數(shù)字邏輯基礎(chǔ)卡諾圖化簡(jiǎn)課件

復(fù)習(xí)：真值表--邏輯表達(dá)式（化簡(jiǎn)）--邏輯電路圖例：三變量表決邏輯Y=？邏輯圖？ABCY000000100100011110001011110111112024/1/241.2.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法2.4.1最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式

2.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.4.3卡諾圖化簡(jiǎn)法

2.4.4含有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

2024/1/242.2.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

公式化簡(jiǎn)法評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：變量個(gè)數(shù)不受限制。缺點(diǎn)：目前尚無(wú)一套完整的方法，結(jié)果是否最簡(jiǎn)有時(shí)不易判斷。

利用卡諾圖可以直觀而方便地化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。它克服了公式化簡(jiǎn)法對(duì)最終化簡(jiǎn)結(jié)果難以確定等缺點(diǎn)?？ㄖZ圖是按一定規(guī)則畫出來(lái)的方框圖，是邏輯函數(shù)的圖解化簡(jiǎn)法，同時(shí)它也是表示邏輯函數(shù)的一種方法?？ㄖZ圖的基本組成單元是最小項(xiàng)，所以先討論一下最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式。

2024/1/243.2.4.1最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式

（1）最小項(xiàng)

具備以上條件的乘積項(xiàng)共八個(gè)，我們稱這八個(gè)乘積項(xiàng)為三變量A、B、C的最小項(xiàng)。

設(shè)A、B、C是三個(gè)邏輯變量，若由這三個(gè)邏輯變量按以下規(guī)則構(gòu)成乘積項(xiàng)：①每個(gè)乘積項(xiàng)都只含三個(gè)因子，且每個(gè)變量都是它的一個(gè)因子；②每個(gè)變量都以反變量(A、B、C)或以原變量(A、B、C)的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。

AB是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？ABBC是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？

推廣：一個(gè)變量?jī)H有原變量和反變量?jī)煞N形式，因此N個(gè)變量共有2N個(gè)最小項(xiàng)。2024/1/244.

最小項(xiàng)的定義:對(duì)于N個(gè)變量，如果P是一個(gè)含有N個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個(gè)因子在P中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱P是這N個(gè)變量的一個(gè)最小項(xiàng)。表1-17三變量最小項(xiàng)真值表

2024/1/245.（2）最小項(xiàng)的性質(zhì)

①對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而變量取其余各組值時(shí)，該最小項(xiàng)均為0；②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)之積恒為0；③變量全部最小項(xiàng)之和恒為1。2024/1/246.

最小項(xiàng)也可用“mi”

表示，下標(biāo)“i”即最小項(xiàng)的編號(hào)。編號(hào)方法：把最小項(xiàng)取值為1所對(duì)應(yīng)的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號(hào)。

表1-18三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表

2024/1/247.

（3）最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式——標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。而且這種形式是惟一的，就是說(shuō)一個(gè)邏輯函數(shù)只有一種最小項(xiàng)表達(dá)式。例1:將Y=AB+BC展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。解：或：2024/1/248.例2:寫出三變量函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。解利用摩根定律將函數(shù)變換為與或表達(dá)式，然后展開成最小項(xiàng)之和形式。2024/1/249.練習(xí)：1：將邏輯函數(shù)展開為最小項(xiàng)表達(dá)式2：若最小項(xiàng)表達(dá)式為Y(A,B,C)=Σm(0,1,2,7),寫出其對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)與或表達(dá)式2024/1/2410.2.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

（1）卡諾圖及其構(gòu)成原則

卡諾圖是把最小項(xiàng)按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：①N變量的卡諾圖有2N個(gè)小方塊（最小項(xiàng)）；②最小項(xiàng)排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。邏輯相鄰：兩個(gè)最小項(xiàng),只有一個(gè)變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項(xiàng)可以合并。幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對(duì)——任一行或一列的兩頭；三是相重——對(duì)折起來(lái)后位置相重。在五變量和六變量的卡諾圖中，用相重來(lái)判斷某些最小項(xiàng)的幾何相鄰性，其優(yōu)點(diǎn)是十分突出的。2024/1/2411.圖1-11三變量卡諾圖的畫法

（2）卡諾圖的畫法首先討論三變量（A、B、C）函數(shù)卡諾圖的畫法。①3變量的卡諾圖有23個(gè)小方塊；②幾何相鄰的必須邏輯相鄰：變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。相鄰相鄰2024/1/2412.圖1-12四變量卡諾圖的畫法相鄰相鄰不相鄰

正確認(rèn)識(shí)卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類似于一個(gè)封閉的球面，如同展開了的世界地圖一樣。對(duì)角線上不相鄰。2024/1/2413.

