【初中數(shù)學競賽】 專題01 實數(shù)競賽綜合-50題真題專項訓練（全國競賽專用）解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【初中數(shù)學競賽】專題01實數(shù)競賽綜合-50題真題專項訓練（全國競賽專用）一、單選題1．（2021·全國·九年級競賽）已知n是正整數(shù)，n有18個正約數(shù)，，設符合條件的n恰有x個，那么（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】理由：設n的標準分解式為（為互異質數(shù)，為正整數(shù)），則n的約數(shù)個數(shù)為．令．則顯然．情形（?。海藭r記，p為質數(shù)，a為正整數(shù)，則，故，n的最小值為．情形（ⅱ）：，此時不妨記，p，q為互異質數(shù)，a，b為正整數(shù)，，則，易得或，故或．①若，則n的最小值為．②若，則當時，n的最小值為；當時，n的最小值為符合題意，次小值為．情形（ⅲ）：，此時不妨記為互異質數(shù)，a，b，c為正整數(shù)，，則，易得，故．又不妨令．①若，則n的最小值為．②若，則n的最小值為，符合題意，次小值為．③若，易見此時符合題意的n有5個值：，（注意：）．綜上所述，可知符合條件的n共有7個，．故選：C2．（2021·全國·九年級競賽）若p為質數(shù)，仍為質數(shù)，則的末位數(shù)字是（）．A．5 B．7 C．9 D．不能確定【答案】A【詳解】由為質數(shù)可知p為偶數(shù)，又p為質數(shù)，則．故．因為的末位數(shù)字為6，故的末位數(shù)字為2.因此，的末位數(shù)字為5．3．（2021·全國·九年級競賽）已知a為整數(shù)，是質數(shù)，則a的所有可能值的和為（）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】由題意知為質數(shù)，故或，即或．因此，a的所有可能值的和為6．二、填空題4．（2021·全國·九年級競賽）大約1500年前，我國偉大的數(shù)學家祖沖之，計算出的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把的值精確到7位小數(shù)的人，現(xiàn)代人利用計算機已經將的值計算到了小數(shù)點后515億位以上．這些數(shù)排列既無序又無規(guī)律，但是細心的同學發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質數(shù)，31也是質數(shù)，但314不是質數(shù)，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，質數(shù)是______．【答案】314159【詳解】3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除．所以314159是質數(shù)．5．（2021·全國·九年級競賽）在算式中，A，B，C是三個互不相等的質數(shù)，那么_____．【答案】2【詳解】如果A，B，C都是奇數(shù)，那么是偶數(shù)，從而是偶數(shù)，而是奇數(shù)，矛盾，所以A，B，C中有偶數(shù)．質數(shù)中只有2是偶數(shù)，如果或，那么等號兩邊奇偶性不同，矛盾，所以只有．6．（2021·全國·九年級競賽）立方體的每一個面都寫著一個自然數(shù)，并且相對兩個面所寫兩個數(shù)之和相等，10，12，15是相鄰三面上的數(shù)，若10的對面寫的是質數(shù)a，12的對面寫的是質數(shù)b，15的對面寫的是質數(shù)c，則的值等于_________．【答案】19．【詳解】易知．7．（2021·全國·九年級競賽）已知都是質數(shù)，且，那么滿足上述條件的最小質數(shù)______，______．【答案】

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2．【詳解】，再考慮．逐一嘗試．8．（2021·全國·九年級競賽）若a，b，c是1998的三個不同的質因數(shù)，且，則______．【答案】1600．【詳解】，所以．9．（2021·全國·九年級競賽）已知a是質數(shù)，b是奇數(shù)，且，則_________．【答案】1999．【詳解】．10．（2021·全國·九年級競賽）若p和q為質數(shù)，且，則_____，______．【答案】

