高三高考數(shù)學總復習《立體幾何》題型歸納與匯總

分別為，的中點.（1）求證：平面.（2）求證：平面平面.（3）求三棱錐的體積.【答案】見解析【解析】（1）依題意，，分別為，的中點，則是的中位線，所以，平面，平面，故平面.（2）因為在中，，且為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面.（3）由（2）知，平面，所以【易錯點】定理證明所用知識點不清楚【思維點撥】證明幾何體中的線面平行與垂直關(guān)系時,要注意靈活利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,抓住其中的平行與垂直關(guān)系.例2如圖所示，在三棱錐中，，，，，為線段的中點，為線段上一點．（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）當平面時，求三棱錐的體積．【答案】見解析【解析】（1）因為，，，所以平面.又因為平面，所以.（2）因為，，為線段的中點，所以在等腰中，.又由（1）可知，，所以平面.由為線段上一點，則平面，所以又因為平面，所以平面平面.（3）當平面時，平面,且平面平面,可得.由是邊的中點知，為邊的中點.故而，，因為平面，所以平面.由，，為邊中點知，又，有，即因此，.【易錯點】注意體積幾何證明題條件的嚴謹性【思維點撥】證明幾何體中的線面平行與垂直關(guān)系時,要注意靈活利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,抓住其中的平行與垂直關(guān)系.掌握線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用及其體積的求解方法.題型三幾何體的外接球問題例1（1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個球的表面積是（）A．B．C．D．（2）若三棱錐的三個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.【答案】C；【解析】（1），，，，選C；（2），【易錯點】外接球球心位置不好找【思維點撥】應(yīng)用補形法找外接球球心的位置題型四立體幾何的計算例1如圖,已知三棱錐的底面是直角三角形,直角邊邊長分別為和,過直角頂點的側(cè)棱長為,且垂直于底面,該三棱錐的主視圖是 ()【答案】【解析】顯然由空間直角坐標系可知,該幾何體在面內(nèi)的點保持不動,在軸上的點在面內(nèi)的射影為坐標原點,所以該幾何體的主視圖就是其在面面的表面圖形,即主視圖應(yīng)為高為,底面邊長為的直角三角形．故選.【易錯點】該題易出現(xiàn)的問題是誤以為軸上的點在面的射影落在軸的正半軸上而誤選,【思維點撥】判斷幾何體的三視圖應(yīng)注意以下幾個方面：（1）明確幾何體的放置位置和角度,注意投影線和投影面；（2）準確把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征,特別是幾何體中的線面垂直關(guān)系等；（3）注意實線和虛線的區(qū)別.【鞏固訓練】題型一立體幾何的證明1.如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,,點在線段上,且,為的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面,求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）∵為的中點,∴,∵底面為菱形,,∴,∵,∴平面.（2）∵,∴,∵平面平面,平面平面,,∴平面,∴,∴.∵平面,∴平面.∵,∴.2.如圖,在直三棱柱中,是的中點.（1）證明：平面；（2）若,求證：.【答案】見解析.【解析】證明：（1）如圖,連接,交于點,連結(jié).據(jù)直三棱柱性質(zhì)知四邊形為平行四邊形,所以為的中點.又因為是的中點,所以.又因為平面,平面,所以平面.（2）因為,為的中點,所以.據(jù)直三棱柱性質(zhì)知平面,又因為平面,所以.又因為,平面,所以平面,又因為平面,所以,即.題型二立體幾何體積求解如圖所示，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點，，為的中點.（1）證明平面；（2）求四面體的體積．【答案】（1）（2）．【解析】（1）取中點，連接、，因為是中點，，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形.所以.又平面，平面，所以平面.(2)由(1)平面.所以.所以.2.如圖所示，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，.（1）證明：直線平面；（2）若面積為，求四棱錐的體積.【答案】（1）（2）．【解析】（1）在平面內(nèi)，因為，所以.又平面，平面，故平面.（2）取的中點，聯(lián)結(jié)，.由，及，，得四邊形為正方形，則.因為側(cè)面是等邊三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因為平面，所以平面.因為平面，所以.設(shè)，則，，，.取的中點，聯(lián)結(jié)，則，所以.因為的面積為，所以，解得（舍去），，于是，，.所以四棱錐的體積.題型三幾何體的外接球問題在正三棱錐中，分別是棱的中點，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是.【答案】【解析】正三棱錐的對棱互垂直。