【初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽】 專(zhuān)題02 代數(shù)式競(jìng)賽綜合-50題真題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽專(zhuān)用）解析版

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)【初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽】專(zhuān)題02代數(shù)式競(jìng)賽綜合-50題真題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽專(zhuān)用）一、單選題1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知，則的值是（

）．A．3 B．9 C．27 D．81【答案】C【詳解】．故選C．2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如果是的一個(gè)因式，則的值是（

）．A． B． C．0 D．2【答案】D【詳解】（解法一）依題意可設(shè)，比較系數(shù)得所以．故選D．（解法二）依題意是的因式，所以，解得．故選D．（解法三）用長(zhǎng)除法可得，所以得．故選D．3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若（是實(shí)數(shù)），則的值一定是（

）．A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．整數(shù)【答案】A【詳解】因?yàn)?，并且不能同時(shí)等于零，所以．故選A．4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）的值為（

）．A．無(wú)理數(shù) B．真分?jǐn)?shù) C．奇數(shù) D．偶數(shù)【答案】D【詳解】原式．故選：D．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）滿足等式的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】原式，而，故，即．又2003是質(zhì)數(shù)，所以或故選B6．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知，則的值等于（

）．A． B．3 C． D．1【答案】D【詳解】，同理可得，所以．故選：D．二、填空題7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若有一個(gè)因式是，則_______．【答案】-5【詳解】解法一

依題意，原多項(xiàng)式當(dāng)時(shí)，其值等于0，即，從而．解法二

依題意也是多項(xiàng)式的因式，故，即．解法三

依題意可設(shè)比較同次冪系數(shù)得故．注：雖然解法三計(jì)算量較大，但它的好處是同時(shí)求出了原多項(xiàng)式的另一個(gè)因式為．若題目還要求對(duì)原多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，則解法三是可取的好方法之一．8．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)，是的小數(shù)部分，是的小數(shù)部分，則__________．【答案】1【詳解】解

∵，而，∴．又∵，而，∴．9．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知x、y為正偶數(shù)，且，則__________.【答案】40【分析】根據(jù)可知xy(x+y)=96，由x、y是正偶數(shù)可知xy≥4，x+y≥4，進(jìn)而可知96可分解成3種乘積的形式，分別計(jì)算即可得只有一種情況符合題意，即可求出x、y的值，根據(jù)x、y的值求得答案即可.【詳解】∵，∴xy(x+y)=96，∵x、y為正偶數(shù)，xy≥4，x+y≥4，∴96=222223=616=812=424當(dāng)xy(x+y)=424時(shí)，無(wú)解，當(dāng)xy(x+y)=616時(shí)，無(wú)解，當(dāng)xy(x+y)=812時(shí)，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x2+y2=22+62=40.故答案為40【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，把96分解成所有約數(shù)的積再分情況求解是解題關(guān)鍵.10．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知對(duì)任意正整數(shù)都有，則___________．【答案】【詳解】，則，所以原式．故答案為：．三、解答題11．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分別在有理數(shù)范圍內(nèi)和實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【答案】【詳解】解

（1）在有理數(shù)范圍內(nèi)：原式．（2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)：原式．12．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解

原式．13．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解法一

原式．解法二

原式．14．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解法一

原式．解法二

原式．15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解原式．16．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解法一

原式．解法二

原式．17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解法一

原式．解法二

原式．18．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解原式．19．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若有兩個(gè)因式和，求的值．【答案】【詳解】（解法一）因和都是的因式，所以當(dāng)和時(shí)，的值都等于0，所以解得所以．（解法二）依題意也是的因式，所以，解得，所以．（解法三）依題意可設(shè)，所以解出所以．20．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式．【答案】【詳解】設(shè)，則原式．21．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【答案】【詳解】（解法一）原式．（解法二）用綜合除法：所以，原式．22．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】原式是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式．若視為主元，并以代入得原式，故原式有因式，由對(duì)稱(chēng)性知原式有因式．又原式是六次齊次多項(xiàng)式，而是四次齊次多項(xiàng)式，故還有一個(gè)關(guān)于的二次齊次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式因式，所以可設(shè)．令，得；令，得．所以．原式23．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若，求的值．【答案】14【詳解】，所以，故．24．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)是四個(gè)整數(shù)，且使得是一個(gè)非零整數(shù)，求證：一定是合數(shù)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】．由于是非零整數(shù)，因此上式是非零整數(shù)．又因?yàn)樗膫€(gè)整數(shù)的奇偶性相同，且它們的積被4整除，故它們都是偶數(shù)，所以被4整除，故是一個(gè)合數(shù)．25．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若，證明：是一個(gè)完全平方數(shù)（即等于另一個(gè)整數(shù)的平方）．【答案】見(jiàn)解析【詳解】設(shè)，則，故是一個(gè)完全平方數(shù)．26．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)是實(shí)數(shù)且，求的值．【答案】【詳解】由得，即．但（否則，與已知條件矛盾），所以，即，．27．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知是正整數(shù)，且表示質(zhì)數(shù)，求這個(gè)質(zhì)數(shù)．【答案】7【詳解】解