．【詳解】因91為奇數(shù)，則p，q不可能都為奇數(shù)，其中有且只有一個是偶數(shù)，而偶質數(shù)2是唯一的，若，則，與q為質數(shù)矛盾，故．11．（2021·全國·九年級競賽）若y，z均為質數(shù)，，且x，y，z滿足，則的值為______．【答案】20005．【詳解】由已知可知．而，則，又，即．顯然，則即，故．12．（2021·全國·九年級競賽）如果A，B，C是三個質數(shù)，而且，那么A，B，C組成的數(shù)組共有________組．【答案】1．【詳解】因為，∴．于是都不是3的倍數(shù)，從而A，B，C除以3的余數(shù)都不相同．A，B，C中必有一個是3的倍數(shù)，但3的倍數(shù)中只有3才是質數(shù)，故，均為質數(shù)，這是唯一解，亦即符合題意的數(shù)組共有1組．13．（2021·全國·九年級競賽）若正整數(shù)x，y滿足，則的最小值是________．【答案】673．【詳解】，即．又5與668互質，所以x的最小值是5，y的最小值是668．因此的最小值為．14．（2021·全國·九年級競賽）設m是不能表示為三個互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)，則______．【答案】17．【詳解】最小三個合數(shù)為4，6和8，．故17是不能表示為三個互不相等的合數(shù)之和的整數(shù)．當時，若，則；若，則．因此，任意大于18的整數(shù)均可表示為三個互不相等的合數(shù)之和．故．15．（2021·全國·九年級競賽）若兩個質數(shù)p，q滿足，則__________．【答案】15或103【詳解】若p，q均為奇數(shù)，則為偶數(shù)，與已知矛盾．因此，p，q中至少有一個為偶數(shù)．因p，q均為質數(shù)，所以，或．當時，（質數(shù)）．此時，．當時，（質數(shù)）．此時，．16．（2021·全國·九年級競賽）已知x，m，n為正整數(shù)，與均為質數(shù)，則x的可能取值的個數(shù)是________．【答案】2【詳解】由題設，m可取1，2，3，4，相應地，n可為4，3，2，1，并且m與n一奇一偶．故與一奇一偶．又與均為質數(shù)，因此，或，解得或．當時，．．所以，符合條件．當時，，則．此時，．所以，符合條件．當時，，則．當時，是質數(shù)．所以，符合條件．因此，x的可能取值有2個．17．（2021·全國·九年級競賽）王老師在黑板上寫了若干個連續(xù)自然數(shù)1，2，3……，然后擦去其中的三個數(shù)，已知擦去的三個數(shù)中有兩個質數(shù)，如果剩下數(shù)的平均數(shù)是，那么王老師在黑板上共寫了______個數(shù)，擦去的兩個質數(shù)的和最大是________．【答案】

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60，【詳解】剩下的數(shù)的個數(shù)應是9的倍數(shù)．因為1~39的平均數(shù)是20，所以剩下的數(shù)的個數(shù)應不大于39．不大于39的9的倍數(shù)的數(shù)最大是36，即剩下36個數(shù)，推知王老師共寫了個數(shù)．，，．擦去的三個數(shù)之和是64，其中和小于64的兩個質數(shù)最大是29和31，或37和23．故共寫了39個數(shù)，擦去兩個質數(shù)的和最大是60．18．（2021·全國·九年級競賽）萬尼亞想了一個三位質數(shù)，各位數(shù)字都不相同．如果個位數(shù)字等于前兩個數(shù)字的和，那么這個數(shù)是___________．【答案】167，257，347或527．【詳解】因為這個數(shù)是質數(shù)，所以個位數(shù)不可能取0，1，2，4，6，8，也不可能是5．如果末位數(shù)字是3或9，那么數(shù)字和就是3或9的兩倍，這就不是質數(shù)了．所以個位數(shù)只能是7，這個三位質數(shù)可以是167，257，347或527中的任一個．19．（2021·全國·九年級競賽）某個質數(shù)，當它分別加上6，8，12，14之后還是質數(shù)，那么這個質數(shù)是_____．【答案】5【詳解】滿足條件的最小質數(shù)是5．下面以整數(shù)中被5除所得余數(shù)分為五類，即（k為整數(shù)），其中類型的數(shù)中，除5外，其余均為合數(shù)；若質數(shù)M為類型，則為合數(shù)；若質數(shù)M為類型，則為合數(shù)；若質數(shù)M為類型，則為合數(shù)；若質數(shù)M為類型，則為合數(shù)．