新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點突破學(xué)案2.3《平面向量綜合問題》培優(yōu)點（原卷版）

第第頁培優(yōu)點5平面向量“奔馳定理”平面向量是高考的必考考點，它可以和函數(shù)、三角、數(shù)列、幾何等知識相結(jié)合考查.平面向量的“奔馳定理”，對于解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用.考點一平面向量“奔馳定理”定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.例1已知O是△ABC內(nèi)部一點，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，則實數(shù)m等于()A.2B.3C.4D.5易錯提醒利用平面向量“奔馳定理”解題時，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點P為△ABC內(nèi)一點；定理中等式左邊三個向量的系數(shù)不是三角形的面積，而是面積之比.跟蹤演練1設(shè)點O在△ABC內(nèi)部，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(S△OAB,S△OBC)＝________.考點二“奔馳定理”和三角形的“四心”(四心在三角形內(nèi)部)(1)O是△ABC的重心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(2)O是△ABC的內(nèi)心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O是△ABC的外心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin2A∶sin2B∶sin2C?sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(4)O是△ABC的垂心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tanA∶tanB∶tanC?tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.考向1“奔馳定理”與重心例2已知在△ABC中，G是重心，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且56aeq\o(GA,\s\up6(→))＋40beq\o(GB,\s\up6(→))＋35ceq\o(GC,\s\up6(→))＝0，則B＝________.考向2“奔馳定理”與外心例3已知點P是△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))＝0，C＝eq\f(2π,3)，則λ＝________.考向3“奔馳定理”與內(nèi)心例4在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O為△ABC的內(nèi)心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則3λ＋6μ的值為()A.1B.2C.3D.4考向4“奔馳定理”與垂心例5已知H是△ABC的垂心，若eq\o(HA,\s\up6(→))＋2eq\o(HB,\s\up6(→))＋3eq\o(HC,\s\up6(→))＝0，則A＝________.規(guī)律方法涉及三角形的四心問題時，內(nèi)心和重心一定在三角形內(nèi)部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推論中的點都在三角形內(nèi)部，解題時，要注意觀察題目有無這一條件.跟蹤演練2(1)設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，且2eq\o(IA,\s\up6(→))＋3eq\o(IB,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(IC,\s\up6(→))＝0，則角C＝________.(2)設(shè)點P在△ABC內(nèi)部且為△ABC的外心，∠BAC＝eq\f(π,6)，如圖.若△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為eq\f(1,2)，x，y，則x＋y的最大值是______.專題強化練1.點P在△ABC內(nèi)部，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為()A.2∶1B.3∶2C.3∶1D.5∶32.點O為△ABC內(nèi)一點，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ和μ的值分別為()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)3.△ABC的重心為G，AB＝6，AC＝8，BC＝2eq\r(13)，則△BGC的面積為()A.12eq\r(3)B.8eq\r(3)C.4eq\r(3)D.44.如圖所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝60°，M為△ABC的外心，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則4λ＋3μ等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,3)D.eq\f(8,3)5.(多選)如圖，設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則()A.eq\f(S△ABP,S△ABC)＝eq\f(1,5)B.eq\f(S△ABQ,S△ABC)＝eq\f(1,3)C.eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(4,5)D.eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(3,4)6.△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，半徑為2，且S△ABC＝14,2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△ABC的外接圓面積為________.7.若△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.則△ABC的面積為______.8.已知點P，Q在△ABC內(nèi)，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝________.培優(yōu)點6向量極化恒等式平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點，很多時候需要用基底代換，運算量大且復(fù)雜，用向量極化恒等式、等和(高)線求解，能簡化向量代換，減少運算量，使題目更加清晰簡單.考點一向量極化恒等式極化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2﹣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.變式：(1)a·b＝eq\f(a＋b2,4)﹣eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)﹣eq\f(|a－b|2,4).(2)如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2﹣eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2﹣eq\o(MB,\s\up6(→))2.考向1利用向量極化恒等式求值例1(1)如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝4eq\r(5)，AD＝8，E，O，F(xiàn)為線段BD的四等分點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝________.(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點.eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝﹣1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________.考向2利用向量極化恒等式求最值、范圍例2(1)已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點，P是圓O所在平面上任意一點，則(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是________.(2)平面向量a，b滿足|2a﹣b|≤3，則a·b的最小值為________.規(guī)律方法利用向量的極化恒等式可以快速對數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點的向量問題.跟蹤演練1(1)如圖，在四邊形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝﹣eq\f(3,2)，則實數(shù)λ的值為________；若M，N是線段BC上的動點，且|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DN,\s\up6(→))的最小值為________.(2)如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點，當(dāng)弦MN的長度最大時，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是________.考點二等和(高)線解基底系數(shù)和(差)問題等和(高)線平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k＝1；(2)當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時，k∈(0,1)；(3)當(dāng)直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；(4)當(dāng)?shù)群途€過O點時，k＝0；(5)若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；(6)定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.例3(1)在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.1(2)如圖，圓O是邊長為2eq\r(3)的等邊△ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點D，點M為圓上任意一點，eq\o(BM,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BD,\s\up6(→))(x，y∈R)，則2x＋y的最大值為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.2eq\r(2)易錯提醒要注意等和(高)線定理的形式，解題時一般要先找到k＝1時的等和(高)線，以此來求其他的等和(高)線.跟蹤演練2給定兩個長度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為eq\f(2π,3)，如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的eq\o(AB,\s\up8(︵))上運動，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y的最大值是________.專題強化練1.已知正方形ABCD的面積為2，點P在邊AB上，則eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最大值是()A.eq\f(9,2)B.2C.eq\f(3,2)D.eq\f(3,4)2.如圖，在四邊形MNPQ中，若eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝10，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝﹣28，則eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))等于()A.64B.42C.36D.283.若A，B為雙曲線eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,4)＝1上經(jīng)過原點的一條動弦，M為圓C：x2＋(y﹣2)2＝1上的一個動點，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值為()A.eq\f(15,4)B.7C.﹣7D.﹣164.如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點P是區(qū)域ABDC內(nèi)任意一點(含邊界)，且eq\o(AP,\s\