適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理教師用書新人教A版必修第二冊

PAGE6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個向量,那么對于這一平面內(nèi)的向量a,實數(shù)λ1,λ2,使a=.

(2)基底:的向量{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

2.平面向量基本定理敘述了平面內(nèi)一個怎樣的理論事實?3.基底有哪些性質(zhì)?一、單選題1.如圖,在△ABC中,D為BC的中點,點E在AD上,且=3,則= ()A.12+12B.12+38C.38+38 D.38+122.已知A,B,D三點共線,且對任一點C,有=43+λ,則λ等于 ()A.23B.13C.-133.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則λμ= (A.2 B.4 C.5 D.74.A,B,O是平面內(nèi)不共線的三個定點,且=a,=b,點P關(guān)于點A的對稱點為Q,點Q關(guān)于點B的對稱點為R,則等于 ()A.a-b B.2(b-a)C.2(a-b) D.b-a二、多選題5.如圖所示,設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點,下列向量組可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.與 B.與C.與 D.與6.(教材改編題)如圖,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=π3,E,F分別為CD,BC的中點,則正確的是 (A.=12+B.=+12C.·=25D.·=·三、填空題7.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量),則c=.(用a,b表示)

8.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,點M,N分別為DC,BC邊上的中點,已知=a,=b,用基底{a,b}表示=.

四、解答題9.如圖所示,在?ABCD中,點E,F分別為BC,DC邊上的中點,DE與BF交于點G,若=a,=b,試用基底{a,b}表示向量,.10.如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=32AB,點E是AB的中點,AF=13AD,BG=13BC,判斷EF與一、選擇題1.如圖所示,平面內(nèi)的兩條直線OP1和OP2將平面分割成四個部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括邊界),若=a+b,且點P落在第Ⅰ部分,則實數(shù)a,b滿足 ()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0C.a<0,b>0 D.a<0,b<01題圖2題圖2.如圖,在等腰梯形ABCD中,DC=12AB,BC=CD=DA,DE⊥AC于點E,則= ()A.12-12 B.12+12C.12-14 D.12+14二、填空題3.如圖,平面內(nèi)有三個向量,,,其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||=||=1,||=23,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值等于.

4.若點M是△ABC所在平面內(nèi)一點,且滿足:=34+14.則△ABM與△ABC的面積之比為.

三、解答題5.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點,已知=c,=d,試用c,d表示,.6.如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,DM=13DE,若=a,=b.(1)用a,b表示;(2)若N為線段BC上的點,且BN=13BC,利用向量方法證明:A,M,N三點共線6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理必備知識·落實1.(1)不共線任一有且只有一對λ1e1+λ2e2(2)不共線2.平面向量基本定理告訴我們,平面內(nèi)任何一個向量都可以沿著兩個不共線的方向分解成兩個向量的和,并且這種分解是唯一的.3.基底的性質(zhì)(1)不共線性平面內(nèi)兩個不共線的向量才可以作為一個基底,基底不同,表示也不同.(2)不唯一性對基底的選取不唯一.平面內(nèi)任一向量a都可被這個平面的一個基底{e1,e2}線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的.(3)若基底選取不同,則表示同一向量的實數(shù)λ1,λ2可以不同,也可以相同.知能素養(yǎng)·進(jìn)階【基礎(chǔ)鞏固組】1.C在△ABC中,D為BC的中點,則=12(+),又=3,所以=34,所以=34×12(+)=38+38.2.C因為A,B,D三點共線,所以存在實數(shù)t,使=t,則-=t(-).所以=+t(-)=(1-t)+t.所以1-t=433.B根據(jù)題意不妨取如圖所示的兩個互相垂直的單位向量e1,e2,則a=-e1+e2,b=6e1+2e2,c=-e1-3e2.因為c=λa+μb(λ,μ∈R),所以-e1-3e2=λ(-e1+e2)+μ(6e1+2e2)=(-λ+6μ)e1+(λ+2μ)e2,所以-λ+6μ=-14.B如圖,a=12(+),b=12(+),相減得b-a=12(-),所以=2(b-a).5.ACB中與共線,D中與共線,AC中兩向量不共線.6.ABD由題意可知,=+=+12,=+=+12,故A,B正確;·-·=(-)·=·=12·=0,故D正確;·=(12+)·(+12)=12+54·+12=12×42+54×4×4×12+12×4×4=26,7.【解析】設(shè)c=λa+μb,則-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,因為e1,e2不共線,所以-2=λ故c=2a-2b.答案:2a-2b8.【解析】方法一:=-=-12b--12a=12a-1方法二:=12=12(a-b).答案:12(a-b9.【解析】=++=-++12=-++12=a-12b.=++=-++12=b-12a.10.【解析】EF⊥EG,證明如下:設(shè)=a,=b,由題意,=-=13-12=13b-12a,=+=12+13=12a+13b,所以·=19b2-1=19×32a所以⊥,即EF⊥EG.【素養(yǎng)提升組】1.C當(dāng)點P落在第Ⅰ部分時,按向量與分解時,一個與反向,一個與同向,故a<0,b>0.2.A因為CD=DA,DE⊥AC,所以E是AC的中點,所以=12+12=12+12=-12,又因為DC∥AB,DC=12AB所以=12,所以=12-12.3.【解析】如圖,以O(shè)A,OB所在射線為鄰邊,OC為對角線作平行四邊形ODCE,則=+.因為∠EOA=120°,∠AOC=30°.所以∠EOC=90°,所以∠DCO=90°.在Rt△OCD中,因為||=23,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,故=4,=2,即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.答案:64.【解析】由=34+14可知M,B,C三點共線,如圖,令=λ,則=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ?λ=14,所以S△ABMS△ABC=14,即△ABM與△ABC面積之比為1∶4.答案:1∶45.【解析】設(shè)=a,=b,則=+=+12=12a+b,①=+=+12=a