．要使為質(zhì)數(shù)，必須，即，故或2．但時(shí)，是合數(shù)．只有時(shí)，才是質(zhì)數(shù)．故所求的質(zhì)數(shù)是7．28．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解

原式．令，則原式．其中，是用十字相乘法得到的．29．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）證明：對(duì)任何整數(shù)和的值都不等于33．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解法一

原式．當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，互不相等，而33不可能分解為4個(gè)以上不同因數(shù)之積，所以為整數(shù)時(shí)，原式，所以對(duì)取任何整數(shù)值，原式的值都不等于33．解法二

將原式看成的多項(xiàng)式，當(dāng)成常數(shù)，用綜合除法有所以，原式．下同解法一．30．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)互不相等，且，化簡(jiǎn)．【答案】1【詳解】解

先利用已知條件將分母化為便于計(jì)算的形式，再通分計(jì)算．因?yàn)椋裕?，所以原式．記．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以有因式．又是的三次齊次輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，故有因式，且可設(shè)，令，得，故，所以，故原式．31．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解法一

以為主元降冪排列，再配方得：原式．解法二

原式．解法三

注意到下列公式：，為了完成整個(gè)式子的直接配方，應(yīng)將拆成．原式．32．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解法一

添加，再減去同一項(xiàng)得：原式．解法二

以為主元降冪排列．原式．33．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解

設(shè)．因?yàn)?，所以有因式．由是的四次?duì)稱(chēng)多項(xiàng)式知有因式，而與分別是四次、三次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，所以還含有的一個(gè)一次對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，即．令，得，所以，故．34．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】．【詳解】解

設(shè)．因?yàn)?，所以是輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式．又時(shí)，，所以有因式．又是輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，故有因式．因與分別是齊五次與齊三次輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，所以的另一個(gè)因式應(yīng)是齊二次輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式：，即．令及，分別得到即解得，故．35．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解

因?yàn)?，所以原式?6．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知，且，求的值．【答案】．【詳解】，，故．又，故，即，解得．37．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知，求的值．【答案】-1【詳解】，其，故，即．所以．38．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）計(jì)算的值．【答案】【詳解】解：注意到，于是原式．39．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若，計(jì)算的值．【答案】4．【詳解】解：原式．由得，代入上式得原式．40．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】因時(shí)，原式，故原式有因式．又原式是關(guān)于的五次齊次輪換對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，故原式有因式，并可設(shè)．令，得，即，再令，得，即，解出．所以，原式．41．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）計(jì)算：．【答案】1【詳解】令，則原式．42．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）計(jì)算：【答案】337【詳解】因，所以原式．43．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）計(jì)算．【答案】．【詳解】設(shè)，反過(guò)順序求和得，兩式相加，所以．44．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）計(jì)算：．【答案】373【詳解】解

因，故．45．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）把分解因式．【答案】【詳解】解法一原式．解法二

把原式看成的多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，原式，所以原式有因式．又原式是的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，由對(duì)稱(chēng)性知原式有因式．又此式和原式都是四次齊次多項(xiàng)式，故，其中是常數(shù)．上式中令得，即，所以原式．46．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知是整數(shù)，二次三項(xiàng)式既是的一個(gè)因式，也是的一個(gè)因式，求時(shí)的值．【答案】4【詳解】解

依題意，應(yīng)是的一個(gè)因式，所以，故當(dāng)時(shí)，．47．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）把多項(xiàng)式分解因式．【答案】【詳解】解法一

原式．解法二

原式．48．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）分解因式：．【答案】【詳解】解法一

原式是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式．可設(shè)，則原式．解法二

當(dāng)時(shí)，原式，故原式有因式．又原式是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，故原式又有因式，且可設(shè)，令，得，得．令，得，即．令，得，即．令，得，即．從上面式子可解出，于是原式．4