新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破學(xué)案3.1《等差數(shù)列、等比數(shù)列》（原卷版）

第第頁(yè)第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列[考情分析]1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn).考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算核心提煉等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n﹣1)d.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn﹣1.(3)等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))例1(1)設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S5＝4a4，則eq\f(S12,a5)等于()A.10B.14C.15D.18(2)河南洛陽(yáng)的龍門(mén)石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門(mén)石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國(guó)四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則log2(a3·a5)的值為()A.8B.10C.12D.16規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題的求解策略(1)抓住基本量，首項(xiàng)a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝p·qn﹣1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列.(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.跟蹤演練1(1)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2﹣a5＝42，則a6等于()A.14B.12C.6D.3(2)(多選)北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為a1，a2，a3，…，a9，設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝18，a4＋a6＝90，則()A.a1＝6B.{an}的公差為9C.a6＝3a3D.S9＝405考點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)核心提煉1.通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對(duì)于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對(duì)于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2.前n項(xiàng)和的性質(zhì)：(1)對(duì)于等差數(shù)列有Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…成等比數(shù)列(q＝﹣1且m為偶數(shù)時(shí)除外).(2)對(duì)于等差數(shù)列有S2n﹣1＝(2n﹣1)an.例2(1)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足aeq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,6)＝aeq\o\al(2,7)＋aeq\o\al(2,8)，則()A.a6＝0B.a7＝0C.S12＝0D.S13＝0(2)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，記{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A.0<q<1B.a6>1C.T12>1D.T13>1規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問(wèn)題的求解策略(1)抓關(guān)系，抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題.跟蹤演練2(1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，則a15＋a16等于()A.32B.64C.128D.256(2)(多選)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7·a8<0，則()A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列B.S6>S9C.當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大D.當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最大值為14考點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷核心提煉等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1﹣an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項(xiàng)法an＝a1＋(n﹣1)dan＝a1qn﹣1中項(xiàng)法2an＝an﹣1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an﹣1an＋1(n≥2，an≠0)前n項(xiàng)和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn﹣k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法.例3若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝5，對(duì)于任意的n∈N*，都有an＋2＝6an＋1﹣9an.(1)證明：數(shù)列{an＋1﹣3an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.易錯(cuò)提醒(1)aeq\o\al(2,n)＝an﹣1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說(shuō)明{an}為等比數(shù)列.(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法.跟蹤演練3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＝3Sn﹣2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求證：對(duì)任意的m∈N*，Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列.專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足2a4＝a3＋5，則S9等于()A.35B.40C.45D.502.在等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝1，a6＋a8＝﹣32，則eq\f(a10＋a12,a5＋a7)等于()A.﹣8B.16C.32D.﹣323.我國(guó)的《洛書(shū)》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將1,2，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，如圖所示.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3，…，n2填入n×n個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做n階幻方.記n階幻方中數(shù)的和即方格內(nèi)的所有數(shù)的和為Sn，如圖三階幻方中數(shù)的和S3＝45，那么S9等于()A.3321B.361C.99D.334.等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件5.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，記bn＝an＋an＋1＋an＋2且bn＋1﹣bn＝2，則S31等于()A.171B.278C.351D.3956.公比為q的等比數(shù)列{an}滿足：a9＝lna10>0，記Tn＝a1a2a3…an，則當(dāng)q最小時(shí)，使Tn≥1成立的n的最小值是()A.17B.18C.20D.21二、多項(xiàng)選擇題7.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0.若Sn≤S6，則()A.a1<0B.d<0C.a6＝0D.S13≤08.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，a2＝2，an＋1＝4an﹣3an﹣1，則下面說(shuō)法正確的是()A.數(shù)列{an＋1﹣an}為等比數(shù)列B.數(shù)列{an＋1﹣3an}為等差數(shù)列C.an＝3n﹣1＋1D.Sn＝eq\f(3n－1,4)＋eq\f(n,2)三、填空題9.在數(shù)列{an}中，a1＝2，eq\r(an＋1)＝eq\r(an)＋eq\r(2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.10.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題的“物不知數(shù)”問(wèn)題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何？現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：將1到2022這2022個(gè)自然數(shù)中被3除余2且被5除余4的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______.11.已知等比數(shù)列{an}滿足：a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6，a3＝3，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＝________.12.分形幾何學(xué)的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.圖1是長(zhǎng)度為1的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”…，依次進(jìn)行“n次分形”(n∈N*).規(guī)定：一個(gè)分形圖中所有線段的長(zhǎng)度之和為該分形圖的長(zhǎng)度，要得到一個(gè)長(zhǎng)度不小于30的分形圖，則n的最小整數(shù)值是________.(取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)四、解答題13.已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的