2024北京西城區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京西城高二（上）期末數(shù)學(xué)2024.1本試卷共5頁，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共分）一選擇題共10小題，每小題分，共分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要?440.求的一項(xiàng).1.直線3x?4y+1=0不經(jīng)過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限x=6y的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于（）22.拋物線3A.B.3C.6D.823.在空間直角坐標(biāo)系O?(?)到平面xOz的距離與其到平面A2,8的距離的比值等于中，點(diǎn)（）1412A.B.C.2D.431x4.在2x+x的展開式中，的系數(shù)為（）A.3B.6C.9D.125.在正四面體ABCD中，棱AB與底面BCD所成角的正弦值為（）3613223A.B.C.D.33和平面，且baa，則“直線∥直線b”是“直線∥平面”的（）a,b6.已知直線A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件x2y2,BE:?=ab0)的左右頂點(diǎn)，M為雙曲線E上一點(diǎn)，且?7.設(shè)為雙曲線為等腰三a2b2角形，頂角為120，則雙曲線E的一條漸近線方程是（）y=xy=2xA.B.2xD.y=3xC.y=8.在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選3個(gè)，則這3個(gè)頂點(diǎn)恰好不在同一個(gè)表面正方形中的選法有（A.12種B.24種C.32種D.36種）ABCD?ABCDAB=BC=1=EBC為棱的中點(diǎn)，P為四邊形119.如圖，在長(zhǎng)方體中，11111B⊥內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).且DPBE，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）1第1頁/共9頁A.5B.25C.42D.13內(nèi)，圓C:(x?2)2+(y?2)2=1，若直線l:x+y+m=0繞原點(diǎn)O10.在直角坐標(biāo)系順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90m后與圓C存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）D.?2+2,2+2?2,2?4?2,?4+2?2?2,?2+2A.B.C.第二部分（非選擇題共分）?二填空題共小題，每小題分，共5525分.(?)且與直線++=平行的直線方程為A3xy30過點(diǎn)__________.(2x+4的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和等于__________.（用數(shù)字作答）12.在13.分別為3，，則窄口容器與寬口容器的液體高度的比值等于__________.x2y2+=1表示的曲線為雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________；若此方程表示的14.若方程m+24?mm曲線為橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.ABCD?ABCDAB=EBB的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱為棱（含端點(diǎn)）上的一個(gè)1115.如圖，在正方體中，1111動(dòng)點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：BF1A；1①存在符合條件的點(diǎn)F，使得∥平面②不存在符合條件的點(diǎn)F，使得BFDE；⊥5AD③異面直線與所成角的余弦值為1；1523F?1,2④三棱錐的體積的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.?三解答題共小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程685..第2頁/共9頁16.（本小題10分）從6男410名志愿者中，選出3人參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).（1）共有多少種不同的選擇方法？（2）若要求選出的3名志愿者中有2男1女，且他們分別從事經(jīng)濟(jì)文化和民生方面的問卷調(diào)查工作，求?共有多少種不同的選派方法？17.（本小題15分）ABC?ABCBA⊥BC,BC=AB=AA1=4.如圖，在直三棱柱中，111AB1⊥A；1（1）證明：直線平面（2）求二面角18.（本小題15分）B?CA1?A的余弦值.()和()，且圓心C在直線?+=Bxy10上.CA1,3已知（1）求經(jīng)過點(diǎn)C的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線l與相切于點(diǎn)，點(diǎn)()若點(diǎn)在直線l上，且N8,0.=CMP，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.19.（本小題15分）x2y2+=ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積等于12.設(shè)圓已知橢圓C:a2b2(x?2+y2=25M,P的圓心為（1）求橢圓C的離心率；為此圓上一點(diǎn).（2）記線段MP與橢圓C的交點(diǎn)為Q20.（本小題15分），求的取值范圍.如圖，在四棱錐P?中，AD平面交于點(diǎn)F，且===CD=2，再從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.條件①：PBBD；條件②：PA⊥BC⊥PAB,ABDC,E為棱的中點(diǎn)，平面DCE與棱相∥=.（1）求證：AB∥EF；（2）求點(diǎn)P到平面的距離；第3頁/共9頁2（3）已知點(diǎn)M在棱PC上，直線BM與平面DCEF所成角的正弦值為，求的值.321.