泰州市靖江高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第17頁(yè)/共17頁(yè)靖江高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘總分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.命題“，”的否定為（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定格式改寫即可.【詳解】特稱命題的否定格式：首先特稱量詞改為全稱量詞，結(jié)論改為原結(jié)論的反面，故原命題的否定為：，故選:C2.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相等集合的概念，元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，空集的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯(cuò)誤；②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患希瑒t，正確；③空集是任意集合的子集，故，正確；④空集沒有任何元素，故，錯(cuò)誤；⑤兩個(gè)集合所研究的對(duì)象不同，故為不同集合，錯(cuò)誤；⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯(cuò)誤；∴②③正確.故選：B.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義的要求列不等式求函數(shù)定義域.【詳解】由函數(shù)解析式有意義可得且，所以函數(shù)的定義域是且，故選：D.4.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)二次不等式確定的取值范圍，然后再根據(jù)必要不充分條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由，得或，由于成立，推不出一定成立，而成立，能推出一定成立，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.下列結(jié)論中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】A和B需考慮代數(shù)的正負(fù)號(hào)問題，進(jìn)而判斷不等式是否一定成立；對(duì)于C根據(jù)已知條件判斷是否同號(hào)即可；對(duì)于D，需考慮為小數(shù)或者負(fù)數(shù)情況.【詳解】，若，則，故A不一定成立；，若，則，故B不一定成立；由可知同號(hào)，因此，故C一定成立；令，，，，，故D不一定成立.故選：C6.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】由題可得，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及概念即得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.7.已知函數(shù)，集合，．記集合，．則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得后由交集的概念求解，【詳解】函數(shù)，若，則，解得所以，若，則，解得所以，則，故選：C8.已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，分析可知點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，可得出的值，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，且函數(shù)在上為增函數(shù)，由，因?yàn)?，解得，所以?故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)零點(diǎn)和的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于分析函數(shù)圖象的對(duì)稱性，求出，結(jié)合不等式求出的取值范圍，進(jìn)而求解.二、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)概念逐一判斷即可.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的定義知，一個(gè)有唯一的對(duì)應(yīng)，由圖象可看出，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，不符合；對(duì)于B，符合一個(gè)有唯一的對(duì)應(yīng)，可表示函數(shù)關(guān)系；對(duì)于C，符合一個(gè)有唯一的對(duì)應(yīng)，可表示函數(shù)關(guān)系；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，有無數(shù)個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，不符合；故選：BC.10.下列命題中，假命題的是（）A.充要條件是 B.，C.若，則，至少有一個(gè)大于1 D.，【答案】ABD【解析】【分析】通過特殊值判斷A，B的正誤；通過不等式的基本性質(zhì)判斷C的正誤；利用命題的否定形式判斷D的正誤．【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，故A為假命題；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B為假命題；對(duì)于C，若，則，所以若，則，至少有一個(gè)大于1，故C為真命題；對(duì)于D，，，故不存在，，故D為假命題．故選：ABD.11.已知集合，，．若，，．則下面結(jié)論中一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的定義，設(shè)出的形式，計(jì)算后再根據(jù)集合中代表元素形式判斷．【詳解】由題意，設(shè)，，下面的均為整數(shù)，則，，，不是偶數(shù)時(shí)，，，故選：B．12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，．則下列命題中正確的是（）A.，B.若，，，則方程的解集為C.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，是成立的充分不必要條件D.設(shè)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為-1【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，設(shè)，，求，根據(jù)參數(shù)的取值范圍，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，結(jié)合方程的求解，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)充分不必要條件，同A，設(shè)出表示，作差，可得充分性，舉反例，可證必要性；對(duì)于D，分是否為整數(shù)進(jìn)行討論，可得函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而化簡(jiǎn)函數(shù)或研究其奇偶性，可得答案.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，則，所以，因?yàn)椋?，所以，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以方程等價(jià)于，又因?yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù)，所以恒成立，即對(duì)任意，恒成立，所以方程的解集為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，由，則，易知，設(shè)，則，但，故對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，是成立的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，；當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，則，即，故，則.當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，令，解得，此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為；當(dāng)不整數(shù)時(shí)，，故函數(shù)為偶函數(shù)，則若存在零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)所有零點(diǎn)之和為.綜上所述，函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上．）13.已知集合，則實(shí)數(shù)的取值集合為______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合間的包含關(guān)系，得到元素與集合的關(guān)系，即可得到實(shí)數(shù)的取值集合.【詳解】解：集合，則所以或.所以實(shí)數(shù)的取值集合為：.故答案為：.14.若一次函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，則的解析式為______________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，代入題干等式，化簡(jiǎn)，即可求得.【詳解】設(shè)一次函數(shù)，，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)閷?duì)任意，上式都滿足，取和代入上式得：，解得：，所以.故答案為：.15.已知不等式的解集為，則不等式的解集為______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理即可得出之間的關(guān)系，然后將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所?和2是方程的兩根，且，由韋達(dá)定理可得則不等式可化為，即即，解得所以不等式解集為故答案為:16.已知，是定義在上的函數(shù)，其中是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，若對(duì)于，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.【詳解】根據(jù)題意，，則，又是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則，故可得；因?yàn)閷?duì)于，都有，即，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要滿足題意，則，解得；當(dāng)時(shí)，要滿足題意，則，解得；綜上所述，的取值范圍為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是要根據(jù)構(gòu)造，屬中檔題.四、解答題：（本大題共6題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)解一元二次不等式，利用集合并集的運(yùn)算方法可求解;(2)根據(jù)若，結(jié)合數(shù)軸觀察求解.【小問1詳解】由得解得，所以，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，所?【小問2詳解】由(1)得，由得解得，所以，因?yàn)?，所以或，解得?18.（1）計(jì)算：；（2）已知，，試用，表示．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）.（2），由，則，且，即.19.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若正數(shù)滿足，求的最小值．【答案】（1）14（2）【解析】【分析】（1）由，將函數(shù)構(gòu)造基本不等式，利用基本不等式就可以求出函數(shù)的最小值；（2）由，且滿足，則有，即，所以，再利用基本不等式就可以求出最小值【詳解】（1）由，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取到最小值14.（2）由，且滿足，則有，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值.20.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明函數(shù)為上的增函數(shù)；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析.（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義即可求解;(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;(3)利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式.【小問1詳解】由題可知,即,即,兩邊平方整理得,由于,所以.【小問2詳解】由(1)知，，當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)?，，所以，，所以且，所以，即，所以為上的增函?shù).【小問3詳解】由(2)可知，在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，由得，，解得.21.已知函數(shù)．（1）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式組的解集中的整數(shù)解只有1，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的解集為？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由，【答案】（1）（2）（3）存在或【解析】【分析】利用即可求出值.分類討論即可得到的范圍.假設(shè)存在利用韋達(dá)定理即可求得的值.【小問1詳解】由已知在上恒成立，所以即，故【小問2詳解】因?yàn)椋砸驗(yàn)榻饧械恼麛?shù)解只有1，故故又因?yàn)榻饧械恼麛?shù)解只有1，所以的取值范圍為【小問3詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得的解集為成立，即解集為，所以將代入整理得得或，故或所以存在或符合題意.22.已知函數(shù)．（其中）（1）若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意，使得恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，分、結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)在上必有一個(gè)零點(diǎn)，要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，解得即可；（2）依題意可得，，對(duì)分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的最值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋詫?duì)稱軸，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，開口向下，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上必有一個(gè)零點(diǎn)，要使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得或（舍去），即當(dāng)時(shí)在上有兩個(gè)零點(diǎn).【小問2詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意，使得恒