空間向量第一單元課件-2023高二年級上冊數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(一)

2023高二上學(xué)期數(shù)學(xué)課件第一

單元向量全部課件

人教A版(2019)選播拄必修第

一冊

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運算

1.1.1空間向量及其線性運算

L了解空間向量的概念.

2.掌握空間向量的加減運算、數(shù)乘運算.（重點）

3.共線向量及共面向量的應(yīng)用.（重點、難點）

土復(fù)習(xí)回顧I平面向量

L定義：既有大小又有方向的量叫向量.

幾何表示法：用有向線段表示.

字母表示法：用字母a，b等或者用有向線段的起點與終點字母AB表示.

2?平面向量的加減法運算

4課堂探究空間向量的概念

與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量

{spacevector).

空間向量的大小叫做空間向量的長度或模(modulus).

空間向量用字母3,2,?一表示.空間中點的位移、物體運動的

速度、物體受到的力等都可以用空間向量表示.

與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示.—

有向線段的長度表示向量的模.如圖，向量)的起

點是4終點是B,則向量Z也可以記作方，其模記/

.一一?A

為⑷或［48|.

與平面向量一樣，我們規(guī)定：

(1)長度為0的向量叫做零向量，記為當(dāng)有向線段的起點力與終點5重合

時，刀=6.零向量的方向任意.

(2)模為1的向量稱為單位向量.

(3)與向量Z長度相等而方向相反的向量，叫做)的相反向量，記為二.

(4)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么

這些向量叫做共線向量或平行向量.我們規(guī)定：零向量與任意向量平行，

即對于任意向量Z,都有

⑸方向相同且模相等的向量叫做相等向量.

.課堂探究2|空間向量的運算

空間向量是自由的，所以對于空間中的任意兩個非零向量我們都可以

通過平移使他們的起點重合.因為兩條相交直線確定一個平面，所以起點

重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說任意兩個空間向量都

可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.這樣任意兩個空

間向量的運算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運算，由此我們把平面向量的線性

運算推廣到空間，定義空間向量的加法，減法以及數(shù)乘運算.

L空間向量的加、減法及數(shù)乘運算

(1)a+b=OA+AB=OB

⑵a-b=OA-OC=CA

(3)2>0時,而與，方向相同;

時，4〃與〃方向相反；

A=0時，2a=0.

2.空間向量的運算律

⑴交換律：a+b=b+a

(2)結(jié)合律：(〃+Z?)+c=〃+(6+c)，Akjna)-(4/)〃

⑶分配律：(2+4)〃=焉+"〃，4(〃+Z)=丸+萬

①想一想

如圖，在平行六面體ZBOZBCD中，分別標(biāo)出9+而+/，

南十方+而表示的向量.從中你能體會向量加法運算的交換律和結(jié)合律

嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關(guān)系？

可以發(fā)現(xiàn)，ZB+ZD+Z?=ZB+Z?+2D.

一般地，對于三個不共面的向量afb9cf以

任意點。為起點，a,6,c,為鄰邊作平行六面

體，則ZB,工的和等于以。為起點的平行六

面體對角線所表示的向量.

。課堂探究3|空間向量的共線

思考：對任意兩個空間向量3與B,如果3與B有什么位

置關(guān)系？反過來，〃與B有什么位置關(guān)系時，〃二4？

類似于平面向量共線的充要條件，對任意兩個空間向量2與Z（g。6）,

a的充要條件是存在實數(shù)九使〃二刀.

同樣地，若4B,。三點共線，。是直線外一點，則有,火

OA=2OB+(1-2)OC.

A

O

如圖，。是直線/上一點，在直線/上取非零向量入則對于直線/上

任意一點尸，由數(shù)乘的定義及向量共線的充要條件可知，

存在實數(shù)X,使得》二二.我們把與向量Z平行的

非零向量稱為直線/的方向向量.

