連云港2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中調(diào)研考試

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期中調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

錘子數(shù)學(xué)解析

注意事項：

1.考試時間120分鐘，試卷滿分150分.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

3.請用2B鉛筆和0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上指定區(qū)域內(nèi)作答.

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知集合/={x|x>0},8={x|xWl},則/U8=

A.{x|x>。}B.{x|x41}C.{x[0<x41}D.R

【答案】D

【解析】4={x|x〉0},B={x|x<l),<U8=R，選D.

2.已知復(fù)數(shù)二滿足（二-2）i=l+i,則復(fù)數(shù)二的模為

A.&B.VsC.VioD.273

【答案】C

【解析】二一2=7+1,則二=3—i，目=而，選C.

3.設(shè)x,yeR,貝U“k+lrx+y”的充要條件是

A.不都為1B.x,歹都不為1C.X,)?都不為0D.x,y中至多有一個是1

【答案】B

【解析】xy+\^x+yoxy+\-x-y^0ox(y-1)一(y-1)*0

="一1)(歹一1)。0=為,)，髀為1,選13.

-------------------------------------------------------------------七數(shù)字考茂T

4.已知公差不為0的等差數(shù)列的第2,3,6項依次構(gòu)成一個等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比是

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】生，。3，。6成等比數(shù)列，=%。6，；?(%+2")2=(4+〃)(《+5"),

d=-2a],4=—t7|,ctj=_3q,4=-9q,q=3,選C

5.已知同=1,卜百，a+A=(V3,l),則4+A與"白的夾角為

A.60°B.120°C.45°D.135°

【答案】B

【解析】卜+閘=2,(a+b)2=a2+2a-b+b2=\+2a-b+3=4,:.a-b=0

邛一邛=/—2￡7+7=4,即忖一.=2,0+力0—方=/一"一2

:.cos(a+b,a-b}=—^-=一2，.?.夾角為120。，選B.

'/2x22

6.已知sin(2a—萬)=—3sinQ，且a-夕工工+左乃,?*—，其中AeZ則網(wǎng)"3=

22tana

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】sin(2a-fl)=-3sinJ3，則sin(a+a-/?)=-3sin[a-(二一夕)]

sinacos(a-")+cosasin(a一6)=一3[sinacos(a-)-cosasin(a-/?)]

tanor+tan(a->?)=-3tancz+3tan(a-/3),4tana=2tan(a-〃)

即日二2=2,選B

tana

7當(dāng)把一個任意正實數(shù)N表示成N=ax10"(l4a<10,〃€Z)的時候就可以得出正實數(shù)N

的位數(shù)是〃+1,如：235=2.35x102,則235是f3位數(shù)利用上述方法，判斷18和的位數(shù)

是(參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3010,lg3?0.4771)

之箜子勃學(xué)冊究

A.61B.62C.63D.64

【答案】C

【解析】lg1850=501g18=50(lg2+3Ig2)=50(0.3010+2x0.4771)*62.76

1850=1061W=10°76X1062,10O76e(l,10),，1爐°是63位數(shù)，選C.

8.已知。=5m\,6=，,。=1111.1,貝?。?/p>

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】x>0時，sinxvx,.,.sin(<A,即a<6,排除D

\nx>\--，錘子數(shù)學(xué)當(dāng)且僅當(dāng)x>l時取“="，,.上〉。，

X1.111

:.a<b<c，選A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)二=1+@i,則

22

A.z2+r=0B.zz=1C?d+二+1=0D.z3+1=0

【答案】ABD

【解析】二2=二+金二二一g,.?.=2+三=0,A對.

2222

-(173.Y1豆13.2,

二二二2又寸.

〔—2I21人-2------2---1J=-4------4-1=1,B

-2+z+l=--+—i+-+—i+l=l+73i*0,C錯.

2222

:3=y二=j」+巫,卜+幻=/二=_[,即二'+1=0,D對，

[22人22J44

選ABD.震子物學(xué)歷究

10.已知a和￡都是銳角,向量a=(cosa,sina),A=(sin/?,cos/?),c=(l,0),則

A.存在a和P,使得

B.存在a和4，使得a〃6

C.對于任意的a和月，都有|。一.<JI

D.對于任意的a和/?,都有“?bca-c+b-c

【答案】BC

【解析】ab=cosasinp+sinacos^0=sin(a+/?)

???a,4都是錘子數(shù)學(xué)銳角，即a,"e(0,、1,則a+/7e(07),sin(a+")x0,

：.ab^0,即。與石不垂直,A錯

--1

aHbocosacos/?=sinasin/?otana=-------

tan.

TT

當(dāng)a+/?=1時滿足條件，B對.

