華師一附中2024屆高三《圓錐曲線大題 每日一題》答案

第第頁(yè)華師一高三上每日一題（圓錐曲線）參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，設(shè)，由可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)又，由得，，聯(lián)立可得，即，，且，又，則，，，代入得，，解得.的取值范圍是.2．(1)(2)【分析】（1）法一：由焦距，得到，再根據(jù)過點(diǎn)求解；法二：，然后利用橢圓的定義求解；法三：易證，，再求得，然后利用橢圓的定義求解；（2）設(shè)直線的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，然后求得原點(diǎn)到的距離，法一：由，由，的面積最大求解；

法二：，利用基本不等式求解；然后由求解.【詳解】（1）法一解：由已知可得，，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，，解得，橢圓的方程為；法二解：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別是、，由已知可得，，則，，，，，橢圓的方程為；法三解：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別是、，由已知可得，，則因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，則，即，，，橢圓的方程為；（2）解：如圖所示：，設(shè)直線的方程為，，，將代入橢圓方程整理得，，

，由韋達(dá)定理得：，，異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，則，又原點(diǎn)到的距離為，法一：故，

，當(dāng)時(shí)，且，的面積最大

法二：故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，且，的面積最大..故，.3．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)離心率為，，即可計(jì)算得出，，求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用的坐標(biāo)可求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線方程可得，分別寫出和的面積表達(dá)式，解方程即可得.【詳解】（1）如下圖所示：

由題可知，可得，即；又離心率，所以，解得；所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知，又所以直線的斜率為，直線方程為；同理可得直線的斜率為，直線方程為；聯(lián)立直線與橢圓方程，消去整理可得；設(shè)直線分別交橢圓于點(diǎn)和點(diǎn)，易知，即可得；同理直線與橢圓方程，消去整理可得；即得，即可得；可得；所以直線的方程為，即，即直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),所以；此時(shí)的面積為；的面積為；又的面積為的面積的2倍，即，可得；解得，所以t的值為或.4．(1)(2)(3)共圓，證明過程見解析【分析】（1）利用離心率定義以及雙曲線中的關(guān)系式即可求得雙曲線方程；（2）設(shè)出，直線方程為，聯(lián)立方程，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)即可求得直線的方程；（3）假設(shè)、、、四點(diǎn)共圓，且圓心為，只需證的中點(diǎn)滿足即可得到、、、四點(diǎn)共圓.【詳解】（1）由題知，，又，則，所以，則雙曲線的方程為.（2）設(shè)，直線方程為，聯(lián)立得，又的中點(diǎn)為，所以，即，解得，此時(shí)滿足，故直線方程為.（3）假設(shè)、、、四點(diǎn)共圓，且圓心為，為圓的弦，圓心在垂直平分線上，又為圓的弦且垂直平分，圓心為中點(diǎn)，下面只需證的中點(diǎn)滿足即可.由，得，，由（1）得直線方程為，由，得，的中點(diǎn)，，,，，，即、、、四點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上.5．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）把給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出即得.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，再借助向量數(shù)量積求解即得.【詳解】（1）依題意，將點(diǎn)和的坐標(biāo)代入橢圓，得，解得，所以橢圓方程為（2）由（1）知，顯然點(diǎn)不在x軸上，設(shè)，，直線斜率分別為，直線的方程為，的方程為，由，消去得，顯然，于是，解得，則，由，消去得，顯然，于是，解得，則，因此，，則，則有為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi).6．(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由題設(shè)有，求出橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程；（2）討論直線l斜率存在性，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理得，，寫出直線，求P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)公式求出，判斷是否成立即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題意，解得，所以雙曲線C的方程為；（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由，得，,整理得，設(shè)，，所以，，所以，直線，所以，同理可得，記直線交x軸于點(diǎn)G，所以，又，所以，

當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，則，，所以，

所以A，P，F(xiàn)，Q四點(diǎn)共圓.7．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用距離公式結(jié)合已知條件化簡(jiǎn)可得出曲線的方程；（2）設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)、、，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，，結(jié)合平方差公式以及雙曲線的方程計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：由題意可得，整理可得.所以，曲線的方程為.（2）證明：如下圖所示：因?yàn)?，設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)、、，由可得，即，所以，，由可得，即，所以，，所以，，，所以，，即，所以，點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題使用向量方法得到若干方程后，將這些方程進(jìn)行整體處理，已達(dá)到消元的目的，這個(gè)方法比聯(lián)立方程的計(jì)算量要小，不失為一中巧妙的方法.8．(1)；(2)【分析】（1）設(shè)雙曲線，將點(diǎn)代入計(jì)算即可求解；（2）設(shè)，，求出m、n的表達(dá)式并分別聯(lián)立雙曲線方程，利用可得、，即是方程的解，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線，過點(diǎn)，代入坐標(biāo)可得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，所以，即，則，化簡(jiǎn)可得：，同理可得：；所以均是方程的解；所以，，，故.