這樣，直線/上任意一點都可以由直線/上的

一點和它的方向向量表示，也就是說，直線

可以由其上一點和它的方向向量確定.

注意：(1)方向向量一定是非零向量

(2)一條直線的所有方向向量都互相平行

與課堂探究4|空間向量的共面

如圖，如果表示向量〃的有向線段所在的直線04與直線/平行或

重合，那么稱向量〃平行于直線/.-->-

。；4

如果直線CM平行于平面a或在平面a內(nèi),----->

a

那么稱向量"平行于平面a.

平行于同一個平面的向量叫做共面向量.

我們知道任意兩個空間向量總是共面的,但三個空間向量既可能是共

面的，也可能是不共面的.那么，什么情況下三個空間向量共面呢?

對平面內(nèi)任意兩個不共線向量〃，6,由平面向量基本定理可知，這

個平面內(nèi)的任意一個向量夕可以寫成p^xa+yb,其中(x,y)是唯一確

定的有序?qū)崝?shù)對.對兩個不共線的空間向量如果￡=M+那

么向量￡與向量"”有什么位置關(guān)系？反過來，向量￡與Z，Z向量有什

么位置關(guān)系時，p=xa+而

可以發(fā)現(xiàn)，對空間任意兩個不共線的向量-Z,向量］與向量々口

共面的充要條件是存在唯一的有序數(shù)對(x,>),使％=必+￡.

想一想

如圖，P,A,B,。四點在平面a上。是平面a外一點，試探究礪，

Q4,OB,云之間的關(guān)系？

解：因為尸，A9B,。四點共面，

所以咨29+/，

即礪-匾4(礪-麗函，

化簡得礪二(1-2-4)應(yīng)+2礪+,雙，

o

所以有詼二位+＞赤+z發(fā)(x+y+z=l).

"課堂訓(xùn)練

1.判斷下列命題的真假.

(1)空間向量就是空間中的一條有向線段；

⑵不相等的兩個空間向量的模必不相等；

(3)兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同;

(4)向量4B與向量A4的長度相等.

2.如圖，E,尸分別是長方體力3Q>46。。的棱43,CQ的中點，化簡下列

表達式.

(DZ?-cs(2)Z?+ZB+FC

⑶方一方十*(4)AB+CF

3.設(shè),，%是空間內(nèi)不共線的向量，已知AB=2e+左e,CB=e,+3/，

1/1Z12

CD=2e{-e9，若4B,。三點共線，求左的值.

課堂小結(jié)

1.空間向量的概念：定義；表示法；相關(guān)概念.

2.空間向量的線性運算：力口、減、數(shù)乘運算及其運算律.

3.線性運算的應(yīng)用：直線的方向向量；向量共面.

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算

r

6

I。學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.

2.掌握空間向量數(shù)量積的計算方法及應(yīng)用.（重點）

3.能將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運算問題.（難點）

￡課堂探究空間向量數(shù)量積的定義

由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因

此，兩個空間向量的夾角和數(shù)量積就可以像平面向量那樣來定義.

如圖，已知兩個非零向量3,在空間中任取一點作a=1，

OB=b9則乙4。6叫做向量3,B的夾角，記作＜￡不〉.

注：(1)范圍：⑵，

__—?-?J]__a_a_----??

(3)如果<〃”>=—,那么向量a,6互相垂直，記作〃_LZ?.

2

已知兩個非零向量a9b9貝!I|a||B|cos。叫做〃，b的數(shù)量積,

記作ZB.即

a-b=\a\\b\cos。

注：a）兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.

（2）零向量與任意向量的數(shù)量積都等于零.

性質(zhì)：（I）ZJJO=B=0（判斷垂直的依據(jù)）

（2）屋"=片=團2（求模長）

―?—?

⑶cose=ft（求夾角）

⑷I”

￡課堂探究2|空間向量數(shù)量積的幾何意義

在平面向量的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了向量的投影.類似地，在空間，向

量3向向量B的投影有什么意義？

—?