證明如下：如圖（3）-1，取的中點，連接，交于，連接，則是底面正三角形的中心，平面，，，，，平面，，同理：，，即正三棱錐的對棱互垂直，本題圖如圖（3）-2，，，，，平面，，，，，平面，，故三棱錐的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，，即，正三棱錐外接球的表面積是在四面體中，，則該四面體的外接球的表面積為（）【答案】D【解析】在中，，，的外接球直徑為，，，選D3.一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為.【答案】【解析】解：設(shè)正六邊形邊長為，正六棱柱的高為，底面外接圓的關(guān)徑為，則，底面積為，，，，，球的體積為4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線及粗虛線畫出的某多面體的三視圖,則該多面體外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)三視圖，還原原圖如圖所示，為棱中點，根據(jù)幾何體判斷解得該幾何體外接球的表面積為，故選D題型四立體幾何的計算1.一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A.B.C.D.【答案】【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，設(shè)正方體棱長為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為．故選D.2.一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）.A．B．C．D．【答案】【解析】由該幾何體的三視圖，在長為2，寬為1，高為1的長方體中還原其立體圖形，如圖所示.由圖及三視圖中所給的數(shù)據(jù)可知，與為等腰直角三角形，與為等邊三角形，，所以四面體的表面積為.故選C.3.一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）.A.B.C.D.【答案】【解析】由三視圖可知,半球的半徑是，體積為,四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選C.4.已知正三棱錐的主視圖、左視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出左視圖的面積．【答案】(1)見解析(2)6【解析】（2）如圖所示．（2）根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得,∴左視圖中,∴.新課程標準的內(nèi)容與現(xiàn)形課標內(nèi)容的對比如下表：必修課程主題學分課時包含的內(nèi)容與現(xiàn)形課標的對照，在現(xiàn)形課標中的位置與現(xiàn)形課標對比，內(nèi)容的不同主題一（預(yù)備知識）819集合A版：必修1第一章1.1節(jié)考查知識點基本不變B版：必修1第一章全部內(nèi)容考查知識點基本不變常用邏輯用語（與A版內(nèi)容較接近）A版：選修2-1第一章1.1節(jié)，1.2節(jié)，1.4節(jié)基本不變B版：選修2-1第一章1.1節(jié)，1.3節(jié)新課標增加了全稱量詞與存在量詞一元二次函數(shù)、方程和不等式（與B版內(nèi)容接近）A版：必修1第二章2.3節(jié)中與冪函數(shù)有關(guān)的一元二次函數(shù)提了出來必修5第二章3.1節(jié)，3.2節(jié)，3.4節(jié)中關(guān)于不等式的知識知識點基本不變不等式與現(xiàn)形課標相比少了二元一次不等式及線性規(guī)劃B版：必修1第二章2.2節(jié)中的2.2.2，2.2.3中的一元二次函數(shù)知識必修5第三章3.1節(jié)，3.2節(jié)，3.3節(jié)，3.4節(jié)中的不等式知識基本不變主題二（函數(shù)及應(yīng)用）54函數(shù)概念與性質(zhì)（與A版內(nèi)容接近）A版：必修1第一章1.2節(jié)，1.3節(jié)基本不變；函數(shù)的性質(zhì)并入了三角函數(shù)來了解函數(shù)的周期性B版：必修1第二章2.1節(jié)增加了函數(shù)的最值與周期性冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)（與A版內(nèi)容接近）A版：必修1第二章2.1節(jié)，2.2節(jié)，2.3節(jié)基本不變B版：必修1第三章3.1節(jié)，3.2節(jié)，3.3節(jié)基本不變?nèi)呛瘮?shù)（與A，B版內(nèi)容相差不大）A版：必修4第一章全部內(nèi)容及第三章全部內(nèi)容基本不變B版：必修4第一章全部內(nèi)容及第三章全部內(nèi)容基本不變函數(shù)綜合應(yīng)用（與A版內(nèi)容接近）A版：必修1第三章全部內(nèi)容基本不變B版：必修1第二章2.3節(jié)，2.4節(jié)增加了函數(shù)模型主題三（幾何與代數(shù)）44平面向量及應(yīng)用（與A，B版相差不大）A版：必修4第二章全部內(nèi)容基本不變B版：必修4中第二章全部內(nèi)容基本不變復數(shù)（與A版內(nèi)容接近）A版：選修2-2第三章全部內(nèi)容增加了選學內(nèi)容“復數(shù)的三角表示”B版：選修2-2無教材立體幾何初步（與B版內(nèi)容接近）A版：必修2第一章全部內(nèi)容及第二章全部內(nèi)容基本不變B版：必修2第一章全部內(nèi)容基本不變主題四（統(tǒng)計與概率）18統(tǒng)計（與A,B版內(nèi)容相差不多）A版：必修3第二章2.1節(jié)，2.2節(jié)基本不變；知識點統(tǒng)計圖表中加入了“梳理義務(wù)教育階段學過的統(tǒng)計圖表”B版：必修3第二章2.1節(jié)，2.2節(jié)基本不變概率（與A,B版內(nèi)容相差不多）A版：必修3第三章全部內(nèi)容基本不變B版：必修3第三章3.1節(jié)，3.2節(jié)，3.4節(jié)基本不變主題五（數(shù)學建模與數(shù)學探究）5數(shù)學建模與數(shù)學探究要求學生完成一個課題研究，包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)。