高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專用）第06講 數(shù)列（學(xué)生卷）

第06講數(shù)列【【考點(diǎn)目錄】【【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列及其有關(guān)概念1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)a1表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示……，第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示．其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng)．注：數(shù)列的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n：數(shù)列{an}的第n項(xiàng)為an，an在數(shù)列{an}中的項(xiàng)數(shù)為n2.數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}．3.對(duì)數(shù)列概念的理解（1）數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無序性．因此，若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列．（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別．（3）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集和正整數(shù)集的有限子集.所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型含義按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有an＋1>an(n∈N*)遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有an＋1<an(n∈N*)常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)按其他標(biāo)準(zhǔn)周期數(shù)列一般地，對(duì)于數(shù)列{an}，若存在一個(gè)固定的正整數(shù)T，使得an＋T＝an恒成立，則稱{an}是周期為T的周期數(shù)列按其他標(biāo)準(zhǔn)有界(無界)數(shù)列任一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一正數(shù)的數(shù)列稱為有界數(shù)列，即?M∈R，|an|≤M，否則稱為無界數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的表示方法1．列表法列出表格來表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系．見下表：序號(hào)n123…n…項(xiàng)ana1a2a3…an…2．圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)列的圖象是一系列橫坐標(biāo)為正整數(shù)的孤立的點(diǎn)(n，an)．3．通項(xiàng)公式法如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．即,不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,也不是每一個(gè)數(shù)列都有一個(gè)個(gè)通項(xiàng)公式.數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)的表達(dá)式．注：通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．4．遞推公式法如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．注：常見數(shù)列的通項(xiàng)(1)1，2，3，4，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n.(2)2，4，6，8，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n.(3)3，5，7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.(4)2，4，8，16，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n.(5)－1，1，－1，1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n.(6)1，0，1，0，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).(7)a，b，a，b，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).(8)9，99，999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1.知識(shí)點(diǎn)4數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系1.把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系：則特別地，若a1滿足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，則不需要分段．知識(shí)點(diǎn)5數(shù)列的性質(zhì)（1）數(shù)列的單調(diào)性----遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))數(shù)列的周期性.根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和．注：由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．知識(shí)點(diǎn)6等差數(shù)列的有關(guān)概念1.等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.用遞推公式表示為或.注：(1)要注意概念中的“從第2項(xiàng)起”．如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列．(2)注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別．(3)等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：在公差為d的等差數(shù)列{an}中：①d＞0?{an}為遞增數(shù)列；②d＝0?{an}為常數(shù)列；③d<0?{an}為遞減數(shù)列.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；?當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)模型．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的幾何意義是點(diǎn)(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．②可以用來利用任一項(xiàng)及公差直接得到通項(xiàng)公式，不必求a1.③可用來由等差數(shù)列任兩項(xiàng)求公差．3.從函數(shù)角度認(rèn)識(shí)等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1－d

