高考數(shù)學總復習 第六章第7課時 數(shù)學歸納法課時闖關（含解析）

一、選擇題1．用數(shù)學歸納法證明“2n>n2＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取()A．2B．3C．5D．6解析：選C.令n0分別取2,3,5,6，依次驗證即得．2．如果命題p(n)對n＝k成立，則它對n＝k＋2也成立．若p(n)對n＝2成立，則下列結論正確的是()A．p(n)對所有正整數(shù)n都成立B．p(n)對所有正偶數(shù)n都成立C．p(n)對所有正奇數(shù)n都成立D．p(n)對所有自然數(shù)n都成立解析：選B.歸納奠基是：n＝2成立．歸納遞推是：n＝k成立，則對n＝k＋2成立．∴p(n)對所有正偶數(shù)n都成立．3．(2012·巢湖聯(lián)考)對于不等式eq\r(n2＋n)<n＋1(n∈N*)，某同學用數(shù)學歸納法證明的過程如下：(1)當n＝1時，eq\r(12＋1)<1＋1，不等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，則當n＝k＋1時，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴當n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法()A．過程全部正確 B．n＝1驗得不正確C．歸納假設不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確解析：選D.在n＝k＋1時，沒有應用n＝k時的假設，不是數(shù)學歸納法．4．用數(shù)學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2·…·(2n－1)(n∈N＋)”時，從“n＝k到n＝k＋1”時，左邊應增添的式子是()A．2k＋1 B．2k＋3C．2(2k＋1) D．2(2k＋3)解析：選C.左邊應增添的式子等于eq\f(k＋2k＋3·…·[k＋1＋k＋1],k＋1k＋2·…·k＋k)＝eq\f(k＋2k＋3·…·2k2k＋12k＋2,k＋1k＋2·…·2k)＝2(2k＋1)．5．下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)解析：選D.(1)當k＝1時，顯然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假設當k＝n(n∈N*)時，命題成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么當n＝k＋1時有3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.這就是說，k＝n＋1時命題也成立．由(1)(2)知，命題對k∈N*成立．二、填空題6．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，當?shù)诙郊僭On＝2k－1(k∈N＋)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真．解析：因為n為正奇數(shù)，所以與2k－1相鄰的下一個奇數(shù)是2k＋1.答案：2k＋17．(2012·石家莊質(zhì)檢)用數(shù)學歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”時，第一步驗證為________．解析：由n∈N＋可知初始值為1.答案：當n＝1時，左邊＝4≥右邊，不等式成立8．記一凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋________.答案：π三、解答題9．數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想．解：(1)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(7,4)，a4＝eq\f(15,8)，由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．(2)證明：①當n＝1時，a1＝1，結論成立．②假設n＝k(k∈N*)時，結論成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么n＝k＋1(k∈N*)時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2＋\f(2k－1,2k－1),2)＝eq\f(2k＋1－1,2k)，這表明n＝k＋1時，結論成立．由①②知，對n∈N*，都有an＝eq\f(2n－1,2n－1)成立．10．首項為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,4)(aeq\o\al(2,n)＋3)，n∈N*.(1)證明：若a1為奇數(shù)，則對一切n≥2，an都是奇數(shù)；(2)若對一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范圍．解：(1)證明：已知a1是奇數(shù)，假設ak＝2m－1是奇數(shù)，其中m為正整數(shù)，則由遞推關系得ak＋1＝eq\f(a\o\al(2,k)＋3,4)＝m(m－1)＋1是奇數(shù)．根據(jù)數(shù)學歸納法，對任意n∈N*，an都是奇數(shù)．(2)由an＋1－an＝eq\f(1,4)(an－1)(an－3)知，當且僅當an<1或an>3時，an＋1>an.另一方面，若0<ak<1，則0<ak＋1<eq\f(1＋3,4)＝1；若ak>3，則ak＋1>eq\f(32＋3,4)＝3.根據(jù)數(shù)學歸納法可知，?n∈N*,0<a1<1?0<an<1；?n∈N*，a1>3?an>3.綜上所述，對一切n∈N*，都有an＋1>an的充要條件是0<a1<1或a1>3.11．已知點Pn(an，bn)滿足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝eq\f(bn,1－4a\o\al(2,n))(n∈N*)且點P1的坐標為(1，－1)．(1)求過點P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在(1)中的直線l上．解：(1)由P1的坐標為(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.∴b2＝eq\f(b1,1－4a\o\al(2,1))＝eq\f(1,3).a2＝a1·b2＝eq\f(1,3).∴點P2的坐標為(eq\f(1,3)，eq\f(1,3))，∴直線l的方程為2x＋y＝1.(2)證明：①當n＝1時，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假設n＝k(k∈N*)時，2ak＋bk＝1成立，則當n＝k＋1時，2ak＋1＋bk＋1＝2