高斯小學(xué)奧數(shù)六年級(jí)上冊含答案第13講-概率初步

第十三講概率初步日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些無法事先預(yù)測結(jié)果的事情，比如拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面，明天會(huì)不會(huì)下雨，歐洲杯誰會(huì)奪冠等，這些事情我們稱作隨機(jī)事件，它們的結(jié)果都有不確定性，是無法預(yù)知的．盡管無法預(yù)知結(jié)果，但有時(shí)我們可以根據(jù)一些跡象或者經(jīng)驗(yàn)了解結(jié)果發(fā)生的可能性的大小，例如：今天烏云密布，那么明天很有可能下雨；中國足球隊(duì)參加世界杯奪冠的可能性非常小；一次投擲10枚硬幣，出現(xiàn)10個(gè)正面的可能性非常小．為了能夠更準(zhǔn)確的描述這種“可能性的大小”，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡在17世紀(jì)創(chuàng)立了概率論，把對隨機(jī)事件的研究上升到一門科學(xué)．（當(dāng)時(shí)他們通過信件討論了社會(huì)上的兩個(gè)熱點(diǎn)問題——擲骰子問題和比賽獎(jiǎng)金分配問題）概率基本概念概率反應(yīng)了一個(gè)隨機(jī)事件結(jié)果發(fā)生的可能性，例如：投擲一枚硬幣，正面和反面出現(xiàn)的可能性相同，所以概率均為；投擲一個(gè)骰子，每種點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性相同，所以概率均為．概率是0~1之間用來表示事件可能性大小的一個(gè)數(shù)值．關(guān)于概率，大家要有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)，投擲1枚硬幣，正面出現(xiàn)的概率為，并不是說投擲2次一定會(huì)有1次正面，而是說每次扔都有可能性出現(xiàn)正面．雖然投擲2次硬幣，不見得正面會(huì)出現(xiàn)一半，但是，投擲次數(shù)越多，正面出現(xiàn)的比例越接近一半（例如無論誰投擲10000次硬幣，正面出現(xiàn)的比例都會(huì)很接近0.5）．（這個(gè)特點(diǎn)在概率論中被稱為大數(shù)定律）換言之，概率可以展示出大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律性．基于此，在17世紀(jì)概率剛創(chuàng)始的年代，人們提出了古典概率模型．古典概率模型古典概率模型是最簡單的概率計(jì)算模型，它的想法非常簡單，用“條件要求的情況總量”除以“全部情況數(shù)量”即可．古典概型中，第一個(gè)重要條件是“全部情況的數(shù)量是有限個(gè)”，下面我們先用幾個(gè)簡單例子來看一下古典概型的用法：1．A、B、C排成一排，共有6種排法，其中A占排頭的方法共2種，所以A站排頭的概率是．2．從3個(gè)男生、2個(gè)女生中，隨意選出2個(gè)人去參加數(shù)學(xué)競賽，共有10種方法，其中選出2個(gè)男生的方法數(shù)有3種，所以選出2個(gè)男生的概率是．3．3個(gè)男生、2個(gè)女生站成一排照相共有120種站法，其中女生互不相鄰的站法共72種，所以3男、2女站成一排，女生互不相鄰的概率是．上面的例子都比較簡單，因?yàn)橛?jì)算概率所需要的兩個(gè)數(shù)都非常好算，接來下我們再看幾個(gè)例子，從這幾個(gè)例子中，大家要能體會(huì)到古典概型的第二個(gè)重要條件——等可能性．4．從10個(gè)紅球、1個(gè)白球中，隨意的取出1個(gè)球，取到紅球的概率是．5．投擲兩枚硬幣，出現(xiàn)2個(gè)正面的概率是，出現(xiàn)1正1反的概率是，出現(xiàn)2反的概率是．6．從3個(gè)紅球、2個(gè)白球中，隨意取出2個(gè)球，取到2個(gè)紅球的概率是．例4比較簡單，在例5中，從硬幣的結(jié)果看，只有3種情況——“2正、1正1反、2反”，但概率都不是，因?yàn)檫@3種結(jié)果出現(xiàn)的可能性不同，給硬幣編上A和B，那么出現(xiàn)1正1反有兩種情況“A正B反、A反B正”，而2正和2反都只有1種情況（投擲2枚硬幣共4種情況）．而例6和例2是相同的題目（把紅球換成男生，白球換成女生即可）．從這3個(gè)例子可以看出，在計(jì)算概率時(shí)，不能簡單的看有幾種最終結(jié)果，因?yàn)榻Y(jié)果必須是“等可能”才行（例4的結(jié)果只有紅球和白球兩種，但概率顯然不相等）．為了計(jì)算“等可能”的結(jié)果，一個(gè)簡單方法是給每個(gè)物體編號(hào)，例如例4，假設(shè)紅球是1號(hào)到10號(hào)，白球是11號(hào)，那么顯然共有11種不同取法，其中有10種取到紅球，所以概率是．4個(gè)男生、2個(gè)女生隨機(jī)站成一排照相，請問：（1）女生恰好站在一起的概率是多少？（2）女生互不相鄰的概率是多少？（3）男生互不相鄰的概率是多少？

