適用于新教材2023版高中數(shù)學課時素養(yǎng)檢測十四超幾何分布新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE十四超幾何分布(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知8件產(chǎn)品中有2件次品,從中任取3件,取到次品的件數(shù)為隨機變量,用ξ表示,那么ξ的取值為 ()A.0,1 B.1,2C.0,1,2 D.0,1,2,3【解析】選C.由已知,從8件產(chǎn)品中有2件次品,從中任取3件,取到次品的件數(shù)為隨機變量,可得隨機變量ξ的取值可以是0,1,2.2.從一副不含大小王的52張撲克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4張)中任意抽出5張,恰有3張A的概率是 ()A.C482C525 B.A482A525【解析】選C.設X為抽出的5張牌中含A的張數(shù),可知X服從超幾何分布,其中N=52,n=5,M=4,則PX=3=C3.有8件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取3件,若X表示取得次品的件數(shù),則PX≤1= (A.34 B.57 C.45 【解析】選B.根據(jù)題意,PX≤1=PX=0+PX=1=C53C834.已知5件產(chǎn)品中有2件次品,3件正品,檢驗員從中隨意抽取2件進行檢測,記取到的正品數(shù)為ξ,則數(shù)學期望E(ξ)為 ()A.45 B.910 C.1 【解析】選D.方法一:ξ可能取0,1,2,其對應的概率為P(ξ=0)=C22C52=110,P(ξ=1)=C21C31所以E(ξ)=0×110+1×610+2×310方法二:由題可知,ξ服從超幾何分布,故E(ξ)=2×35=65.有8名學生,其中有5名男生.從中選出4名代表,選出的代表中男生人數(shù)為X,則其數(shù)學期望E(X)= ()A.2 B.2.5C.3 D.3.5【解析】選B.隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5kC3所以,隨機變量X的分布列為X1234P1331隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×16.(多選題)下列隨機變量中,服從超幾何分布的有 ()A.拋擲三枚骰子,向上面的點數(shù)是6的骰子的個數(shù)XB.有一批種子的發(fā)芽率為70%,任取10顆種子做發(fā)芽試驗,試驗中發(fā)芽的種子的個數(shù)XC.盒子中有3個紅球、4個黃球、5個藍球,任取3個球,不是紅球的個數(shù)XD.某班級有男生25人,女生20人.選派4名學生參加學校組織的活動,班長必須參加,其中女生的人數(shù)X【解析】選CD.AB是重復試驗問題,服從二項分布,不服從超幾何分布,故AB不符題意;CD符合超幾何分布的特征,樣本都分為兩類,隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù),服從超幾何分布.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在含有3件次品的20件產(chǎn)品中,任取2件,則取到的次品數(shù)恰有1件的概率是.

【解析】由題意得:20件產(chǎn)品中,有3件次品,17件正品,故任取2件,恰有1件是次品的概率P=C31C171答案:518.一個袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的m個紅球和2m個白球m∈N*,從中任取3個球.記取出的白球個數(shù)為ξ,若Pξ=1=15,則m=,【解析】根據(jù)題意,取出的三個球中恰好有一個白球的概率為Pξ=1=C2m1Cm2C3m3=15,解得m=2;所以袋中有2個紅球,4個白球,Pξ=3=C43C63=15,所以Eξ=1×答案:22三、解答題(每小題10分,共20分)9.現(xiàn)有10張獎券,其中8張2元的、2張5元的,從中同時任取3張,求所得金額的分布列.【解析】設所得金額為X,則X的所有可能取值為6,9,12.P(X=6)=C83C20C103=715P(X=12)=C81C故X的分布列為X6912P77110.(2022·大同高二檢測)學校某社團招收新成員,需要進行一些專業(yè)方面的測試.現(xiàn)有備選題5道,規(guī)定每次測試都從備選題中隨機抽出2道題進行測試,至少答對1道題就被納入.每位報名的人員能否被納入是相互獨立的.若甲能答對其中的3道題,乙能答對其中的2道題.求:(1)甲、乙兩人至少一人被納入的概率;(2)甲答對試題數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.【解析】(1)設甲、乙兩人被納入分別為事件A,B,則P(A)=1-1C52=910,PB=1-則甲、乙兩人至少一人被納入的概率為1-PAB=1-1-9(2)依題意,X的所有可能取值為0,1,2,則PX=0=C22C52=110,PX=1=C21C3則X的分布列為X012P133所以甲答對試題數(shù)X的數(shù)學期望EX=0×110+1×35+2×310(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.一批產(chǎn)品共50件,次品率為4%,從中任取2件,則含有1件次品的概率為 ()A.0.078 B.0.78 C.0.0078 D.0.022【解析】選A.由于次品率為4%,故次品數(shù)為50×4%=2,正品數(shù)為50-2=48,故從中任取2件,含有1件次品的概率為C21C481C2.一個盒子里裝有大小相同的4個黑球和3個白球,從中不放回地取出3個球,則取出白球個數(shù)的數(shù)學期望是 ()A.47 B.97 C.127 【解析】選B.依題意,取出3個球中白球個數(shù)X為隨機變量,P(X=k)=C3kC43-kC73,k∈N,k≤3,X服從超幾何分布3.某地7個村中有3個村被評為“美麗鄉(xiāng)村”,現(xiàn)從中任意選3個村,下列事件中概率等于67的是 (A.至少有1個是“美麗鄉(xiāng)村”B.有1個或2個是“美麗鄉(xiāng)村”C.有2個或3個是“美麗鄉(xiāng)村”D.恰有2個是“美麗鄉(xiāng)村”【解析】選B.用X表示這3個村莊中的美麗鄉(xiāng)村數(shù),X服從超幾何分布,故PX=k=所以PX=0=C43PX=1=C42PX=2=C41PX=3=C40PX=1+PX=2=【補償訓練】一個班級共有30名學生,其中有10名女生,現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學校開展的某項活動,假設選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X,男生的人數(shù)為變量Y,則PX=2+P(Y=2)等于 (A.CB.CC.CD.C【解析】選C.由題得P(X=2)=C102C201C303,P(Y=2)=C101=C104.(多選題)下列隨機變量中,服從超幾何分布的有 ()A.在10件產(chǎn)品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,記取到的次品數(shù)為XB.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺,記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)C.一名學生騎自行車上學,途中有6個交通崗,記此學生遇到紅燈的個數(shù)為隨機變量XD.從10名男生、5名女生中選3人參加植樹活動,其中選出男生的人數(shù)記為X【解析】選ABD.依據(jù)超幾何分布模型的定義可知,試驗必須是不放回地抽取n次,A,B,D中隨機變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題,故隨機變量X不服從超幾何分布.二、填空題(每小題5分,共20分)5.李明參加青年志愿者選拔,在已知備選的10道題中,李明能答對其中的6道,規(guī)定考試從備選題中隨機地抽出3題進行測試,至少答對2題才能入選.則李明入選的概率為.