（本小題15分）x2y2+=ab0)左右焦點(diǎn)分別為?F,FF的直線與橢圓C，過1,B相交于兩點(diǎn).已知橢設(shè)橢圓C:12a2b212圓C的離心率為,的周長(zhǎng)為（1）求橢圓C的方程；xMF為1（2）判斷軸上是否存在一點(diǎn)M，對(duì)于任一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，使得的一條內(nèi)角平分線？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.第4頁/共9頁參考答案一選擇題：本大題共10小題，每小題分，共40分?41.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B10.A二填空題：本大題共小題，每小題分，共25分?55x+y+1=014.12.8113.4(?)()；(?)(),22,11,415.注：第14題第一問3分，第二問2分；第15題全部選對(duì)得5分，有兩個(gè)選對(duì)且無錯(cuò)選得3分，有一個(gè)選對(duì)且無錯(cuò)選得2分，其他得0分.三解答題：本大題共小題，共85分其他正確解答過程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.?6.16.（本小題10分）1）從6男4女共名志愿者中，選出3人參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，C310=120種.選擇方法數(shù)為（2）從名志愿者中選2男1女，選擇方法數(shù)共有C261C=60種，4故從10名志愿者中選2男1女，且分別從事經(jīng)濟(jì)文化和民生方面的問卷調(diào)查工作的選派方法數(shù)為?C21A3=360種.64317.（本小題15分）1）在直三棱柱ABC?ABC中，111AA1⊥ABC,因?yàn)?平面平面ABC，1⊥所以.又因?yàn)椤虰C,1=A，所以⊥平面BB，11⊥所以.1AB=AA1=4BB為正方形.11由，得四邊形⊥AB所以.11BC1B=B又因?yàn)樗?，AB1⊥A1平面.BB1⊥ABC,BA⊥BC，（2）因?yàn)槠矫?BC,BB所以故以B為原點(diǎn)，兩兩互相垂直，1x?y?z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,BC,BB..的方向分別為軸軸1第5頁/共9頁則()()()(1).A4,0,0,C0,3,0,A4,0,4,B0,0,41)=(0,0,4).=(?4,3,0,所以設(shè)平面1Am(xz)，的法向量為1m?4x3y4z=0.+=即則mAA=1令x=3，則y=z=0.m=4,0().于是AB=(?4,0,4AB1|m|)的一個(gè)法向量.A由（1）可知：是平面11232AB1,m==?因?yàn)椋?10由圖可知二面角B?CA1?A的平面角為銳角，32所以二面角B?CA1?A的余弦值為.1018.（本小題15分）1）由題意，設(shè)(+)，半徑為，Ca,a1rC的圓心?a)2+(3?a?22=22r,.則(5?a)2+?a?=ra=解得：所以r=C(x?2+(y?6)為直角三角形，且⊥，||2.=，得||+||+=(x?2=25.的方程為（2）由平面幾何，知所以||2+||222||2由.Px,y)，則(x?設(shè)(2+y22+(y?2.即3x?6y?14=0，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為3x?6y?14=019.（本小題15分）.c=5,2ab=a2=b+c2，21）由題意，得所以a=b=2，第6頁/共9頁c5所以橢圓C的離心率e==.a3=?=5?（2）由題意，得.x219y12設(shè)()，則1Qx,y+=1.1449599216=(?)x12+y21=(?)x12+?x21=x?1+所以MQ4，.1155x1?3,3因?yàn)椋?45x=1x；當(dāng)1=?3時(shí)，|=4.時(shí)，|=所以當(dāng)554551,5?.所以的取值范圍為20.（本小題15分）解：選擇條件①：DC,AB,（1）因?yàn)锳B∥所以AB∥平面DCEF.平面平面DCEF，又因?yàn)锳B平面PAB，平面PAB平面，DCEF=EF所以AB∥EF.（2）因?yàn)锳D平面⊥PAB，AD⊥,AD⊥AB所以.PB=BD,PA=AB=AD=CD=2又因?yàn)樗裕?因此=90，即=AB,AD,兩兩垂直.xyz如圖，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，所以().)()()(D2,0,C2,0,P0,0,2,B2,0,0由（1AB∥EF，且E為棱的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F為棱PA的中點(diǎn).(E0,1,F0,1)()，)=(?)=(?1,0,0).FP0,1,2,1,CD=(故設(shè)平面DCEF的一個(gè)法向量為n(x,,z)，z=則CDn=?x=第7頁/共9頁y=1，則x=z=2，即n=(2).取FPn5所以點(diǎn)P到平面DCEF的距離d=.nPM=,0,1（3）設(shè)，PCPM=PC=(?)=(?).2,2,2則=+=(??).2,2,22所以設(shè)直線BM與平面DCEF所成角為，所以sin|BM,n=|BM||n||0+2+4?4|2=.(?2++?5(2)(22)22313?+1=0，解得26=化簡(jiǎn)，得9，PMPC1=.即3選擇條件②：（1）與上述解法相同，略.（2）因?yàn)锳D平面⊥PAB，AD⊥,AD⊥AB所以，PA⊥BC,BC又因?yàn)榕cAD相交，所以PA平面⊥ABCD.所以PAAB.⊥AB,AD,即兩兩垂直.以下與上述解法相同，略.21.（本小題15分）4a=ca1=,1）由題意，得2=ba22+c,2a=b=3,c=1.解得x2y2所以橢圓C的方程為+=1.43()符合題意.Mx,00x（2）假設(shè)軸上存在一點(diǎn)AB:y=kx+1k0,Ax,y,Bx,y).2()()()(由題意，設(shè)直線112第8頁/共9頁=(+)ykx1,y，聯(lián)立方程x2y2消去+=43得3+4k)x+8kx+4k?12=02222.8k+24k?122所以12+=?,12=.34k23+4k2(+)1?0kx1k==1由題意，知直線AM的斜率存在，且為，??1010(+)y2?0k21同理，直線BM的斜率為k==.??2020(+)?(+)12?0k11kx2k+kBM=+所以