「分析」對于排隊(duì)問題大家還記得“捆綁”和“插空”法嗎？

練習(xí)1、關(guān)羽、張飛、趙云、黃忠、馬超隨機(jī)的站成一行上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，請問：（1）關(guān)羽站在正中間的概率是多少？（2）關(guān)羽和張飛相鄰的概率是多少？（3）關(guān)羽和張飛中間恰好隔著一個(gè)人的概率是多少？

一個(gè)不透明的袋子里裝著2個(gè)紅球，3個(gè)黃球和4個(gè)黑球．從口袋中任取一個(gè)球，請問：（1）這個(gè)球是紅球的概率是多少？（2）這個(gè)球是黃球或者是黑球的概率是多少？（3）這個(gè)球是綠球的概率是多少；不是綠球的概率是多少？「分析」首先計(jì)算一下取球的總的情況數(shù)，再計(jì)算問題要求的取球情況數(shù)．

練習(xí)2、北京數(shù)學(xué)學(xué)校從集訓(xùn)隊(duì)中隨機(jī)選出3個(gè)人去參加比賽，已知集訓(xùn)隊(duì)中共有4個(gè)男生、3個(gè)女生，請問：（1）選出3個(gè)男生的概率是多少？（2）選出2男1女的概率是多少？

一次投擲兩個(gè)骰子，請問：（1）兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率是多少？（2）兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)和為5的概率是多少？（3）兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)差是1的概率是多少？

「分析」骰子是一個(gè)正方體，每個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)從1到6，可以按題目要求枚舉一些情況，根據(jù)枚舉結(jié)果總結(jié)規(guī)律計(jì)算最后答案．

練習(xí)3、一次投擲3枚硬幣，請問：（1）出現(xiàn)3個(gè)正面的概率是多少？（2）出現(xiàn)1正2反的概率是多少？

兩個(gè)盒子中分別裝有形狀大小相同的黑球、白球和黃球各1個(gè)，現(xiàn)在從兩個(gè)盒子中各取一個(gè)球，那么它們同色的概率是多少？不同色的概率是多少？

「分析」任取兩球它們顏色的可能情況有多少種？其中有多少同色情況？

練習(xí)4、一個(gè)不透明的袋子里裝著2個(gè)紅球、3個(gè)黃球和4個(gè)黑球．從中任取兩個(gè)球，請問：取出2個(gè)黑球的概率是多少？取出1紅1黃的概率是多少？取出1黃1黑的概率是多少？

概率的獨(dú)立性如果兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)事件的結(jié)果互不影響，則稱它們相互獨(dú)立，例如：A買彩票是否中獎(jiǎng)和B買彩票是否中獎(jiǎng)是獨(dú)立的；甲考試能否及格和乙考試能否及格是獨(dú)立的；如果兩個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立，那么它們同時(shí)發(fā)生的概率是它們單獨(dú)發(fā)生概率的乘積．神射手和神槍手兩人打靶，已知他們的命中率分別為0.8和0.9，他們每人開一槍，那么他們都命中的概率是多少？都沒命中的概率是多少？