；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.4.等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng),其中.，，成等差數(shù)列.注：在等差數(shù)列{an}中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即{an}成等差數(shù)列?an＋1＋an－1＝2ann≥2.知識(shí)點(diǎn)7等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：對(duì)于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(2)等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(5)是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.提醒：判斷時(shí)易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件.知識(shí)點(diǎn)8等差數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：在等差數(shù)列中，對(duì)任意，，，；（2）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項(xiàng).（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差數(shù)列，公差為md(k，m∈N*)；（4）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列，{pan＋qbn}也是等差數(shù)列（5）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．（6）如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個(gè)原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．知識(shí)點(diǎn)9等差數(shù)列的前n和公式已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d注：（1）等差數(shù)列的前n和公式的推導(dǎo)對(duì)于一般的等差數(shù)列{an}，如何求其前n項(xiàng)和Sn？設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d.(倒序相加法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))兩式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq\f(na1＋an,2)，上述過程實(shí)際上用到了等差數(shù)列性質(zhì)里面的首末“等距離”的兩項(xiàng)的和相等．（2）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n?當(dāng)d≠0時(shí)，Sn關(guān)于n的表達(dá)式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式，即點(diǎn)(n，Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)．且d>0時(shí)圖象開口向上，d<0時(shí)圖象開口向下.（3）公式一反映了等差數(shù)列的性質(zhì)，任意第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首末兩項(xiàng)之和；知識(shí)點(diǎn)10等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列，公差為n2d；（2）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則S2n－1＝(2n－1)an；(中間項(xiàng))；②.等差數(shù)列中，,則,.注：在等差數(shù)列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)（4）若與為等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為與，則.（5）若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2)；知識(shí)點(diǎn)11等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)，時(shí)，有最大值(即所有非負(fù)項(xiàng)之和)；，時(shí)，有最小值(即所有非正項(xiàng)之和)；若已知，則最值時(shí)的值（）則當(dāng)，，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取最大值，當(dāng)，時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取最小值.(2)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n((為常數(shù),))，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最大值．當(dāng)n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值,通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)等，將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解.注：當(dāng)a1>0，d>0時(shí)Sn有最小值S1，當(dāng)a1<0，d<0時(shí)Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值時(shí)的n不一定唯一．知識(shí)點(diǎn)12等比數(shù)列有關(guān)概念1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：.注：(1)定義的符號(hào)表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定義強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”，因?yàn)榈谝豁?xiàng)沒有前一項(xiàng)；(3)比必須是同一個(gè)常數(shù)；(4)等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都不能為0；(5)公比可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)，但不能為0.2．等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通項(xiàng)公式還可以寫成，它與指數(shù)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列．注：（1）等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1，公比是q，則由定義可知eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．方法一an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a3,a2)×eq\f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．方法二a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…由此可得an＝a1qn－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立．由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則.3．等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)，即G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab．注：①只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)時(shí)，這兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).②在等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等比中項(xiàng)；③與等比數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于該項(xiàng)的平方，即在等比數(shù)列中，．④等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的異同，對(duì)比如下表：對(duì)比項(xiàng)等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項(xiàng)定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個(gè)數(shù)a與b的等差中項(xiàng)唯一a與b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)備注任意兩個(gè)數(shù)a與b都有等差中項(xiàng)只有當(dāng)ab＞0時(shí)，a與b才有等比中項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)13等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系1．當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，等比數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an是指數(shù)型函數(shù)f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)當(dāng)x＝n時(shí)的函數(shù)值，即an＝f(n)．2．任意指數(shù)型函數(shù)f(x)＝kax(k，a是常數(shù)，k≠0，a>0且a≠1)，則f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{kan}，其首項(xiàng)為ka，公比為a.注意點(diǎn)：(1)a1>0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(2)a1>0,0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(3)a1<0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(4)a1<0,0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(5)q＝1時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列；(6)q<0時(shí)，數(shù)列{an}為擺動(dòng)數(shù)列；奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同．知識(shí)點(diǎn)14等比數(shù)列的判定與證明證明等比數(shù)列的方法1．定義法：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q為不為0的常數(shù))；2．等比中項(xiàng)法：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；3．通項(xiàng)公式法：an＝a1qn－1.注：用定義法證明時(shí)，eq\f(an,an－1)和eq\f(an＋1,an)中的n的范圍不同知識(shí)點(diǎn)15等比數(shù)列的性質(zhì)在等比數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等比數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；注：若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．（2）在等比數(shù)列中，對(duì)任意，，； （3）在等比數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中項(xiàng).也就是：，如圖所示：.注：(1)性質(zhì)的推廣：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；(2)該性質(zhì)要求下標(biāo)的和相等，且左右兩側(cè)項(xiàng)數(shù)相同；(3)在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….(4)等比數(shù)列下標(biāo)為奇數(shù)的項(xiàng)正負(fù)相同，下標(biāo)為偶數(shù)的項(xiàng)正負(fù)相同；（4）若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．（5）在等比數(shù)列{an}中按序號(hào)從小到大取出若干項(xiàng)：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數(shù)列，那么是等比數(shù)列.（6）公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即，，，…成等比數(shù)列，且公比為.（7）等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列，當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)16等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)分與聯(lián)系(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列．(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)必成等差數(shù)列．(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列．?dāng)?shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．(4)如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng)，構(gòu)成什么樣的新數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)17等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n與公比q首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an與公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))注：（1）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比是q，如何求該等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和？思路一：因?yàn)镾n＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一項(xiàng)都乘等比數(shù)列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，發(fā)現(xiàn)上面兩式中有很多相同的項(xiàng)，兩式相減可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，當(dāng)q≠1時(shí)，有Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，而當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1.上述等比數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法，我們稱為“錯(cuò)位相減法”．思路二：當(dāng)q≠1時(shí)，由等比數(shù)列的定義得：eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝…＝eq\f(an,an－1)＝q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有eq\f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)＝eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q，eq\f(Sn－a1,Sn－an)＝q?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，該推導(dǎo)方法圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)出了公式，通過上述兩種推導(dǎo)方法，我們獲得了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的兩種形式，而這兩種形式可以利用an＝a1qn－1相互轉(zhuǎn)化．思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1?Sn＝a1＋q(Sn－an)?(1－q)Sn＝a1－anq，所以當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)或Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，顯然方程的思想在本次推導(dǎo)過程中顯示了巨大的威力，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使我們不拘泥于課本，又能使問題得到解決．（2）在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè).(和各已知三個(gè)可求第四個(gè)（3）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（4）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況.在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)的使用條件為q≠1，而當(dāng)q＝1時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1.（5）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征當(dāng)公比q≠1時(shí)，設(shè)A＝eq\f(a1,q－1)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，設(shè)A＝－eq\f(a1,1－q)，則Sn＝Aqn－A.）當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù).知識(shí)點(diǎn)18等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．注意點(diǎn)：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件的，即Sn≠0.注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比數(shù)列，證明如下：思路一：當(dāng)q＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q).S2n－Sn＝eq\f(a11－q2n,1－q)－eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn1－qn,1－q)，S3n－S2n＝eq\f(a11－q3n,1－q)－eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，而(S2n－Sn)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq\f(a11－qn,1－q)×eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．思路二：由性質(zhì)Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．2．{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)．注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.4．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：（1）在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；（2）在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).S奇＝a1＋qS偶．注：若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n項(xiàng)，則其偶數(shù)項(xiàng)和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數(shù)項(xiàng)和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間存在聯(lián)系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq\f(S偶,S奇)＝q.＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，從項(xiàng)數(shù)上來看，奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多了一項(xiàng)，于是我們有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．知識(shí)點(diǎn)19等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用1．解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．3．注意問題是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求．【【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一由前n項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式1．（2023秋·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知數(shù)列：，則是數(shù)列中的（