如圖，在空間，向量Z向向量B投影，由

于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到\------7

同一個平面a內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，上之一/

得至!]c=|cos〈a,B>g,向量c稱為向量I-.........C..............—/

\b\

3在向量B上的投影向量.

，課堂探究3空間向量數(shù)量積的運算律

(1)(%〃)?Z=2(。?Z),2GA(結(jié)合律)

(2)d.h(交換律)

(3)(〃+Z).c=〃.c+g.c(分配律)

注：向量的數(shù)量積運算類似于多項式運算，平方差公式、完全平方公式等

均成立；但向量運算沒有除法，不滿足結(jié)合律.

心想一想I有關(guān)運算律的易錯點

1.對于三個均不為零的實數(shù)q,b,c,若ab=ac,貝%=c對于非零向量〃,

b,c,由〃，二〃々，能得至!jb=c嗎?

2.對于三個均不為零的數(shù)q,b,c,若ab=c,貝!或b=￡.那么對于

ba

一一一一..—k—?k

向量〃，6,若a,b=k,能寫成〃==或b==嗎？

ba

3.對于三個均不為零的數(shù)q,b,c9有(ab)c=q(bc).對于向量〃，b,c,

(〃?b)c=a(b?c)成立嗎？

「課堂訓(xùn)練

1.已知向量"和Z的夾角為120。，且I"1=2,1Z1=5,則(2-Z)i=(D)

A.12B.8+713C.4D.13

2.已知|Z|=2亞，\b\=—，"I=-收，則】與右的夾角大小為135°.

2

f

3.如圖所示，在平行六面體中，AB=4,AD=3,AA=5f

rr

乙BAD=90°,zBAA=z.DAA=60°.求：

⑴五；⑵/皮的長；⑶4。的長.

AB

4.如圖，在正三棱柱43cs411G中，若AB=CBB、，貝！US】與5cl所成角

的大小為（B）

A.60°B.90°

B

5.在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也

和這條斜線垂直.

已知：如圖，P0,總分別是平面。的垂線、斜線，是為在平面。內(nèi)的

射影，lua,且/,求證：I工PA.

分析：用向量來證明兩直線垂直，

只需證明兩直線的方向向量的數(shù)量

積為零即可！

證明：在直線/上取向量，只要證=0

因為a-Pd=Ofa-OA=0

所以a-PA=a-(P0+O4)

=a-PO+a-OA

=0

所以a_LP4,^ll.PA

反過來，在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線垂直,那么

它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直.

三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也

和這條斜線垂直.

三垂線逆定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條

斜線在平面內(nèi)的射影垂直.

6.已知直線小，孔是平面a內(nèi)的兩條相交直線如果/JLM,lA-n9求證：/_La

分析：要證明/J_o,就要證明睡直于。內(nèi)

的任意一條直線g.如果我們能在g和冽，幾

之間建立某種聯(lián)系，并由/J■加，/_L〃，

得到/_Li，就能解決問題.

1課堂小結(jié)

1.證明兩直線垂直.

2.求兩點之間的距離或線段長度.

3.證明線面垂直.

4.求兩直線所成角的余弦值等.

1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示

1.3.1空間直角坐標(biāo)系

0

1.了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置;

2.掌握空間向量的坐標(biāo)表示；

3.會求空間對稱點的坐標(biāo).

士引入新課

在平面向量中，我們以平面直角坐標(biāo)系中與X軸，〉軸方向相同的兩

個單位向量7,;?為基底，建立了向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系,

從而把平面向量的運算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運算.y八

類似地，能否利用空間向量基本定理和空

間的單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，一

進而建立空間向量的坐標(biāo)與空間點的坐標(biāo)〉

的對應(yīng)呢？O\

+課堂探究空間直角坐標(biāo)系

在空間選定一點。和一個單位正交基底{7JH},以點。為原點，分

別以屋］?,云的方向為正方向、以它們的長為單位長度，建立三條數(shù)軸：

X軸、》軸、Z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)

系。孫Z,。叫做原點，i,j,左叫做坐標(biāo)向量，Z八

通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，

分別稱為。孫平面，2yz平面，Ozx平面，7八

k廠j

它們把空間分成八個部分..一r匕-?

