數(shù)字邏輯基礎(chǔ)卡諾圖化簡課件

復習：真值表--邏輯表達式（化簡）--邏輯電路圖例：三變量表決邏輯Y=？邏輯圖？ABCY000000100100011110001011110111112024/1/241.2.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.4.1最小項及最小項表達式

2.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.4.3卡諾圖化簡法

2.4.4含有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡

2024/1/242.2.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

公式化簡法評價：優(yōu)點：變量個數(shù)不受限制。缺點：目前尚無一套完整的方法，結(jié)果是否最簡有時不易判斷。

利用卡諾圖可以直觀而方便地化簡邏輯函數(shù)。它克服了公式化簡法對最終化簡結(jié)果難以確定等缺點。卡諾圖是按一定規(guī)則畫出來的方框圖，是邏輯函數(shù)的圖解化簡法，同時它也是表示邏輯函數(shù)的一種方法?？ㄖZ圖的基本組成單元是最小項，所以先討論一下最小項及最小項表達式。

2024/1/243.2.4.1最小項及最小項表達式

（1）最小項

具備以上條件的乘積項共八個，我們稱這八個乘積項為三變量A、B、C的最小項。

設(shè)A、B、C是三個邏輯變量，若由這三個邏輯變量按以下規(guī)則構(gòu)成乘積項：①每個乘積項都只含三個因子，且每個變量都是它的一個因子；②每個變量都以反變量(A、B、C)或以原變量(A、B、C)的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。

AB是三變量函數(shù)的最小項嗎？ABBC是三變量函數(shù)的最小項嗎？

推廣：一個變量僅有原變量和反變量兩種形式，因此N個變量共有2N個最小項。2024/1/244.

最小項的定義:對于N個變量，如果P是一個含有N個因子的乘積項，而且每一個變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個因子在P中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱P是這N個變量的一個最小項。表1-17三變量最小項真值表

2024/1/245.（2）最小項的性質(zhì)

①對于任意一個最小項，只有一組變量取值使它的值為1，而變量取其余各組值時，該最小項均為0；②任意兩個不同的最小項之積恒為0；③變量全部最小項之和恒為1。2024/1/246.

最小項也可用“mi”

表示，下標“i”即最小項的編號。編號方法：把最小項取值為1所對應(yīng)的那一組變量取值組合當成二進制數(shù)，與其相應(yīng)的十進制數(shù)，就是該最小項的編號。

表1-18三變量最小項的編號表

2024/1/247.

（3）最小項表達式

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為最小項之和的形式——標準與或表達式。而且這種形式是惟一的，就是說一個邏輯函數(shù)只有一種最小項表達式。例1:將Y=AB+BC展開成最小項表達式。解：或：2024/1/248.例2:寫出三變量函數(shù)的最小項表達式。解利用摩根定律將函數(shù)變換為與或表達式，然后展開成最小項之和形式。2024/1/249.練習：1：將邏輯函數(shù)展開為最小項表達式2：若最小項表達式為Y(A,B,C)=Σm(0,1,2,7),寫出其對應(yīng)的最小項與或表達式2024/1/2410.2.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

（1）卡諾圖及其構(gòu)成原則

卡諾圖是把最小項按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：①N變量的卡諾圖有2N個小方塊（最小項）；②最小項排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。邏輯相鄰：兩個最小項,只有一個變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項可以合并。幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對——任一行或一列的兩頭；三是相重——對折起來后位置相重。在五變量和六變量的卡諾圖中，用相重來判斷某些最小項的幾何相鄰性，其優(yōu)點是十分突出的。2024/1/2411.圖1-11三變量卡諾圖的畫法

（2）卡諾圖的畫法首先討論三變量（A、B、C）函數(shù)卡諾圖的畫法。①3變量的卡諾圖有23個小方塊；②幾何相鄰的必須邏輯相鄰：變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。相鄰相鄰2024/1/2412.圖1-12四變量卡諾圖的畫法相鄰相鄰不相鄰

正確認識卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類似于一個封閉的球面，如同展開了的世界地圖一樣。對角線上不相鄰。2024/1/2413.

（1）從真值表畫卡諾圖根據(jù)變量個數(shù)畫出卡諾圖，再按真值表填寫每一個小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。

例3：

已知Y的真值表，要求畫Y的卡諾圖。表1-19邏輯函數(shù)Y的真值表ABCY00000011010101101001101011001111圖1-12例3的卡諾圖2024/1/2414.練習：三變量表決邏輯真值表填入卡諾圖ABCY000000100100011110001011110111112024/1/2415.

（2）從最小項表達式畫卡諾圖

把表達式中所有的最小項在對應(yīng)的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例4：

畫出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。

圖1-14例4的卡諾圖2024/1/2416.

（3）從與－或表達式畫卡諾圖把每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的的公因子）所對應(yīng)的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。

例5：已知，畫卡諾圖。2024/1/2417.1ABCD=01111+1ACD=101最后將剩下的填01111AB＝11熟悉后也可以直接由表達式填卡諾圖。2024/1/2418.

（4）從一般形式表達式畫卡諾圖

先將表達式變換為與或表達式，再畫出卡諾圖。

2024/1/2419.例6：

解：（1）利用摩根定律去掉非號，直到最后得到一個與或表達式，即

（2）根據(jù)與或表達式畫出卡諾圖，如下圖所示。2024/1/2420.2024/1/2421.