）A．第18項(xiàng) B．第19項(xiàng) C．第20項(xiàng) D．第21項(xiàng)2．（2023秋·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知一組數(shù)據(jù)2，5，10，17，26，…，按此規(guī)律可以得到第100個(gè)數(shù)為（

）A．9802 B．9991 C．10001 D．102023．（2023秋·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，，…的第2022項(xiàng)的值是（

）A．61 B．62 C．63 D．644．（2023秋·河南濮陽·高二統(tǒng)考期末）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則的值為（

）A．1225 B．1275 C．1326 D．13625．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）如圖三角形數(shù)陣：12

34

5

67

8

9

1011

12

13

14

15……按照自上而下，自左而右的順序，2021位于第i行的第j列，則______．6．（2023秋·黑龍江·高二黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)在生活中無處不在!學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界!1906年瑞典數(shù)學(xué)家科赫構(gòu)造了能夠描述雪花形狀的圖案，他的做法如下：從一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊，分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖①?②?③等）.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到雪花曲線.不妨記第個(gè)圖中的圖形的周長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式7．（2023春·陜西西安·高二期末）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023春·陜西渭南·高二期末）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．9．（2023春·安徽宿州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列10．（2023春·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三由遞推公式求通項(xiàng)公式11．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學(xué)期末）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．12．（2023春·海南·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足且，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列13．（2023秋·湖北·高二期末）在數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．14．（2023·全國·高二期末）數(shù)列中，，且，則數(shù)列的通項(xiàng)___________.15．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，則__________.考點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性與最值16．（2023秋·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項(xiàng)是第___________項(xiàng).17．（2023春·廣東深圳·高二紅嶺中學(xué)?？计谀┰跀?shù)列中，，，則數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為__________．18．（2023秋·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的數(shù)列的通項(xiàng)公式：___________．（1）是無窮等差數(shù)列；（2）數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；（3）數(shù)列的最小項(xiàng)有且僅有第5項(xiàng)．19．（2023秋·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足，且的取值范圍是___________.20．（2023春·上海黃浦·高二格致中學(xué)校考期末）若，且數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列或嚴(yán)格遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．考點(diǎn)五數(shù)列的周期性21．（2023春·陜西西安·高二期末）已知數(shù)列滿足，，則___________．22．（2023春·安徽六安·高二校考期末）在數(shù)列中，，且，則_______.23．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，則_____________．24．（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，，，，則_________．25．（2023春·天津·高二靜海一中校聯(lián)考期末）數(shù)列中，，則______考點(diǎn)六等差數(shù)列基本量的計(jì)算26．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，，，則___________27．（2023春·黑龍江綏化·高二?？计谀┮阎獢?shù)列{an}中，a3＝2，a1＝1，且數(shù)列是等差數(shù)列，則a11＝____．28．（2023春·河南·高二沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則______．29．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學(xué)期末）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則的公差______.30．（2023春·江蘇連云港·高二校考期末）我國古代《九章算術(shù)》一書中記載關(guān)于“竹九”問題：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，問五、六兩節(jié)欲均容各多少？意思是下三節(jié)容量和為4升，上四節(jié)容量和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻，問第五、六兩節(jié)容量分別是多少？在這個(gè)問題中，九節(jié)總?cè)萘渴莀_________.考點(diǎn)七等差數(shù)列的判定與證明31．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列滿足，且.(1)證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)令為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.32．（2023春·安徽六安·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足：．(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．33．（2023秋·河北·高二河北省文安縣第一中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)為3，且．(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．34．（2023秋·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，．(1)證明是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．考點(diǎn)八等差數(shù)列的性質(zhì)（一）與項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)35．（2023春·陜西渭南·高二期末）在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．14 B．15 C．16 D．836．（2023春·西藏拉薩·高二拉薩中學(xué)期末）已知等差數(shù)列滿足，則的值為（