（1）從真值表畫卡諾圖根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫出卡諾圖，再按真值表填寫每一個(gè)小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。

例3：

已知Y的真值表，要求畫Y的卡諾圖。表1-19邏輯函數(shù)Y的真值表ABCY00000011010101101001101011001111圖1-12例3的卡諾圖2024/1/2414.練習(xí)：三變量表決邏輯真值表填入卡諾圖ABCY000000100100011110001011110111112024/1/2415.

（2）從最小項(xiàng)表達(dá)式畫卡諾圖

把表達(dá)式中所有的最小項(xiàng)在對(duì)應(yīng)的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例4：

畫出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。

圖1-14例4的卡諾圖2024/1/2416.

（3）從與－或表達(dá)式畫卡諾圖把每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的的公因子）所對(duì)應(yīng)的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。

例5：已知，畫卡諾圖。2024/1/2417.1ABCD=01111+1ACD=101最后將剩下的填01111AB＝11熟悉后也可以直接由表達(dá)式填卡諾圖。2024/1/2418.

（4）從一般形式表達(dá)式畫卡諾圖

先將表達(dá)式變換為與或表達(dá)式，再畫出卡諾圖。

2024/1/2419.例6：

解：（1）利用摩根定律去掉非號(hào)，直到最后得到一個(gè)與或表達(dá)式，即

（2）根據(jù)與或表達(dá)式畫出卡諾圖，如下圖所示。2024/1/2420.2024/1/2421.

（1）卡諾圖中最小項(xiàng)合并的規(guī)律合并相鄰最小項(xiàng)，可消去變量。合并兩個(gè)最小項(xiàng)，可消去一個(gè)變量；合并四個(gè)最小項(xiàng)，可消去兩個(gè)變量；合并八個(gè)最小項(xiàng)，可消去三個(gè)變量。合并2N個(gè)最小項(xiàng)，可消去N個(gè)變量。2.4.3卡諾圖化簡(jiǎn)法

由于卡諾圖兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)中，只有一個(gè)變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項(xiàng)，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一個(gè)或多個(gè)變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡(jiǎn)化。

2024/1/2422.圖1-15兩個(gè)最小項(xiàng)合并

m3m11BCD2024/1/2423.圖1-16四個(gè)最小項(xiàng)合并

2024/1/2424.圖1-17八個(gè)最小項(xiàng)合并2024/1/2425.（2）利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

A．基本步驟：

①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；②合并相鄰最小項(xiàng)（圈組）；③從圈組寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

關(guān)鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則①必須按2、4、8、2N的規(guī)律來(lái)圈取值為1的相鄰最小項(xiàng)；②每個(gè)取值為1的相鄰最小項(xiàng)至少必須圈一次，但可以圈多次；③圈的個(gè)數(shù)要最少（與項(xiàng)就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。2024/1/2426.

C．從圈組寫最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的方法：

①將每個(gè)圈用一個(gè)與項(xiàng)表示圈內(nèi)各最小項(xiàng)中互補(bǔ)的因子消去，相同的因子保留，相同因子取值為1用原變量，相同因子取值為0用反變量；

②將各與項(xiàng)相或，便得到最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。2024/1/2427.例7：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相鄰A2024/1/2428.相鄰BCA2024/1/2429.BCABD2024/1/2430.

例8：

化簡(jiǎn)圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈112233442024/1/2431.

圈組技巧(防止多圈組的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一種圈法的1；③最后圈大圈；④檢查：每個(gè)圈中至少有一個(gè)1未被其它圈圈過(guò)。2024/1/2432.圖1-18例9卡諾圖化簡(jiǎn)過(guò)程例9：化簡(jiǎn)函數(shù)

解：化簡(jiǎn)步驟如下：①函數(shù)的卡諾圖如圖1-18所示，“0”可以不填。②畫卡諾圈：如圖1-18所示2024/1/2433.

③按消去不同、保留相同的方法寫出邏輯表達(dá)式。

例10：

化簡(jiǎn)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,8,10,11)

解（1）畫出函數(shù)的卡諾圖,如圖1-19所示。（2）

按合并最小項(xiàng)的規(guī)律可畫出三個(gè)卡諾圈，如圖1-19所示。（3）

寫出化簡(jiǎn)后的邏輯表達(dá)式。

2024/1/2434.