(q—I)?=Q~+片_2Q?B=2—2cos(a+4)w(0,2)

.-.|a-^|<^2,C51寸.

—?_?—?—?共木—,—?

a-c+b-c=cosa+sinp,a=一,6=一時,a-b=\,cosa+sin6=1

36

此時71=￡?[+]?1,口錯，選BC

H,已知曲線/*)=$3+——以在點p(&J(xJ)處的切線為4,則

4

人.當(dāng)。=0時，/(幻的極大值為:

B.若益=1,4的斜率為2,則。=1

C.若/(x)在R上單調(diào)遞增,則

鏤子洌學(xué)研究

D.若存在過點尸的直線/2與曲線/(X)相切于點J(W))，則演+2方=3

【答案】AB

2

【解析】4=0,/(x)=$3+x2,f'(x)=x+2X=Q,x=-2或0

在(一8,-2)/,(-2,0)\,(0,+8)/,/(x)極大林=/(-2)=g,A對

f'(x)=x2+2x-a,/'(I)=3-4=2，:.a=l,B對.

/(x)在R上/o/'(x)20在R上錘子數(shù)學(xué)恒成立。4+4。400。4一1,C錯

切線經(jīng)過點尸卜+x：

2

+xj-ax,-+x；-")=(x；+2X|一a)(x,-x2)

(X[-巧)(玉+2X2+3)=0,$h々時，X]+2X2=-3,D錯，選AB.

對于D(秒殺)，W2：y=kx+m,由/?與〃x)切于。，

y=kx+ni

聯(lián)立，13,=>—x3+x2-(a+k)x-m-0

y=-x+x-ax3

由韋達(dá)定理知X]+2x?=—j-=—3,D錯.

3

12.已知函數(shù)f(x)的定義域是R,函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，/(2x-1)+1是奇函數(shù)，則

A./(0)=-1

B./(1)=-1

C.4是函數(shù)/(x)的一個周期

＜夔子物學(xué)冊究

D.函數(shù)/*)的圖象關(guān)于直線x=9對稱

【答案】BC

【解析】/(x)是偶函數(shù)關(guān)于)，軸對稱，y=/(2x-l)+l是奇函數(shù)關(guān)于(0,0)對稱

則^=/(2x-l)關(guān)于(0,-1)對稱，則^=/(7一1)關(guān)于(0,-1)對稱，

則》=/")關(guān)于(TT)對稱，即/(x)關(guān)于(-1,-1)對稱,BP/(-l)=-l

?-./(!)=-?.B對，A錯

—=0+1=1,.'.T=4,C對.

4

x=1不是〃x)的對稱?由，貝Ux=9不是/")的錘子數(shù)學(xué)對稱軸，D錯，選BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知。>0,b>0，且。+!=1,則2的最小值是__________.

ba

【答案】4

1b-\bb2(r+1)21_.

【解析】=￡an=4.

?=1-7T--'a=b-rz=，+產(chǎn)4,即

bb5min

14.已知函數(shù)/(x)=sin,且關(guān)于X的方程/(x)=a(aeR)在區(qū)間上有兩

個不同的解，則。的取值范圍是

5-1)

【答案】

0<A:<—，貝!J工W2x+衛(wèi)V］才，a￡

【解析】時，/(x)=a有兩個不同的解

2666

15.已知數(shù)列｛q｝的通項公式(=10〃-2",前〃項和是S“，對于,都有S.4S*,

貝!.

【答案】5

【解析】方法一：5?=〃")*)-2,J")=5〃(〃+1)-2(20-1)

21—2

n+lfl

sn+i-sn=5(〃+1)(〃+2)-5〃(〃+l)-2(2-l)+2(2-l)名鏈子勃學(xué)研究

=5(n+1)2-2"+,=2[5(n+1)-2n]

〃44時，Sn+1-S?>0；〃>5時，Sn+1-Sn<0,：.k=5.

方法二：〃45時，>0,〃N6時，a“<0

?”=5時，S”取最大值，即〃=5

16.10世紀(jì)阿拉伯天文學(xué)家阿爾?庫希設(shè)計出一種方案，通過兩個觀察者異地同時觀測同一顆

小天體來測定小天體的高度如圖，有兩個觀察者在地球上48兩地同時觀測到一顆衛(wèi)星S,

仰角分別為NS/M和(M4,A四表示當(dāng)?shù)氐乃骄€，即為地球表面的切線)，設(shè)地球

半徑為R，弧的長度為qA,ZSAM=30°,NS8M=45°,則衛(wèi)星S到地面的高度為

??.ZSAB=ZSAM+ZBAM=6(T,NSBA=4sBM+/MBA=75°

??.NS=45。，△0/3為正三角形，AB=R

.?.絲=《,：.SB=—R,ASBO中，NS80=135°

73422

T~T

SO2=R2+-R2-2-/?--"I=-R2+y[3R2=5+2-■R2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在200人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們1年中的感冒記錄與另外200

名未用血清的人的感冒記錄進(jìn)行比較，結(jié)果如下表所示.