「分析」理解概率獨(dú)立性，根據(jù)獨(dú)立性解題即可．

需要分步計(jì)算的概率問題有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時(shí)有先后順序，這時(shí)在計(jì)算概率時(shí)需要分步計(jì)算，這時(shí)只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：一個(gè)盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個(gè)，從中先取出1個(gè)球，然后從剩下的球中再取出一個(gè)，那么第一次抽到黑球的概率是，第二次抽到黑球的概率是，所以兩次都抽到黑球的概率是．在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放回拿球”和“有放回拿球”的區(qū)別，它關(guān)系到每步的概率計(jì)算結(jié)果．例如：一個(gè)盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個(gè)，從中先取出1個(gè)球，然后把它放回去，再從盒子中取出一個(gè)，那么兩次都抽到黑球的概率是．3個(gè)人進(jìn)行抽簽，已知3個(gè)簽中只有一個(gè)寫有“中獎(jiǎng)”，3個(gè)人先后抽取，那么第一個(gè)抽和第二個(gè)抽的中獎(jiǎng)概率哪個(gè)大？

「分析」分步計(jì)算概率即可．

小概率事件之買彩票彩票市場產(chǎn)生于16世紀(jì)的意大利，從古羅馬、古希臘開始，即有彩票開始發(fā)行．發(fā)展到今天，世界上已經(jīng)有139個(gè)國家和地區(qū)發(fā)行彩票，規(guī)模比較大的國家和地區(qū)有美國、西班牙、德國、日本、法國、英國、意大利、加拿大、希臘、巴西、泰國、香港、韓國、新加坡、印度、挪威、比利時(shí)、澳大利亞、新西蘭、南非、俄羅斯、保加利亞等．發(fā)行彩票集資可以說是現(xiàn)代彩票的共同目的．各國、各地區(qū)的集資目的多種多樣，社會(huì)福利、公共衛(wèi)生、教育、體育、文化是主要目標(biāo)．以合法形式、公平原則，重新分配社會(huì)的閑散資金，協(xié)調(diào)社會(huì)的矛盾和關(guān)系，使彩票具有了一種特殊的地位和價(jià)值．目前，彩票的種類隨著社會(huì)的發(fā)展而發(fā)展．在不斷追求提高彩票娛樂性的過程中，彩票類型已經(jīng)從以傳統(tǒng)型彩票為主發(fā)展到傳統(tǒng)型彩票、即開型彩票和樂透彩票等多種彩票并存的局面．2011年，全國彩票銷售規(guī)模首次突破了2000億元，達(dá)到2215億元，彩票公益金籌集量達(dá)634億元．1987年到2011年，我國累計(jì)銷售彩票達(dá)10951億元，累計(jì)籌集彩票公益金3433億元．在我國有兩個(gè)彩票發(fā)行機(jī)構(gòu)，進(jìn)而形成了以下彩票：福利彩票：福利彩票是指1987年以來由中國福利彩票管理中心發(fā)行的彩票．福利彩票早期有傳統(tǒng)型彩票和即開型彩票，近年來主要有即開型彩票（如刮刮樂）、樂透型彩票（如雙色球、36選5）和數(shù)字型彩票(如3D)三種，后兩種均是電腦型彩票．體育彩票：體育彩票是指由1994年3月以來由中國體育彩票管理中心發(fā)行的彩票．其種類主要有即開型彩票（如頂呱刮）、樂透型彩票(如大樂透、22選）．截止到2013年世界上中得彩票最大額為一個(gè)美國80多歲的老太太，獨(dú)中5.9億美元．