綜上所述：只有質數(shù)5分別加上6，8，12，14之后為11，13，17，19，它們均為質數(shù)，其他四類數(shù)不滿足條件．20．（2021·全國·九年級競賽）將99分拆成19個質數(shù)之和，要求最大的質數(shù)盡可能大，那么這個最大質數(shù)是________．【答案】61【詳解】因為最小的質數(shù)是2，所求最大質數(shù)應小于，小于63的最大質數(shù)是61，所求最大質數(shù)是61，而99可分拆成16個2，2個3和1個61的和．21．（2021·全國·九年級競賽）小晶最近遷居了，小晶驚奇地發(fā)現(xiàn)他們新居的門牌號碼有四位數(shù)字，同時，她感到這個號碼很容易記住，因為它的形式為，其中，而且和都是質數(shù)，具有這種形式的數(shù)共有______個．【答案】8【詳解】若兩位數(shù)與均為質數(shù)，則a，b均為奇數(shù)且不為5，滿足題意的數(shù)有下面8個：1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997．22．（2021·全國·九年級競賽）有1997個奇數(shù)，它們的和等于它們的乘積，其中只有三個數(shù)不是1，而是三個不同的質數(shù)，那么，這樣的三個質數(shù)可以是____，_________，__________．【答案】

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59【詳解】設a，b，c為三個不同的質數(shù)，根據(jù)題意，．取，得，解出不是質數(shù)；取，得，解出不是整數(shù)；取，得，解出．故5，7，59是滿足題意的三個質數(shù)．23．（2021·全國·九年級競賽）a，b，c都是質數(shù)，并且，那么______．【答案】53【詳解】質數(shù)中只有2是偶數(shù)，由條件易知，，所以．24．（2021·全國·九年級競賽）試將20表示成一些合數(shù)的和，這些合數(shù)的積最大是_____．【答案】1024【詳解】把一個數(shù)分拆成幾個數(shù)的和，再把這些加數(shù)相乘，當分拆的加數(shù)盡可能多地為3時，此時的乘積為最大．此題是把20表示成一些合數(shù)的和，只能是把20分拆成與3最接近的數(shù)4．則，而，此時為最大．25．（2021·全國·九年級競賽）有一個自然數(shù)，它有4個不同的質因數(shù)，且有32個約數(shù)，其中一個質因數(shù)是兩位數(shù)，當這個質因數(shù)盡可能大時，這個自然數(shù)最小是_________．【答案】11640【詳解】最大的兩位質數(shù)是97，而題中這個自然數(shù)有32個約數(shù)，它必形如，其中p，q，r為不同的質數(shù)．當時，這個自然數(shù)最小，是．26．（2021·全國·九年級競賽）有10個質數(shù)17，19，31，41，53，71，73，79，101，103，其中任意兩個質數(shù)都能組成一個真分數(shù)，這些真分數(shù)中，最小的是_____，最大的是_______．【答案】

【詳解】要使分數(shù)值最小，分子、分母的差應盡可能大；要使分數(shù)值最大，分子、分母的差應盡可能?。谶@三組差相同的數(shù)組成的分數(shù)中，最大，最?。?7．（2021·全國·九年級競賽）a，b，c都是質數(shù)，如果，那么_____．【答案】7【詳解】如果a，b，c都是奇數(shù)，那么與都是偶數(shù)，它們的乘積應是4的倍數(shù)，不可能是342，所以a，b，c中必有質數(shù)2．如果，則與都是奇數(shù)，它們的乘積不可能是342，所以a，c中有一個是2．因為，所以．28．（2021·全國·九年級競賽）所有分母小于30并且分母是質數(shù)的真分數(shù)相加，和是______．【答案】【詳解】所有這些真分數(shù)分別是．它們的和是．29．（2021·全國·九年級競賽）甲、乙兩人歲數(shù)之和是一個兩位數(shù)，這個兩位數(shù)是一個質數(shù)，這個質數(shù)的數(shù)字之和是13，甲比乙也剛好大13歲，那么甲______歲，乙_____歲．【答案】