問：是否有90%的把握認(rèn)為該種血清對預(yù)防感冒有作用？

未感冒感冒

使用血清13070

未使用血清11090

P(K2>k)0.100.0100.001

k2.7066.63510,828

附心訴黑蕊E

【解析】

2x2列聯(lián)表如下：

未感冒感冒總計

使用血清13070200

未使用血清11090200

T)震子物學(xué)研究

總計240160400

.入幽3里2*167>

200x200x240x160

,有90%的錘子數(shù)學(xué)把握.

18.(12分)在△48。中，48=4,AC=3

(1)若cosC=-l,求△/8C的面積；

(2)若4=28,求BC的長

【解析】

(1)在4/18。中，a2+b2-2abcosC=c2,+9-2。?3(T)

=16

2

=>2a+3a-14=0,(2a+7)(a-2)=0r.\a=2

.「—后.G102后3屆

smC=-^―(=-x2x3x—^―=—^―.

cb43

/))在A4RCeta一一>一

sinCsin8sin(萬一38)sin5

4sin353sinB-4sin3B_42n

n—=-----=--------------=3-4sirrB

3sin8sinB

sinB=m^cosJ=cos2B=1-2sin2B=1-2x—=—

6126

9+16-2x3x4x1=721.

BC=q

6

19.(12分)已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足4%…％=(0)4,｛6,｝為等比數(shù)列，且2=4,

"-d=8

(1)求4與b.；

(2)設(shè)g=也，求數(shù)列匕,｝的前〃項和S,,.二t錘子數(shù)學(xué)研究

【解析】

A

(1),.,ala2---a?=(V2)",①

〃22時，,q%…4-i=(&)*，②

出=>?！?(&)"%=>q=(?J=16

②

；%>°，，｛%｝公比q=5=2,?.?%=4?2”2=2"

：.b?-b.=In，而q=(應(yīng),=>b.=2

ad=4

=6

-/:>2數(shù)學(xué)各式左右相加nb“—bi=（+"?（"）=〃2+〃_2

?

6■=2

”M

?-

I2

也

〃

-+〃

綜上：an=2",bn=n'+n

(2)C“=2""+〃)=(〃+1).2",

n

5?=2-2'+3-22+4-23+???+/?-2n4+(n+l)-2",①

2S?=2-22+3-23+???+(?-l)-2^+/?-2,,+(n+l)-2n+),②

23nn+1

(i)-(5)=>-Sn=4+2+2+--+2-(w+l)-2

=4+與三2一(〃+1)2"+|=一〃.2'用

n+l

：.Sn=n-2.

20.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，E41平面ABCD,PB與底面,48C。所成角

為45°,四邊形力8co是梯形，AD1AB,BC//AD,AD=2,PA=BC=\.

(1)證明：平面P4C1平面PCO;

<錘子一學(xué)研究

(2)若點7是的中點，點M是P7的中點，求點P到平面的距離

M

D

【解析】

(1平面Z8CO,P6與底面所成角錘子數(shù)學(xué)為45。

：.Z.PBA=M°,：.PA=AB=\,.-.CD=y[2=AC，又2

CA2+CD2=AD2^CDIAC,又由PA1平面ABCDPALCD

PA[}AC=A,.?.CO1平面E4C,又???COu平面PC。，，平面P/C_L平面PC。

(2)如圖建系，.?.40,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),￡>(0,2,0),P(0,0,1)

n-AM=0—x-J—y—-=0-/八-_

=>s44,2=>/?=(0,2,-3)

n-AB=Qx=0

—■\AP-n\33M

ZP=(0,0,1)一到平面的距離〃=匚"=*=誓_

\n\vl313

21.（12分）已知橢圓c：]+r=im>b>o）經(jīng)過點尸卜。噌，4號）

（1）求橢圓。的方程；

（2）過橢圓。右焦點的直線/交橢圓于48兩點，交直線x=4于點。，設(shè)直線。40￡）,08

的斜率分別為4，幺,與，若A，h0，證明："與為定值

【解析】

（1）???橢圓c經(jīng)過錘子數(shù)學(xué)p-G,倒，。（0

3

4-

3F-12

.La=4

n

9A2=3

--

41

F-

橢圓C的方程為吞+三=1

43

（2）設(shè)直線Z