9．(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)離心率，以及，結(jié)合，即可求得曲線方程；（2）求得直線不存在斜率時(shí)滿足的，當(dāng)斜率存在時(shí)，將所求問題，轉(zhuǎn)化為直線斜率之間的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程，求解即可.【詳解】（1）由題可得，故可得，則，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，對(duì)曲線，令，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，在三角形中，，故可得，則存在常數(shù)，使得成立；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，假設(shè)存在常數(shù)，使得成立，即，則一定有：，也即；又；；又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則，故；故假設(shè)成立，存在實(shí)數(shù)常數(shù)，使得成立；綜上所述，存在常數(shù)，使得恒成立.10．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，利用代入法進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線，，根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系得到，，再結(jié)合題目條件利用平面向量共線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化，可得到，從而解出.【詳解】（1）由拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸可知，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上，點(diǎn)和點(diǎn)也不可能同時(shí)在拋物線上，，兩點(diǎn)分別位于第二、四象限，這樣的拋物線不存在，所以拋物線只能過，，根據(jù)兩點(diǎn)位置可設(shè)，代入點(diǎn)，則，得，所以，拋物線過點(diǎn)，滿足題意．綜上，拋物線的方程為．（2）設(shè)直線，，根據(jù)題意可知：，且，聯(lián)立，得，則，同理聯(lián)立，得，則，由得，即，所以，即，整理得，又因?yàn)?，所以，由，得，?lián)立，所以，故.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由得到平面向量表達(dá)式.11．(1)(2)【分析】（1）先判斷焦點(diǎn)在x軸，再根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合即可.（2）設(shè)直線：，設(shè)，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)題意，，用表示，計(jì)算即可.【詳解】（1）依題的重心G在x軸的正半軸上，因?yàn)槿切蔚闹匦囊欢ㄔ谌切蝺?nèi)，則拋物線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)拋物線方程為：，當(dāng)時(shí)，，則，則拋物線方程為：.（2）依題知直線的傾斜角不為0，則設(shè)直線：，設(shè)，由，得，，則，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，，則，，當(dāng)時(shí)，重心G不會(huì)落在x軸上，所以，解得：，同理可得：，又，則，則該定值為12．(1)(2)是定值16．【分析】（1）由題意，根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線T上，點(diǎn)和點(diǎn)也不可能同時(shí)在拋物線T上，分別設(shè)拋物線的方程為和，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解；（2）設(shè)出直線AB的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出的表達(dá)式，同理得到的表達(dá)式，易知是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理得到和，將直線AB與拋物線聯(lián)立，利用結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于的表達(dá)式，同理得到關(guān)于的表達(dá)式，再代入式子進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn)，由對(duì)稱性，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線T上，點(diǎn)和點(diǎn)也不可能同時(shí)在拋物線T上，則拋物線只可能開口向上或開口向右，設(shè)，若過點(diǎn)，則，得，∴，拋物線過點(diǎn)，∴符合題意；設(shè)，若過點(diǎn)，則，得，∴，但拋物線不過點(diǎn)，不合題意．綜上，拋物線T的方程為．（2），設(shè)直線，即，由AB與圓相切得，∴，

設(shè)，同理可得，∴是方程的兩根，．聯(lián)立，消y得，∴，同理，∴所以為定值16．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，強(qiáng)化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．13．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線的方程求出的長(zhǎng)，再由求出的值；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理結(jié)合三點(diǎn)共線可求出，同理求出，由向量的數(shù)量積求出，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，所以，，所以，，，所以橢圓的方程為.（2）證明：由（1）可知：，，設(shè)，，，，顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)為.由得：，，，.，，三點(diǎn)共線，.同理：，，，故，即：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．14．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用拋物線過的點(diǎn)求拋物線方程；（2）方法一：利用導(dǎo)函數(shù)求出拋物線的切線方程，再根據(jù)韋達(dá)定理以及三角形的全等關(guān)系證明，方法二：利用導(dǎo)函數(shù)求出拋物線的切線方程，再根據(jù)韋達(dá)定理以及兩點(diǎn)間的距離該公司證明.【詳解】（1）由題意知，將代入，解得，所以當(dāng)與軸垂直時(shí)，，所以，故拋物線的方程為．（2）

證明：法一：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，所以，，．對(duì)求導(dǎo)，得，所以，所以．由得所以．當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性得，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，即．綜上，．法二：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，所以