【解析】設所選3題中李明能答對的題數(shù)為X,則X服從參數(shù)為N=10,M=6,n=3的超幾何分布,且P(X=k)=C6kC故所求概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C62C41C103+答案:26.某學校實行綜合評價招生,參加綜合評價招生的學生從8個試題中隨機挑選4個進行作答,至少答對3個才能通過初試,已知在這8個試題中甲能答對6個,則甲通過初試的概率為;記甲答對試題的個數(shù)為X,則X的數(shù)學期望E(X)=.

【解析】依題意,甲能通過的概率為P(X=3)+P(X=4)=C21C63C84+由于PX=2=C22故E(X)=2×314+3×814+4×3答案:11147.設在15個相同類型的產(chǎn)品中有2個是次品,每次任取1個,共取3次,并且每次取出后不放回,若以ξ表示取出次品的個數(shù),則E(ξ)=.

【解析】由題意知,取出次品的個數(shù)ξ可能的值為0,1,2,所以P(ξ=0)=C20CPξ=1=C21C132C153=所以可得ξ的分布列為ξ012P22121則E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135答案:28.一個袋中裝有除顏色外其余完全相同的6個黑球和4個白球,現(xiàn)從中任取4個小球,設取出的4個小球中白球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的序號是.

(1)隨機變量X服從二項分布;(2)隨機變量X服從超幾何分布;(3)PX=2=3(4)EX=85【解析】由題意知隨機變量X服從超幾何分布,故(1)錯誤,(2)正確;隨機變量X的取值范圍為0,P(X=0)=C64C104=114,P(X=1)=C41C63P(X=3)=C43C61C104=435故E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=8答案:(2)(3)(4)三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2022·泰州高二檢測)某農(nóng)場生產(chǎn)的某批次20件產(chǎn)品中含有n(3≤n≤13)件次品,從中一次任取10件,其中次品恰有X件.(1)若n=3,求取出的產(chǎn)品中次品不超過1件的概率;(2)記f(n)=P(X=3),則當n為何值時,f(n)取得最大值?【解析】(1)記“取出的產(chǎn)品中次品不超過1件”為事件A,則P(A)=P(X=0)+P(X=1).因為PX=0=C30C1710C2010=所以P(A)=219+1538=則取出的產(chǎn)品中次品不超過1件的概率是12(2)因為fn=PX=3=C所以fn+1=C若fn+1fn=Cn+13C因為n∈N*,所以n≤5.故當3≤n≤5時,f(n+1)f(n)>1;當所以當n=6時,f(n)取得最大值.10.在一次運動會上,某單位派出了由6名主力隊員和5名替補隊員組成的代表隊參加比賽.(1)如果隨機抽派5名隊員上場比賽,將主力隊員參加比賽的人數(shù)記為X,求隨機變量X的數(shù)學期望;(2)若主力隊員中有2名隊員在練習比賽中受輕傷,不宜同時上場;替補隊員中有2名隊員身材相對矮小,也不宜同時上場,那么為了場上參加比賽的5名隊員中至少有3名主力隊員,教練員有多少種組隊方案?【解析】(1)由題可知X服從超幾何分布,X的可取值為0,1,2,3,4,5,故可得P(X=0)=