，

X

空間直角坐標(biāo)系的劃分:

vm

空間直角坐標(biāo)系的畫法

(1)畫空間直角坐標(biāo)系。肛Z時，一般使NxOy=135°(或45°),

ZyOz=90°.

(2)直角坐標(biāo)系右手定則：

在空間直角坐標(biāo)系中，握住右手，四指向手心方向折合，從％的方向沿小于

180°的角轉(zhuǎn)向y軸，大拇指的方向就是z軸.

在空間直角坐標(biāo)系。■Z中，7,7,艮為坐標(biāo)向量，對空間任意一點4

對應(yīng)一個向量夕，且點4的位置由向量方唯一確定，由空間向量基本

定理，存在唯一的有序數(shù)組（x,y,z）,使。+.

在單位正交基底口），筋下與向量對應(yīng)

的有序數(shù)組（X,修Z）,叫做點/在空間直

角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作/（X,歹，Z）,其

中X叫做點力的橫坐標(biāo)、）叫做點力縱坐標(biāo)、

Z叫做點/豎坐標(biāo).

X

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量3,作。，由空間向量基

本定理，存在唯一的有序數(shù)組(x,y,z),使〃=x，+yj+zK

有序?qū)崝?shù)組(x,?z)叫做)在空間直角坐標(biāo)系。盯z中的坐標(biāo)，上式可

(x,Dz).

簡記作〃=這樣，在空間直角z，'/

坐標(biāo)系中，空間中的點和向量都可以用三

//4（x，＞，Z）

個有序?qū)崝?shù)表示.

X

例1如圖，在長方體CM5c切36。中，04=3,0C=4,ODf=2.

(1)寫出。，aB,c四點的坐標(biāo);

(2)寫出ZT,⑷,皮，。四點的坐標(biāo)；

⑶寫出向量了百，麗,7C,AC

AB

X

電變式練習(xí)I

L如圖，正方體/5CQT6C。的棱長為2,以正方體的中心為原點建立坐

標(biāo)系.7

(1)寫出aB,c,。四點的坐標(biāo)；

(2)寫出4,B',C,。四點的坐標(biāo).

例2在空間直角坐標(biāo)系。盯z中：

(1)哪個坐標(biāo)平面與x軸垂直？哪個坐標(biāo)平面與y軸垂直？哪個坐標(biāo)平面與z

軸垂直？

(2)寫出點尸(2,3,4)在三個坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)；

(3)寫出點尸(L3,5)關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標(biāo).

&提升總結(jié)I求對稱點

一般地，對于給定一點尸(X,乃Z),則點

(1)關(guān)于X軸對稱的點為(羽-D-Z)；關(guān)于誰對稱誰不變

(2)關(guān)于丁軸對稱的點為(T'占'-Z)；

(3)關(guān)于Z軸對稱的點為(f—?z)；/

(4)關(guān)于平面Oxv對稱的點為(%，乃-z)；

(5)關(guān)于平面。*對稱的點為z)；

(6)關(guān)于平面O他對稱的點為(T，歹，z)；

(7)關(guān)于原點對稱的點為(T，-V，-z).

$課堂髀2空間中點坐標(biāo)公式和重心坐標(biāo)公式

在空間直角坐標(biāo)系中，點4(%,a2,%)和點皮4,儲，么)的中點坐

標(biāo)為:

‘％+4a+ba+4'

,22,3

222

在空間直角坐標(biāo)系中，已知點Z(〃],a2,%)，點B(b1,b2,b3),點

C(crc2,c3)，則△NBC的重心坐標(biāo)為：

"%+"+Ga+b+c樂+a+c，

XX±乙?乙?L9?JJJ

3337

*課堂訓(xùn)練」

1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點尸(-2,1,4).