（1）卡諾圖中最小項合并的規(guī)律合并相鄰最小項，可消去變量。合并兩個最小項，可消去一個變量；合并四個最小項，可消去兩個變量；合并八個最小項，可消去三個變量。合并2N個最小項，可消去N個變量。2.4.3卡諾圖化簡法

由于卡諾圖兩個相鄰最小項中，只有一個變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一個或多個變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡化。

2024/1/2422.圖1-15兩個最小項合并

m3m11BCD2024/1/2423.圖1-16四個最小項合并

2024/1/2424.圖1-17八個最小項合并2024/1/2425.（2）利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

A．基本步驟：

①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；②合并相鄰最小項（圈組）；③從圈組寫出最簡與或表達式。

關(guān)鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則①必須按2、4、8、2N的規(guī)律來圈取值為1的相鄰最小項；②每個取值為1的相鄰最小項至少必須圈一次，但可以圈多次；③圈的個數(shù)要最少（與項就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。2024/1/2426.

C．從圈組寫最簡與或表達式的方法：

①將每個圈用一個與項表示圈內(nèi)各最小項中互補的因子消去，相同的因子保留，相同因子取值為1用原變量，相同因子取值為0用反變量；

②將各與項相或，便得到最簡與或表達式。2024/1/2427.例7：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相鄰A2024/1/2428.相鄰BCA2024/1/2429.BCABD2024/1/2430.

例8：

化簡圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈112233442024/1/2431.

圈組技巧(防止多圈組的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一種圈法的1；③最后圈大圈；④檢查：每個圈中至少有一個1未被其它圈圈過。2024/1/2432.圖1-18例9卡諾圖化簡過程例9：化簡函數(shù)

解：化簡步驟如下：①函數(shù)的卡諾圖如圖1-18所示，“0”可以不填。②畫卡諾圈：如圖1-18所示2024/1/2433.

③按消去不同、保留相同的方法寫出邏輯表達式。

例10：

化簡

Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,8,10,11)

解（1）畫出函數(shù)的卡諾圖,如圖1-19所示。（2）

按合并最小項的規(guī)律可畫出三個卡諾圈，如圖1-19所示。（3）

寫出化簡后的邏輯表達式。

2024/1/2434.

圖1-19例10的卡諾圖

2024/1/2435.卡諾圖化簡最簡結(jié)果不一定唯一例：解1：解2：2024/1/2436.練習：卡諾圖化簡將三變量表決邏輯用卡諾圖化簡化簡：F(A,B,C,D)=Σm（0，1，2，4，5，6，8，9，12，13，14）化簡：化簡：化簡：2024/1/2437.2.4.4具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡

①無關(guān)項的概念對應(yīng)于輸入變量的某些取值下，輸出函數(shù)的值可以是任意的(隨意項、任意項)，或者這些輸入變量的取值根本不會（也不允許）出現(xiàn)(約束項)，通常把這些輸入變量取值所對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)項或任意項，在卡諾圖中用符號“×”表示，在標準與或表達式中用∑d（）表示。例：當8421BCD碼作為輸入變量時，禁止碼1010～1111這六種狀態(tài)所對應(yīng)的最小項就是無關(guān)項。2024/1/2438.

②具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡因為無關(guān)項的值可以根據(jù)需要取0或取1，所以在用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，充分利用無關(guān)項，可以使邏輯函數(shù)進一步得到簡化。2024/1/2439.

例11：設(shè)ABCD是十進制數(shù)X的二進制編碼，當X≥5時輸出Y為1，求Y的最簡與或表達式。表1-20例11的真值表

XABCDY00

000010

001020

010030

011040

100050

101160

110170

111181

000191

0011/1010×/1011×/1100×/1101×/1110×/1111×解：列真值表，見表1-20所示。

畫卡諾圖并化簡。

2024/1/2440.圖1-20例11的卡諾圖

充分利用無關(guān)項化簡后得到的結(jié)果要簡單得多。注意：當圈組后，圈內(nèi)的無關(guān)項已自動取值為1，而圈外無關(guān)項自動取值為0。利用無關(guān)項化簡結(jié)果為：Y＝A＋BD＋BC2024/1/2441.

例12：化簡邏輯函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(1,2,5,6,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)式中d表示無關(guān)項。圖1-21例12的卡諾圖

解：畫函數(shù)的卡諾圖并化簡。結(jié)果為：Y＝CD＋CD

2024/1/2442.例13：

十字路口的交通信號燈,紅、綠、黃燈分別用A、B、C來表示。燈亮用1來表示，燈滅用0來表示。車輛通行狀態(tài)用Y來表示，停車時Y為0，通車時Y為1。用卡諾圖化簡此邏輯函數(shù)。解：

(1)在實際交通信號燈工作時，不可能有兩個或兩個以上的燈同時亮(燈全滅時,允許車輛感到安全時可以通行)。根據(jù)題目要求列出真值表，如表1-21所示。

(2)根據(jù)真值表畫卡諾圖，如圖1-22所示。2024/1/2443.表1-21例13的真值表ABCY000001010011100101110111101×0×××2024/1/2444.

圖1-22例13的卡諾圖

(3)畫卡諾圈合并最小項,其中約束項可以當作0或1,目的是要得到最簡的結(jié)果。

2024/1/2445.練習：1：F(A,B,C,D)=∑m(3,5,6,7,10)+∑d(0,1,2,4,8)2：F(A,B,C,D)=∑m(2,3,7,8,11,14)+∑d(0,5,10,15)2024/1/2446.邏輯代數(shù)應(yīng)用舉例：例14：給定條件：A從來不說話；B只有A在場時才說話；C在任何情況下甚至一個人時也說話；D只有C在場時才說話。問房中沒有人說話的條件。設(shè)：沒人說話時，輸出為1。對變量（A，B，C，D）而言，不在場時為0，在場時為1。列真值表：2024/1/2447.

ABCDY000000010010001101000101011001111000100110101011110011011