作業(yè)在一只口袋里裝著4個(gè)紅球，5個(gè)黃球和6黑球．從口袋中任取一個(gè)球，請問：

（1）這個(gè)球是紅球的概率有多少？

（2）這個(gè)球是黃球或者是黑球的概率有多少？

（3）如果從口袋中任取兩個(gè)球出來，取到兩個(gè)紅球的概率是多少？

小高與墨莫做游戲：由小高拋出3枚硬幣，如果拋出的結(jié)果中，有2枚或2枚以上的硬幣正面朝上，小高就獲勝；否則就墨莫獲勝．請問這個(gè)游戲公平嗎？

神射手和神槍手兩人打靶，已知他們的命中率均為0.3，他們每人開一槍，那么他們都命中的概率是多少？都沒命中的概率是多少？

連續(xù)拋擲2個(gè)骰子．如果已知點(diǎn)數(shù)之和大于9，那么點(diǎn)數(shù)之和是12的概率有多大？

6名小朋友在操場上做游戲．他們被老師分成3組，每組2個(gè)人．請問：趙倩和孫莉恰好分到了同一組的概率是多少？第十三講概率初步例題：答案：（1）；（2）；（3）0

詳解：若沒有任何要求共有種排法，（1）捆綁法：兩個(gè)女生捆綁當(dāng)作一人和其他4名男生一起排隊(duì)共種排法，兩個(gè)女生可互換位置，所以女生站一起的概率是；（2）總的情況去掉（1）問的情況的即可，所以，該問用插空法也可以；（3）男生無法互不相鄰，所以該問概率為0．

答案：（1）；（2）；（3）0、1

詳解：共有9個(gè)球每個(gè)球都有可能被取到（1）紅球的數(shù)量是2個(gè)，所以取到紅球的概率是；（2）排除法可得：；（3）沒有綠球，所以綠球出現(xiàn)的概率是0．一定不是綠球，概率是1．

答案：（1）；（2）；（3）

詳解：（1）兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)共有種情況，其中相同的情況有6種，所以概率為（2）和為5可以是1+4、2+3、3+2、4+1，共四種，概率為，（3）按第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)分類，第一個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)為1~6時(shí)，第二骰子的點(diǎn)數(shù)依次有1、2、2、2、2、1種情況所以概率為．

答案：；

詳解：兩個(gè)盒子各取一個(gè)球放在一起有3×3=9種取法，同色的情況有黑黑、白白、黃黃三種，所以，同色概率為三分之一，不同色為1－=．

答案：0.72；0.02詳解：他們都命中的概率是他們分別命中的概率的乘積，即；都沒命中的概率是他們分別沒命中的概率的乘積，即．

答案：一樣大

詳解：先計(jì)算第一個(gè)人的中獎(jiǎng)概率為，再計(jì)算第二個(gè)人中獎(jiǎng)的概率，首先第一個(gè)人要沒有中獎(jiǎng)概率為，此時(shí)第二個(gè)人抽中的概率為，所以，第二個(gè)人中獎(jiǎng)的概率為，綜上，兩個(gè)人中獎(jiǎng)的概率一樣大．練習(xí)：答案：0.2；0.4；0.3

簡答：；；．答案：；

簡答：共有七人選出3人的的選法總數(shù)是種，（1）選出3男有4種選法，所以，概率為；（2）2男有6種選法，1女有3種選法，2男1女共有18種選法，所以，概率為．答案：；

簡答：（1）每枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為，3個(gè)正面的概率是，（2）投擲3枚硬幣可能的情況有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共8種，其中1正2反的次數(shù)是3次，所以，概率為．答案：；；

簡答：任取2球，取法總數(shù)為種，其中2黑的取法有種，1紅1黑取法有2×3=6種，1黃1黑有3×4=12種，所以，概率為，，．

作業(yè)：答案：（1）；（2）；（3）

簡答：（1）任取一個(gè)球，全部情況的數(shù)量是15，取到紅球的數(shù)量是4，所以概率是；（2）取到黃球或黑球的數(shù)量是11，所以概率是；（3）任取兩個(gè)球，