(1)求點尸關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)；

(2)求點尸關(guān)于。*平面對稱的點的坐標(biāo)；

(3)求點尸關(guān)于點M(0,1,2)對稱的點的坐標(biāo).

2.如圖，在正三棱柱NBCYNG中，已知△45C的邊長為L三棱柱的高

為2,請建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出各頂點的坐標(biāo).

1.4.1空間中直線、平面的垂直

（第三課時）

1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.

（重點）

2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的垂直關(guān)系.（難點）

類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、

平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)

系？

4課堂探究1|直線與直線的垂直

如圖,設(shè)〃1,〃2分別是直線.，2的方向向量.若與，2垂直，等

價于它們的方向向量垂直，即

/1_LOKlJ-l/2?“2

例1.如圖所示，在正方體中，E為4。的中點，求證:

BDJEBV

解析：要證明線線垂直：

①可以證明兩直線的方向向量的數(shù)

量積為0.

②可以證明兩直線所成角為直角.

i課堂探究2直線與平面的垂直

如圖，設(shè)Z是直線/的方向向量，/2是平面a的法向量，若/與a垂直,

則

1

一八

―?―??—>—>U

l±ac^u//nou=An

a

例2.正方體45cz中，￡、/分別是8星，CD中點，求證：DXFA.

平面4OE

解析：要證明線面垂直：

①根據(jù)判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直.

②證明直線的方向向量與平面的法

向量平行.

4課堂探究3平面與平面的垂直

如圖，設(shè)小，〃2分別是平面a,B的法向量，若a與B垂直，則

—?—*■—?-?

al.0=n、_L〃20〃I?〃2=0

例3.正方體/30小8<1。1中，E是441中點，求證：平面平面

解析：要證明面面垂直：

①根據(jù)判定定理證明線面垂直.

②證明兩個平面的法向量垂直.

提升總結(jié)I用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系

線線設(shè)直線/1,4的方向向量分別是⑷，U2,則要證明乙，/2,只

垂直需證明J_〃2，即》1?1/2=0.

線面設(shè)直線/的方向向量是打，平面a的法向量是〃，則要證明

垂直/_La,只需證明u//n9即"=An.

面面

求出平面a,￡的法向量小，〃2，證明m_Lm，即可說明a_L￡

垂直

例4.如圖在平行六面體45cmi51Gz)1中，AB=AD=AA1=1,zAXAB=

zAXAD=^BAD=60°，求證：4CJ,平面

1.4.1空間中直線、平面的平行

（第二課時）

1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.

（重點）

2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行關(guān)系.（難點）

我們知道，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平

面的關(guān)鍵量.那么是否能用這些向量來刻畫空間直線、平面的平行、垂直

關(guān)系呢？

，課堂探究1直線與直線的平行

如圖，設(shè)小，上分別是直線，2的方向向量.由方向向量的定義

可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果

兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行.所以

例1.如圖所示，在長方體力5C。一4昂G3中，AB=4,40=3,44=2,

P,。，R,S分別是44i，3G，孫CG的中點，證明：尸?！?￡

解析：設(shè)直線小人的方向向量分別

是Zi，則要證明?！ㄒ?，只需證

明a//B,即。=eR).

，課堂探究2直線與平面的平行

如圖，設(shè)》是直線/的方向向量，〃是平面a的法向量，/Za,若/與

a平行，則

/〃aov_L〃o》?〃=0

例2.如圖，在正方體力5。。一4四。1。1中，M,N分別是CG，51G的中

點.求證：A/N〃平面

解析：用向量法證明線面平行有如下方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.

