適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)十四超幾何分布新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE十四超幾何分布(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知8件產(chǎn)品中有2件次品,從中任取3件,取到次品的件數(shù)為隨機(jī)變量,用ξ表示,那么ξ的取值為 ()A.0,1 B.1,2C.0,1,2 D.0,1,2,3【解析】選C.由已知,從8件產(chǎn)品中有2件次品,從中任取3件,取到次品的件數(shù)為隨機(jī)變量,可得隨機(jī)變量ξ的取值可以是0,1,2.2.從一副不含大小王的52張撲克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4張)中任意抽出5張,恰有3張A的概率是 ()A.C482C525 B.A482A525【解析】選C.設(shè)X為抽出的5張牌中含A的張數(shù),可知X服從超幾何分布,其中N=52,n=5,M=4,則PX=3=C3.有8件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取3件,若X表示取得次品的件數(shù),則PX≤1= (A.34 B.57 C.45 【解析】選B.根據(jù)題意,PX≤1=PX=0+PX=1=C53C834.已知5件產(chǎn)品中有2件次品,3件正品,檢驗(yàn)員從中隨意抽取2件進(jìn)行檢測(cè),記取到的正品數(shù)為ξ,則數(shù)學(xué)期望E(ξ)為 ()A.45 B.910 C.1 【解析】選D.方法一:ξ可能取0,1,2,其對(duì)應(yīng)的概率為P(ξ=0)=C22C52=110,P(ξ=1)=C21C31所以E(ξ)=0×110+1×610+2×310方法二:由題可知,ξ服從超幾何分布,故E(ξ)=2×35=65.有8名學(xué)生,其中有5名男生.從中選出4名代表,選出的代表中男生人數(shù)為X,則其數(shù)學(xué)期望E(X)= ()A.2 B.2.5C.3 D.3.5【解析】選B.隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5kC3所以,隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1331隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×16.(多選題)下列隨機(jī)變量中,服從超幾何分布的有 ()A.拋擲三枚骰子,向上面的點(diǎn)數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)XB.有一批種子的發(fā)芽率為70%,任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn),試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)XC.盒子中有3個(gè)紅球、4個(gè)黃球、5個(gè)藍(lán)球,任取3個(gè)球,不是紅球的個(gè)數(shù)XD.某班級(jí)有男生25人,女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng),班長(zhǎng)必須參加,其中女生的人數(shù)X【解析】選CD.AB是重復(fù)試驗(yàn)問題,服從二項(xiàng)分布,不服從超幾何分布,故AB不符題意;CD符合超幾何分布的特征,樣本都分為兩類,隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù),服從超幾何分布.二、填空題(每小題5分,共10分)7.在含有3件次品的20件產(chǎn)品中,任取2件,則取到的次品數(shù)恰有1件的概率是.

【解析】由題意得:20件產(chǎn)品中,有3件次品,17件正品,故任取2件,恰有1件是次品的概率P=C31C171答案:518.一個(gè)袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的m個(gè)紅球和2m個(gè)白球m∈N*,從中任取3個(gè)球.記取出的白球個(gè)數(shù)為ξ,若Pξ=1=15,則m=,【解析】根據(jù)題意,取出的三個(gè)球中恰好有一個(gè)白球的概率為Pξ=1=C2m1Cm2C3m3=15,解得m=2;所以袋中有2個(gè)紅球,4個(gè)白球,Pξ=3=C43C63=15,所以Eξ=1×答案:22三、解答題(每小題10分,共20分)9.現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券,其中8張2元的、2張5元的,從中同時(shí)任取3張,求所得金額的分布列.【解析】設(shè)所得金額為X,則X的所有可能取值為6,9,12.P(X=6)=C83C20C103=715P(X=12)=C81C故X的分布列為X6912P77110.(2022·大同高二檢測(cè))學(xué)校某社團(tuán)招收新成員,需要進(jìn)行一些專業(yè)方面的測(cè)試.現(xiàn)有備選題5道,規(guī)定每次測(cè)試都從備選題中隨機(jī)抽出2道題進(jìn)行測(cè)試,至少答對(duì)1道題就被納入.每位報(bào)名的人員能否被納入是相互獨(dú)立的.若甲能答對(duì)其中的3道題,乙能答對(duì)其中的2道題.求:(1)甲、乙兩人至少一人被納入的概率;(2)甲答對(duì)試題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)設(shè)甲、乙兩人被納入分別為事件A,B,則P(A)=1-1C52=910,PB=1-則甲、乙兩人至少一人被納入的概率為1-PAB=1-1-9(2)依題意,X的所有可能取值為0,1,2,則PX=0=C22C52=110,PX=1=C21C3則X的分布列為X012P133所以甲答對(duì)試題數(shù)X的數(shù)學(xué)期望EX=0×110+1×35+2×310(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.一批產(chǎn)品共50件,次品率為4%,從中任取2件,則含有1件次品的概率為 ()A.0.078 B.0.78 C.0.0078 D.0.022【解析】選A.由于次品率為4%,故次品數(shù)為50×4%=2,正品數(shù)為50-2=48,故從中任取2件,含有1件次品的概率為C21C481C2.一個(gè)盒子里裝有大小相同的4個(gè)黑球和3個(gè)白球,從中不放回地取出3個(gè)球,則取出白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 ()A.47 B.97 C.127 【解析】選B.依題意,取出3個(gè)球中白球個(gè)數(shù)X為隨機(jī)變量,P(X=k)=C3kC43-kC73,k∈N,k≤3,X服從超幾何分布3.某地7個(gè)村中有3個(gè)村被評(píng)為“美麗鄉(xiāng)村”,現(xiàn)從中任意選3個(gè)村,下列事件中概率等于67的是 (A.至少有1個(gè)是“美麗鄉(xiāng)村”B.有1個(gè)或2個(gè)是“美麗鄉(xiāng)村”C.有2個(gè)或3個(gè)是“美麗鄉(xiāng)村”D.恰有2個(gè)是“美麗鄉(xiāng)村”【解析】選B.用X表示這3個(gè)村莊中的美麗鄉(xiāng)村數(shù),X服從超幾何分布,故PX=k=所以PX=0=C43PX=1=C42PX=2=C41PX=3=C40PX=1+PX=2=【補(bǔ)償訓(xùn)練】一個(gè)班級(jí)共有30名學(xué)生,其中有10名女生,現(xiàn)從中任選三人代表班級(jí)參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活動(dòng),假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X,男生的人數(shù)為變量Y,則PX=2+P(Y=2)等于 (A.CB.CC.CD.C【解析】選C.由題得P(X=2)=C102C201C303,P(Y=2)=C101=C104.(多選題)下列隨機(jī)變量中,服從超幾何分布的有 ()A.在10件產(chǎn)品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,記取到的次品數(shù)為XB.從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái),記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué),途中有6個(gè)交通崗,記此學(xué)生遇到紅燈的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量XD.從10名男生、5名女生中選3人參加植樹活動(dòng),其中選出男生的人數(shù)記為X【解析】選ABD.依據(jù)超幾何分布模型的定義可知,試驗(yàn)必須是不放回地抽取n次,A,B,D中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問題,故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.二、填空題(每小題5分,共20分)5.李明參加青年志愿者選拔,在已知備選的10道題中,李明能答對(duì)其中的6道,規(guī)定考試從備選題中隨機(jī)地抽出3題進(jìn)行測(cè)試,至少答對(duì)2題才能入選.則李明入選的概率為.