）A．－3 B．3 C．－12 D．1237．（2023秋·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（

）A． B． C． D．與和有關(guān)的性質(zhì)38．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二中?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．39．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．40．（2023春·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰O(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．41．（2023春·海南·高二海南華僑中學(xué)?？计谀┰O(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．單調(diào)性與最值42．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）若等差數(shù)列{}滿足，則當(dāng){}的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n＝（

）A．7 B．8 C．9 D．1043．（2023春·湖北荊州·高二荊州中學(xué)期末）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為（

）A． B． C． D．44．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值45．（2023秋·福建廈門·高二廈門外國語學(xué)校校考期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，若數(shù)列滿足，則m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．2046．（2023秋·山東德州·高二校考期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則此數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)為（

）．A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．無法確定考點(diǎn)九等比數(shù)列基本量的計(jì)算47．（2023春·浙江杭州·高二?？计谀┮阎?xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．348．（2023秋·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．64 B．42 C．32 D．2249．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校校考期末）設(shè)為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的值為（

）A．64 B．63 C．127 D．12850．（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谀┮阎?xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A． B． C． D．51．（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B．16 C．32 D．考點(diǎn)十等比數(shù)列的判定與證明52．（2023春·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足.(1)當(dāng)時(shí)，數(shù)列是否是等比數(shù)列？給出你的結(jié)論并加以證明；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.53．（2023春·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.54．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求．55．（2023春·湖北荊州·高二荊州中學(xué)期末）在數(shù)列中，.(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)十一等比數(shù)列的性質(zhì)與項(xiàng)或和有關(guān)的性質(zhì)56．（2023春·陜西渭南·高二期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．7 B．9 C．81 D．357．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高二統(tǒng)考期末）設(shè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，，則公比（

）A． B． C．2 D．58．（2023秋·福建廈門·高二廈門外國語學(xué)校?？计谀┰谡?xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．459．（2023春·天津南開·高二南開中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的的值是(

)A． B． C． D．60．（2023秋·云南玉溪·高二統(tǒng)考期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（

）A． B． C． D．61．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第十一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．（二）等比數(shù)列中的最值(范圍)問題62．（2023春·山東濰坊·高二濰坊一中期末）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且數(shù)列的前n項(xiàng)乘積，n的最大值為（

）A．10 B．11 C．20 D．2163．（2023春·山西運(yùn)城·高二統(tǒng)考期末）公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿足，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．C．的最大值為D．考點(diǎn)十二數(shù)列求和及應(yīng)用分組(并項(xiàng))法求和64．（2023春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)期末）在等差數(shù)列中，，前12項(xiàng)的和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列為以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列前8項(xiàng)的和.65．（2023春·西藏拉薩·高二拉薩中學(xué)期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．66．（2023春·北京·高二北京八十中期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，再從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知，并完成解答.條件①：；條件②：；條件③：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.倒序相加法求和67．（2023春·江西九江·高二統(tǒng)考期末）德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（

）A．96 B．97 C．98 D．9968．（2023春·安徽六安·高二六安一中?？计谀┮阎瘮?shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則__________．69．（2023春·黑龍江雙鴨山·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，若，則S＝________.裂項(xiàng)相消法70．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.71．（2023春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．72．（2023秋·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）在①；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.問題：已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.73．（2023春·浙江·高二期末）已知數(shù)列滿足，.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.74．（2023秋·遼寧遼陽·高二遼陽市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，______，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的，，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．①；②；③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．錯(cuò)位相減法求和75．（2023春·陜西西安·高二期末）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．76．（2023春·陜西渭南·高二期末）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．77．（2023春·江蘇連云港·高二期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和78．（2023秋·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)校考期末）已知數(shù)列的遞推公式為.(1)求證：為等比數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（五）數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用79．（2023春·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長(zhǎng)50%.預(yù)計(jì)以后每年資金增長(zhǎng)率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費(fèi)資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費(fèi)資金后的剩余資金為萬元.(1)用x表示，，并寫出與的關(guān)系式；.(2)若企業(yè)希望經(jīng)過5年后，使企業(yè)剩余資金達(dá)3000萬元，試確定每年年底扣除的消費(fèi)資金x的值（精確到萬元）.80．（2023春·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）“綠水青山就是金山銀山”，中國一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享的發(fā)展理念，著力促進(jìn)經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國新能源汽車銷量占總銷量將達(dá)20%以上.2021年，某集團(tuán)以20億元收購某品牌新能源汽車制造企業(yè)，并計(jì)劃投資30億元來發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車的銷售量為10萬輛，每輛車的平均銷售利潤(rùn)為3000元．據(jù)專家預(yù)測(cè)，