歷屆高考中的空向與立體幾何試題選講

1.(2008海南、寧夏理)PABCD－A1B1C1D1BD1，∠PDA=60°D（1）DPCC1所成角的大?。唬?）DPAA1D1DD P P 2.（2008安徽文）如圖，在四棱錐OABCDABCD1ABC4OA

OA2,M為OA的中點(diǎn) MAABMDMABOCDD 3CDOBA3.（2005湖南文、理）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為 稱軸OO3CDOBAD AOB（Ⅰ）證明D AOB4.（2007安徽文、理)如圖,ABCDA1B1C1D1中,ABCD2的正方形,ABB1C的大小5.(2007海南、寧夏理)SABCSABSACSOBAC90°，O為BC中點(diǎn) （Ⅰ）證明：SO平SOABCASCBC 6.(2007四川理）PCBMPCB＝90°，PMBCPM＝1，BC＝2＝1，∠ACB＝120°，ABPCAMPC（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面ABC （Ⅱ）求二面角MACB的大小PMAC2l2上，AMMBMN。（Ⅰ）證明 2HAMB(Ⅱ)若ACB60ONBHAMBCN8.（2006福建文、理）ABCD中，O、EBD、BCCACBCDBD2,ABAD AOBCD（II）ABCDEACDDO 歷屆高考中的“空間向量與立體幾何”試題選講(參考答案DDADxyzDA0)CCBDBD(，1)(m DHDADDH2m2 2m2

可得2m

．解得m ，所以DH2

2， 2

r

02

20 21 12AADDDC0)20211

r因?yàn)閏os

2C 2 HDABxPHDABxPDPAADD所成的角為解：APCDP,如圖,AB,AP,AOxyz

2,0), 2 2,0),O(0,0,2),M(0,0,1) (1)ABMD所成的角為22r 22

, r r

AB 32ABMD所成角的大小為3222r 22

∵OP ,2),OD , 2y2z即即 2x 2y2z

z

2,n04,2 nBOCDd,d為OBn04,n2∵OB(1,0,2),∴d 32BOCD3解:（I）OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，OA⊥OB.O為原點(diǎn)，OA、OB、OO1x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，3A（3，0，0，33B（0，3，0，C（0，1， 33AC

3),BO1

3)33ACBO13 33（II）BO1OC3

0.33 033由（I）AC⊥BO1BO1OACBO1OAC的一個(gè)法向量.n(x,yz0O1AC的一個(gè)法向量，由nAC03xy

3z

取z

n

3)

y

n 3|n||BO1 A（2，0，0，B（2，2，0，C（0，2，0AC2A1C1,DB2D1B1D），ADBBDD1AC平面B1BDD1 平面A1ACC1平面B1BDD1nAA1x12z10,nBB1x1y12z1y10取z11,則z12nm(x2y2z2)為平面B1BCC1mBB1x2y22z20,mCC1y22z2mnx20取z21,則y22mncosm,

15二面角A

C的余弦為15證明：（Ⅰ）ABACSBSCSA，連結(jié)OA2S2O△ABC為等腰直角三角形，所以O(shè)AOBOCOAOBC

SA2又△SBCSOBCSO

SA2 2從而OA2SO2SA2．所以△SOAASOAO AAOBOOSOABC（Ⅱ）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 OA分別為x軸、y軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)OxyzB(100)，則C(10

SCM1

1

x

1

1MO202MA212SC(101) 故MO MA <MO,MA等于二面角ASCB的平面角cosMOMA

3MO· 33所以二面角ASCB的余弦值 33（Ⅰ）∵PCABPCBCABBCPC平面ABCPC平面平面PAC平面ABC內(nèi)，過C作CDCB，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz（如圖A310P00z0z00 則

M0,1,z0,AM2,2,z0,CP0,0,z0 AMPC所成的解為600

0z2πz23zAMCP

AMCPcos

解得z0

310MACnxyz，

1 則則

y1z 2

,ABCm0

m7 7mMACB故二面角MACB的平面角大小為 7解法一：由（Ⅱ）PCMN

11ACCNsin1200MN

33 ∵PC1,PM 3

解:如圖,M－xyz.(Ⅰ)∵M(jìn)Nl1、l2的公垂線,l1⊥l2,∴l(xiāng)2ABNl2z軸 =(－1,1,m), |,ABC為正三角形,AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中 ,可得 ,故 zCzCHAMNB連結(jié)MC,作NH⊥MC于H,設(shè) λ) =(0,1－λ,－ =1－λ－2λ=0, y∴H(0, ),可 =(0,, ),連結(jié)BH, =(－1, =0, ,又MC∩BH=H,∴HN⊥平面 ∠NBH為NB與平面ABC所成的角. ∵BO=DO,AB=AD,∵BO=DO,BC=CD,3在△AOC中，由已知可得 3BDOC∴AOO為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，B(1，0，0)，D(-1，0，0)，33133 22BA2

∴cosBA,CD

BABA2∴異面直線AB與CD所成角的大小為 24ACDn=(x,y,z),

xz

∴3,1)

3yz313y=1

3)是平面ACD的一個(gè)法向量.又EC 3237|