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27【詳解】兩位的質數(shù)，個位數(shù)字只能是1，3，7，9，但1，3都不合題意，因為或都達不到13，如果個位數(shù)字是9，那么十位數(shù)字是，但49不是質數(shù)，因此，個位數(shù)字只能是7，十位數(shù)字是，即甲、乙兩人歲數(shù)之和是67，甲是歲，乙是歲．三、解答題30．（2021·全國·九年級競賽）有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們的平均數(shù)分別能被三個不同的質數(shù)整除，要使它們的和最小，這三個自然數(shù)分別是多少？【答案】29，30，31．【詳解】解：這三個數(shù)的平均數(shù)就是當中一個數(shù)，據(jù)題意，當中一個數(shù)為，即這三個數(shù)為29，30，31．31．（2021·全國·九年級競賽）一個數(shù)是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積，這個數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)，則這些兩位的約數(shù)中，最大的是幾?【答案】96．【詳解】我們可以將兩位數(shù)從大到小排列成99，98，97，96，95，…看一看其中誰是第一個所說數(shù)的約數(shù)．是質數(shù)，都不是所說數(shù)的約數(shù)．是這個數(shù)的約數(shù)．所求的數(shù)是96．32．（2021·全國·九年級競賽）一個六位數(shù)能同時被8和9整除已知，求c的最小值．【答案】最小值4．【詳解】由是9的倍數(shù)，知是9的倍數(shù)，故或13；由n是8的倍數(shù)，知是8的倍數(shù)，從而是8的倍數(shù)．易見符合條件，且使取最小值4．33．（2021·全國·九年級競賽）能同時被6，7，8，9整除的五位數(shù)有多少個?【答案】179個【詳解】6，7，8，9的最小公倍數(shù)是．504個連續(xù)的數(shù)中，恰有一個被504整除．從10000到9999，共90000個五位數(shù)，因為…，所以其中被504整除的數(shù)，每兩個相差504，在數(shù)軸上共形成178個區(qū)間，即被504整除的數(shù)（區(qū)間的端點）有179個．因此，能同時被6，7，8，9整除的五位數(shù)有179個．34．（2021·全國·九年級競賽）已知正整數(shù)p，q都是質數(shù)，并且與也都是質數(shù)，試求的值．【答案】17【詳解】解：因為，且是質數(shù)，所以必為正奇數(shù)．因此，p，q中必有一個偶質數(shù)2．（ⅰ）若，此時及均為質數(shù)．設（k為非負整數(shù)），則，它不是質數(shù)；設（k為非負整數(shù)），則，它不是質數(shù)．因此，q應是型的質數(shù)，當然只能3．（ⅱ）若，此時與均為質數(shù)．設（k為非負整數(shù)），則，它不是質數(shù)．設（k為非負整數(shù)），則，它不是質數(shù)．因此，p應為型的質數(shù)，亦只能是．綜合（?。?、（ⅱ）知，或，所以．35．（2021·全國·九年級競賽）p是質數(shù)，設也是質數(shù)，試確定q的值．【答案】149【詳解】解：因為4被3除余1，所以被3除余1，因此，被3除余2．如果，則質數(shù)p不被3整除，被3除余1，推知被3除余1．所以被3整除．而，所以此時q為合數(shù)，與q是質數(shù)的條件不符，因此，只能．當加時，．經檢驗，149確是質數(shù)，合乎要求．36．（2021·全國·九年級競賽）把20以內的質數(shù)分別填入口中（每個質數(shù)只用一次）：，使A是整數(shù)，則A最大是多少？【答案】10【詳解】解：．37．（2021·全國·九年級競賽）將1999表示為兩個質數(shù)之和：，在□中填入質數(shù)，共有多少種表示法？【答案】一種【詳解】解：根據(jù)奇偶數(shù)的性質：奇數(shù)=奇數(shù)+偶數(shù)．而在所有的偶數(shù)中只有2是質數(shù)，所以兩個□中必有一個是質數(shù)2，另一個質數(shù)是1997，只有這一種填法．所以只有一種填法．38．（2021·全國·九年級競賽）（1）如果a是小于20的質數(shù)，且可化為一個循環(huán)小數(shù)，那么a的取值有哪幾個？（2）如果a是小于20的合數(shù)，且可化為一個循環(huán)小數(shù)，那么a的取值有哪幾個？【答案】（1）3，7，11，13，17，19；（2）6，9，12，14，15，18【詳解】解：（1）小于20的質數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19．除了2和5以外，其余各數(shù)的倒數(shù)均可化為循環(huán)小數(shù)，故a可取3，7，11，13，17，19．