②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量共線且直線不

在平面內(nèi)；

③證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量共面且

直線不在平面內(nèi)；

4課堂探究3|平面與平面的平行

如圖，設(shè)〃i,〃2分別是平面a，B的法向量，若a與B平行，則

a//[3<^>n\//ri2o〃i=An2

例3.已知正方體45。。1向。1。1的棱長為2,E,產(chǎn)分別是5當(dāng)，的中點,

求證：平面4DE7/平面與。/

解析：求出平面a,4的法向

量〃，v,證明〃//v,即可說

明a〃夕.

&提升總結(jié)I用向量方法證明空間中的平行關(guān)系

線線設(shè)直線/1,4的方向向量分別是⑷，U2,則要證明乙〃/2,只

平行需證明U\//U19即》1=力/2.

線面設(shè)直線/的方向向量是打，平面a的法向量是〃，則要證明

平行/〃a,只需證明即》?〃=().

面面

求出平面a,￡的法向量〃i，〃2，證明小〃小，即可說明a〃夕

平行

例4.如圖，在三棱柱48C-/NG中，E,方分別是Big,的中點，求證:

小￡〃平面51CF.

G

0

1.4空間向量的應(yīng)用

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

（第一課時）

I。學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解如何用向量把空間的點、直線、平面表示來出.

2.掌握直線的方向向量、平面的法向量的概念及求法.（重點）

3.掌握把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

我們知道，點、直線和平面是空間的基本圖形，點、線段和平面圖形

等是組成空間幾何體的基本元素.因此，為了用空間向量解決立體幾何問

題，首先要用向量表示空間中的點、直線和平面.

￥課堂探究1空間中點的向量表示

思考L如何用向量表示空間中的一個點?

在空間中，我們?nèi)∫欢c。作為基點，那么空間

一,p

中任意一點尸的位置就可以用向量。尸來表示.我們

把向量OQ稱為點尸的位置向量.

o

.課堂探究2|空間中直線的向量表示

思考2.我們知道，空間中給定一個點4和一個方向就能唯一確定一條直線

/,如何用向量表示直線/?

如圖，〃是直線/的方向向量，在/上

取獲設(shè)。是直線/上的任意一點，

由向量共線的條件可知，點。在直線/上

的充要條件是存在實數(shù)，使得

AP=ta即AP=tAB.

進一步地，取定空間中的任意一點。，可以得到點尸在直線/上的充要

條件是存在實數(shù)，使

OP=OA+ta①

將9=Z代入①式得

OP=OA+tAB②

①和②都稱為空間直線的向量表示式，空

間任意直線由空間一點及直線的方向向量

唯一確定.

④想一想

已知直線上兩點，如何求直線的方向向量？

一般地，若已知直線上兩點4(%,出，/,b2,b3),則直線的

一個方向向量為AB=(b[%,b2-a2，b3-a3)

例L已知直線/上兩點4(1,4,3),BQ,2,5),請寫出直線/的一個方向

向量(1，一2，2)

*課堂探究3空間中平面的向量表示

思考3.一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？進一步地，一個定點

和一個定方向，能否確定一個平面?

我們知道，平面a可以由a內(nèi)兩條相交直

線確定.如圖，設(shè)兩條直線相交于點。，它們

的方向向量分別為々和Z,尸為平面a內(nèi)任意一

點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有

序數(shù)對(x,y)9使得OP=xa+yb.

這樣，點。與向量"，Z不僅可以確定平面a,還可以具體表示出a內(nèi)

的任意一點.

進一步地，如圖，取定空間任意一點。，

可以得到，空間一點尸位于平面45。內(nèi)的充要

條件是存在實數(shù)x,》使AP=xAB+yAC>

也即一一一一

OP=OA+xAB+yAC(3)

我們把③式稱為空間平面45。的向量表示式.由此可知，空間中任意

平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.

我們知道，給定空間一點4和一條直線/,

則過點4且垂直于/的平面是唯一確定的.由此,

我們可以利用點4和直線/的方向向量來確定平

面.如圖，直線取直線/的方向向量

則向量Z叫做平面的法向量.