【解析】設(shè)所選3題中李明能答對(duì)的題數(shù)為X,則X服從參數(shù)為N=10,M=6,n=3的超幾何分布,且P(X=k)=C6kC故所求概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C62C41C103+答案:26.某學(xué)校實(shí)行綜合評(píng)價(jià)招生,參加綜合評(píng)價(jià)招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選4個(gè)進(jìn)行作答,至少答對(duì)3個(gè)才能通過初試,已知在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè),則甲通過初試的概率為;記甲答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為X,則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.

【解析】依題意,甲能通過的概率為P(X=3)+P(X=4)=C21C63C84+由于PX=2=C22故E(X)=2×314+3×814+4×3答案:11147.設(shè)在15個(gè)相同類型的產(chǎn)品中有2個(gè)是次品,每次任取1個(gè),共取3次,并且每次取出后不放回,若以ξ表示取出次品的個(gè)數(shù),則E(ξ)=.

【解析】由題意知,取出次品的個(gè)數(shù)ξ可能的值為0,1,2,所以P(ξ=0)=C20CPξ=1=C21C132C153=所以可得ξ的分布列為ξ012P22121則E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135答案:28.一個(gè)袋中裝有除顏色外其余完全相同的6個(gè)黑球和4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取4個(gè)小球,設(shè)取出的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的序號(hào)是.

(1)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布;(2)隨機(jī)變量X服從超幾何分布;(3)PX=2=3(4)EX=85【解析】由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布,故(1)錯(cuò)誤,(2)正確;隨機(jī)變量X的取值范圍為0,P(X=0)=C64C104=114,P(X=1)=C41C63P(X=3)=C43C61C104=435故E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=8答案:(2)(3)(4)三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2022·泰州高二檢測(cè))某農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)的某批次20件產(chǎn)品中含有n(3≤n≤13)件次品,從中一次任取10件,其中次品恰有X件.(1)若n=3,求取出的產(chǎn)品中次品不超過1件的概率;(2)記f(n)=P(X=3),則當(dāng)n為何值時(shí),f(n)取得最大值?【解析】(1)記“取出的產(chǎn)品中次品不超過1件”為事件A,則P(A)=P(X=0)+P(X=1).因?yàn)镻X=0=C30C1710C2010=所以P(A)=219+1538=則取出的產(chǎn)品中次品不超過1件的概率是12(2)因?yàn)閒n=PX=3=C所以fn+1=C若fn+1fn=Cn+13C因?yàn)閚∈N*,所以n≤5.故當(dāng)3≤n≤5時(shí),f(n+1)f(n)>1;當(dāng)所以當(dāng)n=6時(shí),f(n)取得最大值.10.在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上,某單位派出了由6名主力隊(duì)員和5名替補(bǔ)隊(duì)員組成的代表隊(duì)參加比賽.(1)如果隨機(jī)抽派5名隊(duì)員上場(chǎng)比賽,將主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望;(2)若主力隊(duì)員中有2名隊(duì)員在練習(xí)比賽中受輕傷,不宜同時(shí)上場(chǎng);替補(bǔ)隊(duì)員中有2名隊(duì)員身材相對(duì)矮小,也不宜同時(shí)上場(chǎng),那么為了場(chǎng)上參加比賽的5名隊(duì)員中至少有3名主力隊(duì)員,教練員有多少種組隊(duì)方案?【解析】(1)由題可知X服從超幾何分布,X的可取值為0,1,2,3,4,5,故可得P(X=0)=