（2）由（1）知，只要合數(shù)a的因數(shù)中含有2或5以外的質數(shù)，則該數(shù)的倒數(shù)可化為循環(huán)小數(shù)，故a可取6，9，12，14，15，18．39．（2021·全國·九年級競賽）哥德巴赫猜想是說：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質數(shù)之和，問：168是哪兩個兩位數(shù)的質數(shù)之和，并且其中一個的個位數(shù)字是1？【答案】71和97【詳解】解：個位數(shù)字是1的兩位質數(shù)有11，31，41，61，71．其中，都不是兩位數(shù)，只有是兩位數(shù)，而且是質數(shù)，所以是唯一的解．40．（2021·全國·九年級競賽）將兩個不同的兩位數(shù)的質數(shù)接起來可以得到一個四位數(shù)，比如由17，19可得到一個四位數(shù)1719；由19，17也可得到一個四位數(shù)1917．已知這樣的四位數(shù)能被這兩個兩位數(shù)的質數(shù)的平均數(shù)所整除，試寫出所有這樣的四位數(shù)．【答案】1353，5313，1947，4719，2343，4323，2937，3729【詳解】解：設是符合題意的兩個兩位數(shù)的質數(shù)，按題意有，，（k為正整數(shù)）．因為是質數(shù)，且不能整除，所以含有約數(shù)，198含有約數(shù)．因為是偶數(shù)，且在與之間，而198在24與186之間的偶數(shù)約數(shù)只有66，所以．而，故所求數(shù)有8個，分別是1353，5313，1947，4719，2343，4323，2937，3729．41．（2021·全國·九年級競賽）4只同樣的瓶子內分別裝有一定數(shù)量的油，每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記錄千克數(shù)如下：8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數(shù)，求最重的兩瓶內有多少油．【答案】12kg【詳解】解：由于每只瓶都稱了三次，因此，記錄數(shù)據(jù)之和是4瓶油（連瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（連瓶）共重．而油重之和及瓶重之和均為質數(shù)，所以它們必為一奇一偶，由于2是唯一的偶質數(shù)，所以只有兩種可能：（?。┯椭刂蜑?，瓶重之和為，每只瓶重，，最重的兩瓶內的油為．（ⅱ）油重之和為，瓶重之和為，每只瓶重，最重的兩瓶內的油為，這與油重之和矛盾．因此，最重的兩瓶內共有油．42．（2021·全國·九年級競賽）在1，0交替出現(xiàn)且以1打頭和結尾的所有整數(shù)（即101，10101，1010101，…）中有多少個質數(shù)？【答案】101【詳解】解：只有一個質數(shù)101．若，則．當時，，得A為合數(shù)；當時，9整除，11整除，所以A為合數(shù)．因此，只有101是質數(shù)．43．（2021·全國·九年級競賽）設a，b，c，d是自然數(shù)，并且，證明：一定是合數(shù)．【答案】證明見解析【詳解】證明：因為a，b，c，d是自然數(shù)，所以都是偶數(shù)，即是偶數(shù)．又因為，所以是偶數(shù)，從而有，它一定是偶數(shù)．但，于是是個合數(shù)．44．（2021·全國·九年級競賽）正整數(shù)a，b，c，d滿足等式，求證：是合數(shù)．【答案】證明見解析【詳解】證明：由正整數(shù)的質因數(shù)分解的唯一性，可求得這樣的正整數(shù)p，q，r，s，使．則故k是合數(shù)．45．（2021·全國·九年級競賽）若a為自然數(shù)，則是質數(shù)還是合數(shù)？給出你的證明．【答案】當或2時，是質數(shù)；當a是大于2的自然數(shù)時，是合數(shù)．證明見解析【詳解】解：．對于自然數(shù)，所以當時，為合數(shù)．（ⅰ）若，則，即且．又．（ⅱ）若，則或．時，時，．綜合（?。?、（ⅱ）知：當或2時，是質數(shù)；當a是大于2的自然數(shù)時，是合數(shù)．46．（2021·全國·九年級競賽）請你找出6個互異的自然數(shù)，使得它們同時滿足：（1）6個數(shù)中任兩個都互質；（2）6個數(shù)任取2個，3個，4個，5個，6個數(shù)之和都是合數(shù)．并簡述你選擇的數(shù)合乎條件的理由．【答案】，理由見解析【詳解】解：選擇6個互異自然數(shù)為，只須證明任