圖1-19例10的卡諾圖

2024/1/2435.卡諾圖化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)結(jié)果不一定唯一例：解1：解2：2024/1/2436.練習(xí)：卡諾圖化簡(jiǎn)將三變量表決邏輯用卡諾圖化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)：F(A,B,C,D)=Σm（0，1，2，4，5，6，8，9，12，13，14）化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)：2024/1/2437.2.4.4具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

①無(wú)關(guān)項(xiàng)的概念對(duì)應(yīng)于輸入變量的某些取值下，輸出函數(shù)的值可以是任意的(隨意項(xiàng)、任意項(xiàng))，或者這些輸入變量的取值根本不會(huì)（也不允許）出現(xiàn)(約束項(xiàng))，通常把這些輸入變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)或任意項(xiàng)，在卡諾圖中用符號(hào)“×”表示，在標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中用∑d（）表示。例：當(dāng)8421BCD碼作為輸入變量時(shí)，禁止碼1010～1111這六種狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)就是無(wú)關(guān)項(xiàng)。2024/1/2438.

②具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)因?yàn)闊o(wú)關(guān)項(xiàng)的值可以根據(jù)需要取0或取1，所以在用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，充分利用無(wú)關(guān)項(xiàng)，可以使邏輯函數(shù)進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化。2024/1/2439.

例11：設(shè)ABCD是十進(jìn)制數(shù)X的二進(jìn)制編碼，當(dāng)X≥5時(shí)輸出Y為1，求Y的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。表1-20例11的真值表

XABCDY00

000010

001020

010030

011040

100050

101160

110170

111181

000191

0011/1010×/1011×/1100×/1101×/1110×/1111×解：列真值表，見(jiàn)表1-20所示。

畫卡諾圖并化簡(jiǎn)。

2024/1/2440.圖1-20例11的卡諾圖

充分利用無(wú)關(guān)項(xiàng)化簡(jiǎn)后得到的結(jié)果要簡(jiǎn)單得多。注意：當(dāng)圈組后，圈內(nèi)的無(wú)關(guān)項(xiàng)已自動(dòng)取值為1，而圈外無(wú)關(guān)項(xiàng)自動(dòng)取值為0。利用無(wú)關(guān)項(xiàng)化簡(jiǎn)結(jié)果為：Y＝A＋BD＋BC2024/1/2441.

例12：化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(1,2,5,6,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)式中d表示無(wú)關(guān)項(xiàng)。圖1-21例12的卡諾圖

解：畫函數(shù)的卡諾圖并化簡(jiǎn)。結(jié)果為：Y＝CD＋CD

2024/1/2442.例13：

十字路口的交通信號(hào)燈,紅、綠、黃燈分別用A、B、C來(lái)表示。燈亮用1來(lái)表示，燈滅用0來(lái)表示。車輛通行狀態(tài)用Y來(lái)表示，停車時(shí)Y為0，通車時(shí)Y為1。用卡諾圖化簡(jiǎn)此邏輯函數(shù)。解：

(1)在實(shí)際交通信號(hào)燈工作時(shí)，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的燈同時(shí)亮(燈全滅時(shí),允許車輛感到安全時(shí)可以通行)。根據(jù)題目要求列出真值表，如表1-21所示。

(2)根據(jù)真值表畫卡諾圖，如圖1-22所示。2024/1/2443.表1-21例13的真值表ABCY000001010011100101110111101×0×××2024/1/2444.

圖1-22例13的卡諾圖

(3)畫卡諾圈合并最小項(xiàng),其中約束項(xiàng)可以當(dāng)作0或1,目的是要得到最簡(jiǎn)的結(jié)果。

2024/1/2445.練習(xí)：1：F(A,B,C,D)=∑m(3,5,6,7,10)+∑d(0,1,2,4,8)2：F(A,B,C,D)=∑m(2,3,7,8,11,14)+∑d(0,5,10,15)2024/1/2446.邏輯代數(shù)應(yīng)用舉例：例14：給定條件：A從來(lái)不說(shuō)話；B只有A在場(chǎng)時(shí)才說(shuō)話；C在任何情況下甚至一個(gè)人時(shí)也說(shuō)話；D只有C在場(chǎng)時(shí)才說(shuō)話。問(wèn)房中沒(méi)有人說(shuō)話的條件。設(shè)：沒(méi)人說(shuō)話時(shí)，輸出為1。對(duì)變量（A，B，C，D）而言，不在場(chǎng)時(shí)為0，在場(chǎng)時(shí)為1。列真值表：2024/1/2447.

ABCDY000000010010001101000101011001111000100110101011110011011