學生需要撰寫開題報告，根據(jù)選題內(nèi)容，報告可以采用專題作業(yè)、測量報告、算法程序、制作的實物或研究論文等多種形式。在課題研究中逐步提升數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、邏輯推理和直觀想象靜養(yǎng)。數(shù)學探究、數(shù)學建模、數(shù)學文化是貫穿于整個高中數(shù)學課程的重要內(nèi)容，這些內(nèi)容不單獨設(shè)置，滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中。選修1主題一（函數(shù)及應(yīng)用）632數(shù)列（與A版內(nèi)容接近）A版：必修5第二章全部內(nèi)容增加了“數(shù)學歸納法”B版：必修5第二章全部內(nèi)容增加了“數(shù)學歸納法”一元函數(shù)導數(shù)及應(yīng)用（與A版內(nèi)容接近）A版：選修2-2第一章全部內(nèi)容刪掉了“生活中的優(yōu)化問題舉例”這一知識點微積分的創(chuàng)立與發(fā)展沒有提到通過實例。B版：選修2-2無教材主題二（幾何與代數(shù)）42空間向量與立體幾（與B版內(nèi)容接近）A版：選修2-1第三章全部內(nèi)容基本不變；用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面距離問題這一知識點中加入了“能用框圖描述解決這一類問題的思路”B版：選修2-1第三章全部內(nèi)容同上平面解析幾何（與A，B版內(nèi)容相差不多）A版：必修2第三章全部內(nèi)容及第四章全部內(nèi)容選修2-1第二章全部內(nèi)容基本不變B版：必修2第二章2.2節(jié)，2.3節(jié)選修2-1第二章全部內(nèi)容基本不變主題三（統(tǒng)計與概率）26計數(shù)原理（與A版內(nèi)容接近）A版：選修2-3第一章全部內(nèi)容基本不變B版：選修2-3全部內(nèi)容基本不變統(tǒng)計與概率（與A版內(nèi)容接近）A版：選修2-3第二章全部內(nèi)容、第三章全部內(nèi)容及必修3第二章2.3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系概率中“正態(tài)分布與超幾何分布”要通過具體實例分析B版：選修2-3第二章全部內(nèi)容、第三章全部內(nèi)容及必修3第二章2.3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系同上主題四（數(shù)學建模與數(shù)學探究）4數(shù)學建模與探究要求學生完成一個課題研究，也可以在必修“數(shù)學建?；顒印被颉皵?shù)學探究活動”所作的研究基礎(chǔ)上繼續(xù)進行深入探究。按照必修部分的要求，完成開題、做題、結(jié)題的過程。如果選題不變，需要在研究報告中說明與必修研究的差異，深入研究所得到的新思路、新方法、新結(jié)果。選修2A2.5微積分A版：選修2-2第一章1.6節(jié)，1.7節(jié)內(nèi)容的拓展、深化及部分增加內(nèi)容增加了數(shù)列極限，函數(shù)極限等少量內(nèi)容，內(nèi)容劃分的比較細，B版：缺少相對應(yīng)內(nèi)容的教材2空間幾何與代數(shù)A版：選修4-2矩陣與變換及部分增加內(nèi)容有少量新加內(nèi)容內(nèi)容劃分的比較細，B版：選修4-2矩陣與變換及部分增加內(nèi)容有少量新加內(nèi)容內(nèi)容劃分的比較細，1.5統(tǒng)計與概率A版：選修2-3第二章與第三章內(nèi)容的拓展、深化內(nèi)容進行了拓展、深化B版：選修2-3第二章與第三章內(nèi)容的拓展、深化內(nèi)容進行了拓展、深化B2微積分A版：選修2-2第一章1.6節(jié)，1.7節(jié)內(nèi)容的拓展、深化及部分增加內(nèi)容內(nèi)容進行了拓展、深化及少量新加內(nèi)容B版：選修2-2第一章1.6節(jié)，1.7節(jié)內(nèi)容的拓展、深化及部分增加內(nèi)容內(nèi)容進行了拓展、深化及少量新加內(nèi)容1空間向量與代數(shù)A版：選修4-2矩陣與變換及部分增加內(nèi)容有少量新加內(nèi)容B版：選修4-2矩陣與變換及部分增加內(nèi)容有少量新加內(nèi)容2應(yīng)用統(tǒng)計A版：選修2-3第二章、第三章內(nèi)容的拓展、深化及少量新加內(nèi)容內(nèi)容進行了拓展、深化及少量新加內(nèi)容B版：選修2-3第二章、第三章內(nèi)容的拓展、深化及少量新加內(nèi)容內(nèi)容進行了拓展、深化及少量新加內(nèi)容1模型不能與某一知識點對應(yīng)不能與某一知識點對應(yīng)C2邏