給定一點力和一個向量—那么過點4以向量Z為法向量的平面是完

全確定的，可以表示為集合｛R屋加=。｝.

注意：1.法向量一定是非零向量

2.一個平面的所有法向量都互相平行

。想一想

如何求平面的法向量？

(1)設(shè)出平面的法向量為72=(X,J,Z)

(2)找出平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)

—>—?

〃二(%,a2,%)b=也［,4，b3

(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,乃z的方程組

―

〃?〃二()

V

ri-b=0

(4)解方程組，取其中一個解，即得法向量.

例2：已知點4(1,0,1),8(0,1,1),C(l,1,0),求平面NBC的一個法

向量.

解析：設(shè)平面的一個法向量為1，則％垂直于平面Z8C內(nèi)的任意向

量，不妨取就,BC(因它們不共線)，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量積為0,求得心

解：設(shè)平面45。的一個法向量為3=(x,y,z)，

由題意，得4=(一1,1,0),5C=(1,0,-1).

Vn±AB且1_1_就，

,一---

n±AB=一'+>=0

??*——?

n_LBC=x—z=0

令x=l,得尸z=l,

???平面ZBC的一個法向量為［=(1,1,1).

士變式練習(xí)

1,已知平面a經(jīng)過三點/(1,2,3),BQ,0,-1),C(3,一2,0),試求平

面。的一個法向量.

2.如圖，在長方體ZBCDWiBiGA中，48=4,BC=3,CQ=2f兒是45的

中點.

⑴求平面5CC四的一個法向量;

(2)求平面MC4的一個法向量.

X

1.4.2用空間向量研究夾角問題

（第二課時）

L掌握利用向量方法解決線線角、線面角、面面角的求法.（重點）

2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系.

與距離類似，角度是立體幾何中另一個重要的度量.下面我們用向量

方法研究直線與直線所成角、直線與平面所成角及平面與平面所成角.

殳課堂探究用向量法求線線角

一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向

量的夾角來求得.也就是說，若異面直線e/2所成的角為e(owes?),

一一2

其方向向量分別是〃1，〃2,則

例1.已知直三棱柱小與。1，乙BCA=90°,D,產(chǎn)分別是4區(qū)，4G

的中點，BC=AC=CC[,則BD與AF所成角的余弦值是（A）

1r730

AB?5L---D

-f5-f

&提升總結(jié)I求異面直線所成的角的兩種方法

(1)幾何法

解決此類問題，關(guān)鍵是通過平移求解.過某一點作平行線，將異面直線所

成的角轉(zhuǎn)化為平面角，最后通過解三角形求解.主要以“作，證，算”來

求異面直線所成的角，同時，要注意異面直線所成角的范圍.

(2)向量法

利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角e轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所

成的角〈儲,小〉，若求出的兩向量的夾角為鈍角，則異面直線的夾角應(yīng)為

兩向量夾角的補角,即COS^=|COS<W1,W2>|.

士變式練習(xí)

1.如圖，在四棱錐中，底面ABC。是矩形，口，底面/BCD,E是

尸。的中點.已知45=2,40=2亞，B4=2.求異面直線5c與4￡所成的

角的大小.

D

BC

解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則5（2。0）,

C(2,22,0),E(l,2,1),AE=(1,01),

BC=(0,22,0).

設(shè)4E與/。的夾角為。，則

cosn-七

\AE\'\BC\2X2224

由此知，異面直線比與小所成的角的大小是:.

課堂探究2|用向量法求線面角

設(shè)直線與平面a相交于點8,直線48與平面a所成角為8(0W9W?)，

一一2

直線45的方向向量為》，平面。的法向量為〃，則

COS<K,

例2.如圖所示，在正方體N5CQ—4當(dāng)。1。1中，求力田與平面4為8的夾

角.

U提升總結(jié)I求直線與平面的夾角的方法與步驟

(1)幾何法

找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識可求

得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值).

(2)向量法

①建立空間直角坐標(biāo)系；

②求直線的方向向量小

③求平面的法向量展

—?—?

