，如樣本均值、樣本方差等?？傮w、樣本和統(tǒng)計量當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，頻率趨于穩(wěn)定，即事件發(fā)生的概率。大數(shù)定律不論總體分布如何，當(dāng)樣本量足夠大時，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。中心極限定理樣本統(tǒng)計量的概率分布，如t分布、F分布、卡方分布等。抽樣分布抽樣分布定理用樣本統(tǒng)計量的某個值直接作為總體參數(shù)的估計值。點估計根據(jù)樣本統(tǒng)計量的分布性質(zhì)，構(gòu)造出總體參數(shù)的一個置信區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率。區(qū)間估計參數(shù)估計方法假設(shè)檢驗原理及步驟假設(shè)檢驗原理：先對總體參數(shù)提出一個假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否成立。假設(shè)檢驗原理及步驟0102031.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。2.選擇適當(dāng)?shù)臋z驗統(tǒng)計量，并確定其分布。假設(shè)檢驗步驟假設(shè)檢驗原理及步驟013.根據(jù)顯著性水平和樣本信息，確定拒絕域。024.根據(jù)樣本觀測值計算檢驗統(tǒng)計量的值，并判斷是否在拒絕域內(nèi)。5.作出決策：若在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)。0305方差分析和回歸分析初步了解方差分析原理方差分析是一種通過比較不同組別數(shù)據(jù)的方差來推斷總體均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計方法。它基于F分布，通過計算組間方差和組內(nèi)方差，構(gòu)造F統(tǒng)計量，進(jìn)而進(jìn)行假設(shè)檢驗。應(yīng)用場景方差分析廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域。例如，在醫(yī)學(xué)研究中，可以通過方差分析比較不同治療方法對患者病情的影響；在社會科學(xué)中，可以比較不同群體對某一政策的態(tài)度差異；在經(jīng)濟學(xué)中，可以分析不同市場因素對股票價格的影響。方差分析原理及應(yīng)用場景回歸分析原理及應(yīng)用場景回歸分析是一種研究自變量與因變量之間關(guān)系的統(tǒng)計方法。它通過構(gòu)建回歸模型，描述自變量對因變量的影響程度，并可用于預(yù)測和解釋數(shù)據(jù)?；貧w分析原理回歸分析在金融、經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)、工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。例如，在金融領(lǐng)域，可以利用回歸分析預(yù)測股票價格或評估投資風(fēng)險；在經(jīng)濟領(lǐng)域，可以分析消費者行為與市場需求之間的關(guān)系；在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，可以研究疾病與基因、環(huán)境等因素的關(guān)系；在工程領(lǐng)域，可以預(yù)測產(chǎn)品質(zhì)量或分析工藝參數(shù)對產(chǎn)品性能的影響。應(yīng)用場景線性回歸模型是一種描述自變量與因變量之間線性關(guān)系的模型。建立線性回歸模型需要確定自變量和因變量，選擇合適的模型形式（如一元線性回歸、多元線性回歸等），并通過最小二乘法等方法估計模型參數(shù)。線性回歸模型建立建立線性回歸模型后，需要進(jìn)行模型檢驗以評估模型的擬合效果和預(yù)測能力。常見的模型檢驗方法包括殘差分析、擬合優(yōu)度檢驗（如R方值）、F檢驗、t檢驗等。這些檢驗方法可以幫助我們判斷模型的可靠性、穩(wěn)定性和適用性。模型檢驗線性回歸模型建立與檢驗06典型例題解析與練習(xí)題選講設(shè)隨機事件A與B相互獨立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，求P(A∪B)。例題1例題2例題3設(shè)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，求E(X)和D(X)。設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。現(xiàn)有樣本X?,X?,...,X?，求μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間。典型例題解析練習(xí)題2設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={2