④計算：設(shè)線面角為仇則sin外.

變式練習(xí)

2.如圖，四棱錐P—ZBCD的底面為直角梯形，ZADC=ZBCD=90°,

AD=\,BC=3,PC=CD=2,PCJ_底面48CD,E為48的中點.求直線

尸。與平面尸。因所成角的正弦值.P

解：如圖所示，以點C為坐標(biāo)原點，直線CO,CB,“分別為X軸、J軸、

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一切z,則相關(guān)點的坐標(biāo)為。(0,0,0),P(0,

0,2),。(2,0,0),E(1,2,0).

設(shè)平面PDE的法向量為n=(x,y,z),則nDE=O,"PE

=0,

由法=(一1,2,0),港=Q,2,-2),

nDE=(x,y,z)-(—1,2,0)=—x+2y=0

得一

nPE=(x,y,z)(l,2,—2)=x+2j/—2z=0

令x=2,則y=l,z=2,即〃=(2,1,2).

設(shè)直線PC與平面PDE所成角為明

一一2

而尸。=(0,0,-2),Asina=|cos(n,PC>|=_=-

nPC3

9

故直線尸C與平面PDE所成角的正弦值為Sina=；.

，課堂蟀目用向量法求面面角

若平面a、B的法向量分別是m,〃2,則平面a與平面B的夾角即為向

量〃i和〃2的夾角或其補角.設(shè)平面a與平面0的夾角為。(0<^<TT),則

Icos9|=|COS</li,

3=<n\,ri2>0+<n\,〃2>-n

例3.如圖，為_1_平面NBC,ACJLBC,PA=AC=\,BC=41,求平面

與平面心C的夾角的余弦值.

B

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，貝4/(0,0,0),5(也，1,0),

C(05l50),尸(0,0,1),萬=(0,0/)，贏=(2,1,0),CB=(2,

0,0),五=(0,-1?1).3分

X

B

■

設(shè)平面的法向量為桃=(x,y,z),

m±AP,mAP=O,

則‘一即‘一4分

m-LAB,mAB=O,

.(x,y,z)(0,0,1)=0,

?|(x,y,z)-(2,1,0)=0.

y=-2x,

?<6分

z=0.

令x=l,得m=(l,—2,0),7分

同理可得：

平面P8C的法向量〃=(0,1,1).10分

?/\fnn3一八

..cos\m,n)=\=—丁.11分

\m\N\n3

0兀

而平面以方與平面尸打。夾角2],

???平面上43與平面尸夾角的余弦值為；.12分

提升總結(jié)I求平面與平面的夾角的方法與步驟

(1)幾何法

在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，把

平面角放到三角形中求解.

(2)向量法

①建立空間直角坐標(biāo)系；

②求出兩個半平面的法向量小，_

③設(shè)二面角的平面角為仇則；

④根據(jù)圖形判斷。為鈍角還是銳角，從而求出。(或其三角函數(shù)).

士變式練習(xí)I

3.已知正方體45CQ—451Goi中平面/c。］與平面4G。所成的夾角為仇

求cos6的值.

AB

解：建系/一中2如圖：設(shè)正方體棱長為1,則/(0,0,0),

5(1,0,0),D(05l90),氏(1。1),01(0,1,1),/1(0,0,1).

所以/由=(1,0,-1),4。=(0,1,-1),451=(1,0,1),

病i=(0,U),

設(shè)〃i=(xi,y\,zi）是平面A\BD的一^法向量,

n\A\B=Qxi-zi=0

由一得

n\A\D=Qyi-zi=0'

令zi=l,得

設(shè)〃2=。2,玫，Z2）是平面48101的一個法向量,

nrAB\=Q912+&=0,

由'得

n2'ADi=0,及+22=0,

令22=—1,得〃2=（1」，—1）,

所以cos8=|cos〈小，"2〉|="|"|=L所以cos6=1.